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第1章 二维傅里叶分析第一讲 光学中常用的几种非初等函数 函数重要的基本概念和公式函数性质(1)筛选特性 (2)可分离变量 (3)乘法性质 (4)坐标缩放 (5)积分形式 例题讲解：证明： 此证明利用了关系式； 练习题：一、 计算题1. 已知连续函数f(x)， a0和b0 。求出下列函数：(1) (2) （提出：本题主要复习函数的缩放性质和筛选性质；梳妆函数的抽样特征和平移复制功能）第二讲 卷积和相关重要的基本概念和公式1. 卷积定义：设f(x)和h(x)是两个复函数，其卷积定义为：卷积运算的意义：一个函数绕函数轴反转并沿自变量轴做某一平移后与另一函数的重叠面积。2. 相关的定义及其运算性质两个复函数f(x,y)和h(x,y)的互相关定义为：相关运算的四个步骤：第一函数取共轭两函数变量变换第二函数平移相乘积分。3. 互相关与卷积的比较：1）互相关时有一函数要取复共轭，而卷积没有；2）互相关图形不需要反转；3）两者在位移、相乘和积分这三个过程是一样的。4. 互相关的意义：衡量两个函数间存在的关联程度，两信号关联程度高互相关值就大。 例题讲解：证明：证明：相关与卷积的关系 练习题：一、 证明题1. 若，试证明；即参与卷积的一个函数发生平移，卷积的结果也仅仅发生平移。证明：根据卷积的定义，已知 2. 证明根据卷积的定义写出积分表达式，然后再根据函数的筛选性质。二、 思考题1. 利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的透过率。假定缝宽为a，光栅常数为d，缝数为N。第三讲 第四讲 傅里叶变换的基本性质和基本定理重要的基本概念和公式复函数f(x,y)的傅里叶变换定义为:其中称为像函数(或频谱)，f(x,y)称为原函数.两者构成傅里叶变换对；傅里叶变换基本定理(重点) 1.线性定理 2.缩放和反演定理 3.位移定理 4. Parseval定理 (能量守恒定理)5.卷积定理 6. 互相关定理 (表示互功率谱)7.迭次变换定理 f f f f 像面谱面物面透镜透镜即对函数f(x,y)连续作两次傅立叶变换或逆变换，得其“镜像”（傅立叶变换的对称性）。光学模型为4f 成像系统8.积分变换定理 9.共轭变换定理 10.空间周期与空间频率试证明 例题讲解： 1. 证明下面的傅里叶变换关系式根据傅里叶变换的定义，写出它的积分表达式：同理，把此结果和矩形夫琅和费衍射的结果相比较。一、 计算题1. 求的傅里叶变换。解：2. 单色平面波的复振幅表达式为，求此波在传播方向的空间频率以及在x，y，z方向的空间频率。解：由题设知 2分且 3. 应用卷积定理，求tri(xa)的傅里叶变换。解： 上式 第五讲 线性系统与线性空间不变系统和二维采样定理重要的基本概念和公式1. 线性系统：若一个系统同时具有叠加性和均匀性，即有：则称该系统是线性系统。2. 平移不变性: 若则称该系统具有平移不变性。所谓平移不变性就是当输入产生平移时，输出也仅发生平移，形式不变。3. 线性平移不变系统: 既具有线性又具有平移不变性的系统称为线性平移不变系统。 线性平移不变系统的空域描述：由FT的卷积定理：可得：线性平移不变系统的频域描述为其中：G(u,v)、F(u,v)和H(u,v)分别是g(x,y)、f(x,y)和h(x,y)的频谱。4. 线性平移不变系统的本征函数 对于一个系统，若存在一个函数 f(x,y)，满足条件： 则称该函数为该系统的本征函数。线性平移不变系统的本征函数是复指数基元函数，即： ，也是函数。脉冲响应是实函数的线性平移不变系统, 其本征函数是正、余弦函数；即： 例题讲解： 1. 光学傅里叶变换可看成是函数到其频谱的变换，试回答（1）这个系统是线性的吗？（2）这个系统具有线性不变性质吗？为什么？答 傅里叶变换有线性性质。设a，b为常数，则函数有空间位移时其频谱有相移，并不会产生频谱移动。因此傅里叶变换没有线性平移不变性。2. 写出物光场U(x,y)的二维傅里叶变换表达式，并说明其物理意义。解：任意光场U(x,y),其二维傅里叶逆变换为其中U(fx,fy)dfxdfy是平面波expi2p(fxx+fyy)的振幅，平面波的传播方向由空间频率（fx,fy）决定物理意义：任意一光场都可以分解成无穷多个传播方向不同的，振幅不同的平面波；例题1：有两个线性平移不变系统，它们的原点脉冲响应分别为和，试计算各自对输入函数的响应。