自动控制原理 第六章.ppt

第六章 自动控制系统的校正 本章目录 第一节控制系统校正的基本概念第二节常用校正装置及其特性第三节自动控制系统的频率法校正第四节串联校正装置的根轨迹设计方法第五节期望对数频率特性设计方法第六节并联校正装置的设计本章小结 第一节 控制系统校正的基本概念 在前面各章节中 我们所讨论的各种方法都是对系统进行动态和静态性能指标的计算 并研究性能指标与参数之间的关系 这些均是在已知结构和参数的情况下对自动控制系统进行分析 与此相反 从系统的实际运行需要出发 提出各项性能指标 再根据控制对象合理选择控制方案及结构形式 计算参数和确定元器件 并通过仿真和实验调试 建立起能满足以上要求的实际系统 以上过程可以归结为系统的设计 一般来说 系统设计比系统分析要更加复杂一些 这是因为 所提出的系统性能指标 往往可采用不同的控制方案来实现 即系统的设计方案不是唯一的 在进行结构和参数计算时 常常会出现相互矛盾的情况 从而导致设计复杂化 需要综合技术性 经济性 可靠性等各方面的问题 一 校正的基本概念 如前所述 自动控制系统由执行器 被控对象 检测反馈和控制器组成的 通常 被控对象是已知的 而执行器和检测反馈则根据被控对象的特点 控制要求以及经济性 可靠性等选定的 这些设备可与被控对象组合成控制系统的固有部分 一般情况下 控制系统固有部分的性能指标是很差的 必须引入附加装置对固有部分进行改造 才能使控制系统全面满足静态和动态性能要求 这些为保证控制系统达到预期的性能指标要求而有目的引入的附加装置称为控制系统的校正装置 如图6 05所示 根据被控对象及其控制要求 选择适当的控制器及控制规律设计一个满足给定性能指标的控制系统 校正或补偿通过改变系统结构或在系统中增加附加装置或元件对已有系统的固有部分进行再设计 并使之满足性能要求 这种附加装置就称为对系统的校正或补偿 自动控制系统的设计本质上就是寻找具有合适性能的校正装置 二 控制系统的设计任务 三 控制系统的性能指标 稳态性能指标稳态精度或称为稳态误差ess动态性能指标 描述过渡过程响应特性 时域指标 上升时间tr超调量s 调节时间ts频域指标 截止频率wc相角裕度g相对稳定性增益裕量Lh 相位裕量 扰动的抑制频率带宽wb 四 校正方式 校正装置就是为提高和改善系统的静态和动态性能而人为地引入到系统的附加控制部分 根据校正装置在自动控制系统中位置的不同 可分串联校正 反馈校正和复合校正三种基本形式 1 串联校正 校正装置在前向通道上 并与系统被控对象等固有部分相串联 这种校正方式称之为串联校正 如图6 03所示 这种校正装置的结构比较简单 2 反馈 并联 校正 校正装置与系统固有部分的某个环节或环节组构成局部反馈回路 这种校正方式称之为反馈校正 如图6 04所示 3 复合校正 复合校正是指在系统闭环回路之外采用的校正方法 可分为按输入补偿的顺馈校正和按扰动补偿前馈校正两种形式 如图6 06所示 串联校正的特点校正装置比较简单 容易对信号进行各种必要的运算 但需注意负载效应的影响 反馈校正的特点可使系统的性能得到改善 并抑制系统固有部分参数变化对系统性能的影响 减低非线性因素的影响 元件数也往往较少 复合校正的特点复合校正可极大的减小甚至消除系统的稳态误差 并抑制几乎所有可测量的扰动 4 各种校正方式的特点 五 校正方法 系统校正的主要工作就是按照性能指标的要求选择合适的校正装置并确定其参数 即设计校正装置 常用的工程设计方法有以下三种 频率法校正根轨迹法校正时域法校正在以后章节中 我们将采用各种校正方法 对控制系统校正进行分析 1 频率法校正 频率法的设计思路就是利用校正装置改变原系统频率特性的形状 使其具有合适的低频段 中频段和高频段特性 从而获得满意的动态和静态性能 频率法校正就是根据开环系统的波德图判断影响原有系统性能的因素 其频率特性曲线应如何改变 应当引入何种形式的校正装置 并通过作图比较方便地求得校正装置的结构和参数 2 根轨迹法校正 根轨迹法的设计思路是根据所要求的性能指标 确定出闭环系统的一对主导共轭复数极点 