2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学辽宁卷.doc

2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供理科考生使用）注意事项：1. 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2. 回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔吧答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3. 回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）复数的的模为（A） （B） （C） （D）（2）已知集合A B C D （3）已知点（A） （B） （C） （D）（4）下面是关于公差的等差数列的四个命题： 其中的真命题为（A） （B） （C） （D）（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A） （B） （C） （D）（6）在，内角所对的边长分别为A B C D （7）使得A B C D （8）执行如图所示的程序框图，若输入A B C D （9）已知点A B C D（10）已知三棱柱A B C D （11）已知函数设表示中的较大值，表示中的较小值，记得最小值为得最小值为,则（A） （B） （C） （D）（12）设函数（A）有极大值，无极小值 （B）有极小值，无极大值 （C）既有极大值又有极小值 （D）既无极大值也无极小值第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第22题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .（14）已知等比数列 .（15）已知椭圆的左焦点为 .（16）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分12分）设向量（I）若（II）设函数18（本小题满分12分）如图，（I）求证：（II）19（本小题满分12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答. （I）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（II）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立.用表示张同学答对题的个数，求的分布列和数学期望.20（本小题满分12分）如图，抛物线（I）；（II）21（本小题满分12分）已知函数（I）求证： （II）若取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。22（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，（I）（II）23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系.圆，直线的极坐标方程分别为.（I）（II）24（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数（I）（II）2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁试题）数学（供理科考生使用）试题参考答案和评分参考评分说明：（1） 本解答给出了一中或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考察内容比照评分参考制定相应的评分细则.（2） 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影像的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答应的分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不在给分.（3） 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.（4） 只给整数分数.一、 选择题（1）B (2)D (3) A (4) D (5) B (6) A (7) B (8)A (9) C (10) C (11) B (4) D 二、 填空题（13）16 -16 （14）63 （15） （16）10三、解答题（17）解： （I）由， ， 及 又，所以 . （II） =. 当 所以 （18）解：（I）由AB式圆的直径，得ACBC、 由PA平面ABC、BC平面ABC、得PABC. 又PAAC=A,PA平面PAC，AC平面PAC， 所以BC平面PAC. 因为BC平面PBC. 所以平面PBC平面PAC.（II）（解法一）过C作CM/AP,则CM平面ABC.如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB、CA、CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角标系因为AB=2、AC=1、所以A(0、1、0）、B（、P（0、1、1）故=.设平面BCP的法向量为. 不妨令y=1.则n=（0、1、-1）.因为设平面ABP的法向量为.则,所以不妨令x=1、则.于是cos=,所以由题意可知二面角C-PB-A的余弦值为.过C作CMAB于M、因为PA平面ABC、CM平面ABC.所以PACM.故CM平面PAB.过M作MNPB于N，链接NC.由三垂线定理得CNPB.所以CNM为二面角C-PB-A的平面角.在RtABC中，由AB=2、AC=1、得在RtPAB中,由AB=2、PA=1、得PB=.因为RtBNMRtBAP,所以又在RtCNM中，CN=，故cosCNM=.所以二面角C-PB-A的余弦值为.（19） 解：（I)设事件A=“张同学所取的3道题至少有1道乙类题，则有=”张同学所取的3道题都是甲类题“.，所以 .(II)X所有的可能取值为0、1、2、3. ; ; ; .X0123P所以E（X)=0+1+2.（1） 解：（1） 因为抛物线上任意一点（x,y)的切线斜率为，且切线MA的斜率为-，所以A点坐标为（-1，）。故切线MA的方程为 .因为点M在切线MA及抛物线上，于是 ， . 由得p=2.（II）设N（x,y),A由N为线AB中点知 . 切线MA、MB的方程为 由得MA，MB的交点M的坐标为 . 原M（ . 由得 当时，A,B重合与原点O,AB 中点N为O，坐标满足.因此AB中点N的轨迹方程为 .（1） (I)证明： 要证x0,1时，1-,需证明.当x（0,1）时 (x)0,因此h(x)在【0,1】上市增函数，故h(x)h(0)=0.所以 记0，因此K（x）在0,1上试增函数，故K（x）K(0)=0.所以 .综上，.（II）（解法一） ，.记H（x）=x-2sin x,则H（x）=1-2cos x,当x0，于是G（x）在0,1上试减函数，从而当x（0,1）时，-3时， 在0,1上不恒成立. -3时，a+30,所以存在，使得0，此时0，于是在0,1上试增函数，因此当x(0,1)时，G(x)G(0)=0,从而F(x)在0,1上是增函数，因此F(x)F(0)=0,所以 当x0,1时， 同理可证，当所以x.因为当x0,1时， .所以当a-3时，在0,1上不恒成立.因为 所以存在（例如中的较小值）满足g，即在0,1上不恒成立.综上，实数a的取值范围是（-，.证明：（I） 由直线CD与O相切，得 故FEB=CEB. (II) （I） 圆