解：对与线性平移不变系统，脉冲响应的傅里叶变换是系统的传递函数 所以 输入频谱为 对于系统1的输出频谱为 对于系统1的输出函数也为 0 ，即对于系统2的输出频谱为 对于系统2的输出函数为 一、 计算题1、 已知衍射受限光学系统的输入函数为，系统的传递函数为三角形函数。若b取：b=1；b=3，求系统的输出频谱和输出函数。解： 根据梳妆函数的定义，梳妆函数的傅里叶变换还是梳妆函数，即，此为间隔为1的函数组成的分立的周期频谱值。当b0.5时，只有零频成为通过，且，输出频谱为输出的函数是的常数。 当b1.5时，只有零频和两个基频成份通过，且， 其输出的频谱是 输出的函数是其频谱的傅里叶逆变换 2、 如何利用透镜的傅里叶变换性质，来获得物光场的傅里叶频谱？解：由透镜的傅里叶变换性质可得，当物t(x0,y0)位于前焦平面，在单色平面光波的照射下，其后焦平面上的光场为 可见，此时在透镜的焦平面上，即可得到物体的准确傅里叶频谱。也就是说；这时透镜起到了一个傅里叶变换的作用。 第2章 标量衍射理论复习纲要：1. 基尔霍夫积分定理 设有一单色光波通过闭合曲面传播。则光波电磁场的任一直角分量的复振幅满足亥姆霍兹方程，即：若不考虑电磁场其它分量的影响，孤立地把看作标量场，并用曲面上的和值表示面内任一点的，这种理论就是亥姆霍兹基尔霍夫积分定理。在面上的积分，应用基尔霍夫边界条件： （1）在孔径上，光场分布U及其导数与没有屏幕时完全相同。 （2）在孔径S阴影区内的那部分，光场分布及其导数恒等于零。 （3）由索莫非辐射条件 故面上的整个积分随R趋于无穷大而消失。最后得：2.基尔霍夫衍射理论：； 令，所以当光源足够远，且入射光在孔径平面上各点的入射角都不大时，2. 菲涅耳衍射近场衍射：菲涅耳近似(只取前两项)： 讨论：（1）菲涅耳衍射的卷积表示 令 则 这表明菲涅耳衍射过程可视为一线性空间不变系统，它必然存在一个相应的传递函数，即 3. 夫琅禾费衍射远场衍射：夫琅禾费近似： ；，例题：1、 在平面上有两个相同的矩孔构成的衍射屏，它们的宽度为a，长度为b，中心相距为d。采用振幅为A，波长为的相干平面波垂直照明，求相距为z的观察平面上夫琅和费衍射图样的强度分布。 abdx0y00图1解：双矩孔的透过率函数为： 当用单位振幅的单色平面波垂直照明时，其孔径后面透射光场即为 观察面上的光场分布 夫琅和费衍射图样的强度分布 其中 4.衍射的角谱理论：泰保效应（Talbot Effect）不用透镜可对周期性衍射屏的菲涅耳衍射成像（自成像）Periodic objectPlane wave， ZT为泰保距离，在ZT的整数倍距离上，可观察到物体的像。1、 不用透镜可对周期性衍射屏成像的现象称为 ，其实质是周期性衍射屏的菲涅尔衍射成像。 的整数倍距离上，可观察到物体的像。2、 菲涅耳衍射的脉冲响应函数的表达式为（空域）_。第3章 光学成像系统的频率特性3.1 透镜的傅里叶变换性质四 透镜的傅立叶变换性质1 薄透镜的位相调制作用：若不考虑透镜孔径大小的影响，透镜的透过率函数为 2 透镜的傅立叶变换性质：若物置于透镜前方，当用单位振幅的平面波垂直照射时，则在透镜后焦面上得到的输出函数为（不考虑透镜孔径）： 其中 ，即在透镜后焦面上得到的是物函数的傅立叶频谱。若物平面在透镜前焦面时，此时可在透镜后焦面上得到物函数的准确的傅立叶变换。五 衍射受限系统的点扩展函数： 1 单色光照明时，衍射受限系统的脉冲响应就是系统光瞳函数的傅立叶变换，即若令：M为系统近轴下的横向放大率。则： 2 考虑到出瞳的有限大小时，像函数为： ，其中，为不考虑出瞳的有限大小，系统对物所成的理想像函数；六 衍射受限相干成像系统的传递函数： 相干传递函数在数值上等于系统的光瞳函数，即：。系统的截止频率为： ，其中，分别是出瞳沿x轴和y轴方向的线度。七 衍射受限非相干成像系统的传递函数： 1 衍射受限非相干成像系统遵从光强加度卷积积分： ，其傅立叶变换为：，各式依次表示像强度的频谱函数，物强度的频谱函数和强度脉冲响应函数的频谱函数。 2 非相干成像系统的光学传递函数：，其中，模称为调制传递函数，描述系统对各种频率分量对比度的传递能力；其幅角称为位相传递函数，描述系统对各频率分量施加的相移，体现了实际的像强度分布的位置相对于其对应的物强度分布移动了多少。