然后通过引入适当的校正装置 利用其零 极点去改变原系统固有部分的根轨迹形状 并迫使校正后系统的根轨迹通过所期望的主导极点的应有位置 以达到校正的目的 考虑到校正后的系统仍可能实际存在着闭环零点和非主导极点 它们对最终系统的性能会有所影响 故在选择主导极点的位置时应留有余地 3 时域法校正 时域法校正实际上是根据系统的静态和动态性能指标 以及原系统固有部分结构和参数 大致确定出校正装置的形式和结构 并设置不同的校正参数 应用计算机进行时域仿真 从而得到系统的时域响应过程 以此对系统作出评估 再对校正装置的结构和参数进行进一步的修正 反复多次 直至达到预期的性能目标 这种计算机辅助设计过程可以融入设计者的分析 判断 推理和决策能力 将大大提高系统设计效率 第二节 常用校正装置及其特性 如果按增益来分 校正装置可分为无源校正装置和有源校正装置两类 无源校正装置的放大系数均小于1 而有源校正装置的放大系数可任意设置 如果按相角频率特性来分 校正装置可分为超前校正装置 滞后校正装置和滞后 超前校正装置三种 以下将对这三种校正装置分别进行讨论和分析 一般而言 当自动控制系统的开环增益增大到可满足其静态性能所要求的数值时 系统有可能不稳定 或者即使稳定 也因为其相角裕度太小 导致系统动态性能不理想 在这种情况下 需要在系统的前向通路中增加超前校正装置 以实现在开环增益不变的前提下 开环系统的相角裕度足够大 从而使其动态性能可满足设计的要求 1 超前校正网络 如图6 10所示为超前校正网络 超前校正网络既可由RC无源网络组成 也可由运算放大器加适当电路的有源网络组成 无源超前校正网络的传递函数如下 该网络的频率特性表达式为 无源超前校正网络的波德图即对数频率特性如图6 08所示 无源超前校正网络的相角为 由于a0 对jc w 求导 并令其等于零 即有 这时无源超前校正网络将产生最大的超前相角jm 且有 从图中可以看出 a越小 即波德图中两个转折频率距离就越远 所产生的相角就越大 但这种关系不是正比例关系 当a小于0 05后 a再小就没有太大意义了 不仅相角增加不多 还因为其中频 高频段的增益太大 将导致控制系统的截止频率提高太多 反而会影响正常的校正效果 如图6 09所示为a与最大超前角j wm 和wm处的增益分贝数的关系曲线 最大超前角及最大超前角处幅值分贝数与a的关系曲线 可以看出 上述无源超前网络在低频端存在衰减 一般来说 控制系统的校正装置通常先满足稳态误差的要求 附加的校正装置最好不要影响低频段 因此应先增加一个增益为Kc 20loga的比例环节或将固有系统的增益提高Kc 以抵消无源超前校正装置造成的增益衰减 这时 其相应的频率特性如图6 11所示 根据前面分析的结果可知 开环放大系数的改变并不影响无源超前校正网络的相频特性 如采用运算放大器进行补偿 则无源超前校正网络的传递函数如下 若采用如图6 08所示的有源超前校正网络 则其传递函数为 若适当选择电阻值 使R2 R3 R1 则可得Kc 1 此时 有源超前校正网络的传递函数成为 比较以上两个传递函数可发现 有源超前校正网络和无源超前校正网络的对数频率特性是一样的 2 无源滞后校正网络 无源滞后校正网络的传递函数为 该网络的频率特性表达式为 无源滞后校正网络的波德图 由对数幅频特性可见 无源滞后校正网络对低频信号无衰减 但对高频信号却有明显的削弱作用 值越大 衰减越厉害 当频率在w1和w2之间 特性曲线的斜率为 20dB dec 这意味着该网络在此频率范围内对输入信号具有积分作用 故滞后校正网络也称为积分校正网络 该网络的相频特性表明 在所有频率下的jc w 均为负 即网络的输出信号在相位上是滞后于输入信号的 对jc w 求导并令其为零 可解得 即最大滞后角出现在转折频率w1和w2的几何中心 该处的相角值为 上式表明 b越大 该网络的相位滞后就越严重 这样 可能使校正后系统的相角裕度减小 因此 在采用滞后校正网络进行串联校正时 应尽量使产生最大滞后相角的频率wm远离校正后系统新截止频率wc 否则会对系统的动态性能产生不利影响 常取第二个转折频率为 若采用如图6 13所示的有源滞后校正网络 则其传递函数为 当选择R2 R3 R1 则Kc 1 有源滞后校正网络的传递函数为 3 无源滞后 超前校正网络 如图6 13所示为无源滞后 超前校正网络 则其传递函数为 从无源滞后 超前校正网络的对数幅频特性和对数相频特性可以看出 对数频率特性的前半段是相位滞后校正部分发挥作用 由于其具有使增益衰减的局部作用 所以允许在低频段提高增益 用以改善系统的稳态性能 对数频率特性的后半段是相位超前校正部分 其局部作用可以提高系统的相位裕量 加大截止频率 从而可以改善系统的动态性能 如果在实际控制系统中应用以上所讨论的无源网络进行串联校正 则放大器级间接入无源校正网络后 就会出现复杂的负载效应问题 实际上难以实现希望的规律 除此之外 复杂网络的设计和调整也不方便 因此 工程实际应用中广泛采用有源校正装置对自动控制系统进行校正 第三节 自动控制系统的频率法校正 频率法校正是经典控制理论中的一种基本校正方法 在大多数情况下 这种方法是在系统开环对数频率特性 波德图 上进行的 它具有简单易行的优点 从而成为目前应用最为广泛的校正方法 当采用频率法对自动控制系统进行校正时 通常需要将系统的性能指标转化为频域指标 即相角裕度g 截止频率wc以及低频段波德图的斜率等 本节仅讨论串联校正方式 串联校正的思路 应用频率法对自动控制系统进行串联校正时 校正装置在系统前向通道上与固有系统串级联接 如图6 15所示 系统的开环传递函数为 则系统的对数频率特性表达式为 当采用不同的校正网络时 可获得不同的校正结果 1 采用超前校正 在wc处j wc 增加 使g wc 增大 2 采用滞后校正 使L wc 下降 wc前移 从而获得较大的g wc 3 采用滞后 超前校正 一 串联超前校正 频率法对系统进行校正的基本思路就是通过所加校正装置 改变系统开环频率特性的形状 即要求校正后系统的开环频率特性具有如下特点 低频段的增益能满足稳态精度的要求 中频段幅频特性的斜率为 20dB dec 并具有较宽的频带 这一要求是为了系统具有满意的动态性能 高频段幅值增益迅速衰减 以减少噪声的影响 用频率法对系统进行超前校正的基本原则是利用超前校正网络的相位超前特性来增大系统的相位裕量 以达到改善系统瞬态响应的目点 为此 要求校正网络最大的相位超前角出现在系统新的截止频率即幅值穿越频率处 以下对此进行讨论 用频率法对系统进行串联超前校正的一般步骤可归纳为 根据稳态误差的要求 确定开环增益K 根据所确定的开环增益K 画出未校正系统的波特图 计算校正前的相角裕度g 根据所要求的截止频率 确定出校正装置的最大超前相角jm 并以此来计算超前校正网络的参数a和T 选择最大超前角频率等于要求的系统截止频率 即为了保证系统的响应速度 并充分利用网络的相角超前特性 显然有 验证校正后的系统 看其性能指标是否满足给定要求 根据超前网络的参数a和T之值 确定校正网络各电气元件的参数 由于超前校正装置的引入 使系统截止频率增大而增加的相角滞后量 用 表示 因此必须给予补偿 值通常是这样估计的 如果未校正系统的开环对数幅频特性在截止频率处的斜率为 40dB dec 一般取 如果特性的斜率为 60dB dec 则取 最后画出校正后系统的波特图并验算 例设单位反馈系统的开环传递函数为 试采用超前校正装置 使校正后系统的静态速度误差系数为Kv 20s 1 其相位裕度为g 50 增益裕量Lh不小于10dB 解 1 根据静态速度误差系数要求 确定系统的开环放大系数K 由上式可得K 10 此时系统的开环频率特性为 校正前系统的对数频率特性 3 根据相角裕度的要求 超前校正网络的相位超前角应为 4 超前校正装置在wm处的幅值为 因此 在未校正系统的开环对数幅值特性为 6 2dB处所对应的频率为w 9 0 该频率即校正后系统的截止频率 当然也可通过计算得出相同的数据 5 计算超前校正网络的转折频率根据前面的计算结果可得 校正装置的对数频率特性 为了补偿因超前校正网络的引入而造成系统开环增益的衰减 