例题：设有一透镜带有一的方形光阑，像距为，设入射波长为，试求：（1） 在相干光照明下，该透镜的相干传递函数和截止频率；（2） 在非相干光照明下，该透镜的光学传递函数及截止频率。解：(1)在相干光照明下，该透镜系统光阑的透过率函数P(x,y)可用一个二维矩形函数来表示 系统的相干传递函数为 透镜系统的截止频率为 (2) 在非相干光照明下，该透镜系统光阑：如图(a)总面积s0l2，如图(b)重叠部分的面积为 系统的传递函数为 透镜系统的截止频率 一、 判断题（对的写“T”,错的写“F”）1. 不管衍射物体位于何种位置，只要观察面是物面的共轭面，则物面和观察面之间的关系都是傅里叶变换的关系，即观察面上的衍射场都是夫琅和费型。（ ）2. 对于衍射受限共轴球面光学系统，相干传递函数等于光瞳函数，非相干传递函数等于光瞳函数重叠面积的归一化。（ ）3. 非相干系统的截止频率为相干系统的截止频率的两倍，我们可以得出结论：对同一个光学成像系统，使用非相干照明一定要比使用相干照明能得到更好的像。 （ ）二、 填空题（每空2分，共10分）物体放在焦距为 f 的透镜的前焦面，用波长为的单色平面波垂直入射照明，则透镜的后焦面是物体的_。相干照明下衍射受限成像系统的脉冲响应为_，相干传递函数记作_，在反射坐标系下它就等于光瞳函数；出瞳为边长a的正方形，其相干传递函数：_；沿边长方向的截止频率为_。3. 光学传递函数在处都等于1，这是为什么？光学传递函数的值可能大于1吗？如果光学系统真的实现了点物成像，这时光学传递函数怎样？答：由公式可知；（问题）不能证明在某个空间频率上有H1.对于衍射受限系统由自相关性质（p16），如果对归一化的互相关函数和自相关函数因此H不可能大于1。如果实现了点物成像则光学传递函数恒为1，即对所有空间频率的光都能无阻碍通过。点扩散函数为函数。第5章 光学全息照相1. 全息再现是用符合一定条件的光波照射全息图，在特定的方位重现原始物光波，其实质是利用 。2. 要实现全息记录的关键是使物光波的位相信息转化为光强信息，其有效方法是利用_。1. 两束夹角为的平面波在记录平面上产生干涉，已知光波波长为632.8nm，对称情况下（两平面波的入射角相等）（1）画出简图，并写出物光波O的表达式；（2）求在平面上记录的全息光栅的空间频率。 a) 解: 物光波的表达式为 同理，参考光波的表达式为 干涉图样为余弦条纹，其调制度为1，空间频率为： 第6章 空间滤波1. 在阿贝波特实验中，用平行相干光照明一张细丝网格，在成像透镜的后焦面上出现周期性网格的傅里叶谱，如果用水平的狭缝提取部分频谱，则在像平面上将再现_。2. 在阿贝波特实验中，用平行相干光照明一张细丝网格，在成像透 镜的后焦面上出现周期性网格的傅里叶谱，如果用竖直的狭缝挡住部分频谱，则在像平面上将再现 。3. 试结合4f系统来论述图像消模糊的原理和过程。解答：模糊图像可看成是一个理想图像和造成模糊的点扩展函数的卷积，表达为： 消模糊过程实际上是进行图像解卷积运算，将上式进行傅里叶变换，可得到各量频谱之间的简单乘积关系，即： 其中G和H分别代表各对应函数的博里叶频谱。如在4f系统的频谱面放置一个逆滤波器，使其透过率满足，则在P2后得到的光场复振幅为： 显然，由于逆滤波器抵消了造成模糊的因素，因而在输出面将得到理想图像。 （2）过程（过程结合示意图）如下图所示，在4f系统中我们将模糊图像放在P1平面，将逆滤波器放在P2平面，则在P3面将得到理想图像。4. 简述相衬显微镜的设计原理。解： 用一块玻璃片上涂一小滴透明的电介质构成一块变相板置于物镜后焦平面中心，使位相延迟p/2，可得： 这种方法的使得是观察的强度分布与物体位相变化成线性关系。 5. 画出阿贝成像的两次衍射原理图，并加以简单解释。解：画图 成像过程可分为两步：物平面上发出的光波经物镜，在其后焦面上产生夫琅和费衍射，得到第一次衍射像；2分 ；该衍射像作为新的相干波源，由它发出的次波在像平面上干涉而构成物体的像，称为第二次衍射像。6. 画出4f（三透镜系统）光学频谱分析系统光路图，指出各元件的名称和功能；说明空间滤波的具体做法。解：是物平面，是频谱面，在频谱面上，是像平面； （或在图上标出）L1透镜的作用是准直；L2透镜的作用是傅里叶正变换； 在像面坐标反演的情况下，L3透镜的作用是傅里叶逆变换；空间滤波的具体作法： 先经傅里叶变换在频谱面上得到物信息的频谱，在频谱面上放置滤波器，以改变或提取某些频段的振幅