必须使附加放大器的放大倍数为 校正后系统的波德图中红线所示 其相位裕量为g 50 增益裕量Lh为无穷大 均已满足系统设计要求 校正后系统的方框图如图所示 校正后系统的方框图 综合上述分析可得串联超前校正具有如下特点 这种校正主要是对固有系统中频段进行校正 校正后其中频段的斜率为 20dB dec 且有足够大的相角裕度 这是因为校正后系统的截止频率由未校正前的6 3增大到9 0 这表明校正后 系统的频带变宽 瞬态响应速度变快 但系统抗高频噪声的能力变差 对此 在校正装置设计时必须注意 虽然超前校正一般能比较有效地改善系统的动态性能 但如果在校正前系统的相频特性在截止频率附近急剧下降时 若采用单级超前校正网络去校正 收效不大 因为校正后系统的截至频率向高频段移动 在新的截止频率处 由于未校正系统的相角滞后量过大 因而用单级的超前校正网络难于获得较大的相位裕量 二 串联滞后校正 由于滞后校正网络具有低通滤波器的特性 因而当它与系统的不可变部分串联相连时 会使控制系统开环频率特性的中频和高频段增益降低和截止频率wc减小 从而有可能使系统获得足够大的相位裕度 但它不影响频率特性的低频段 由此可见 滞后校正在一定的条件下 也能使控制系统同时满足动态和静态的要求 不难看出 滞后校正的不足之处 校正后系统的截止频率会减小 瞬态响应的速度要变慢 在截止频率wc处 滞后校正网络会产生一定的相角滞后量 为了使这个滞后角尽可能地小 理论上总希望Gc s 两个转折频率w1 w2比wc越小越好 但考虑物理实现上的可行性 一般取 采用滞后校正的条件 在系统响应速度要求不高而抑制噪声电平性能要求较高的情况下 可考虑采用串联滞后校正 在保持原有的已满足要求的动态性能不变 滞后校正可以提高系统的开环增益 减小系统的稳态误差 如果所研究的系统为单位反馈最小相位系统 则应用频率法设计串联滞后校正网络的步骤如下 例设控制系统如图6 20所示 若要求校正后的静态速度误差系数等于30 s 相角裕度40度 幅值裕度不小于10dB 截止频率不小于2 3rad s 试设计串联校正装置 解 1 根据静态指标确定开环增益K 2 未校正系统开环传递函数为 3 未校正系统开环频率特性为 根据以上表达式可画出未校正系统的对数频率特性如图6 21所示 从图中可量测出其截止频率wc和相角裕度g 当然也可通过公式计算算出wc和g来 这说明未校正系统不稳定 且截止频率远大于要求值 在这种情况下 采用串联超前校正是无效的 因此可以此频率作为新的截止频率 在此频率下可得 对未校正系统的对数相频特性曲线 可以查得 解上式可得滞后校正网络的系数 计算滞后校正网络参数 则滞后校正网络的传递函数为 对校正后的系统进行验证 从图中可以看出 未校正系统对数频率特性的相位穿越频率wg为 校正后的相位穿越频率为w g 6 8rad s 系统的幅值裕度为 两种校正方法的适用范围和特点 超前校正是利用超前网络的相角超前特性对系统进行校正 而滞后校正则是利用滞后网络的幅值在高频衰减特性 用频率法进行超前校正 旨在提高控制系统开环对数幅频渐进线在截止频率处的斜率 从 40dB dec提高到 20dB dec 和相位裕度 并增大系统在中频段的频带宽度 频带的变宽意味着校正后的系统响应变快 调节时间缩短 对同一控制系统 超前校正系统的频带宽度一般总大于滞后校正系统 因此 如果要求校正后的系统具有宽的频带和良好的瞬态响应 则应采用超前网络校正 当噪声电平较高时 显然频带越宽的系统抗噪声干扰的能力也越差 对于这种情况 宜对系统采用滞后网络校正 当采用超前校正时 校正装置需要串联一个附加的放大器 以补偿超前校正网络对系统增益的衰减 采用滞后校正虽然能改善系统的静态精度 但它促使系统的频带变窄 致使瞬态响应速度变慢 如果要求校正后的系统既有快速的瞬态响应 又有高的静态精度 则应采用滞后 超前校正 有些应用方面 采用滞后校正可能得出时间常数大到难以实现的程度 三 串联滞后 超前校正 这种校正方法兼有滞后校正和超前校正的优点 即已校正系统响应速度快 超调量小 抑制高频噪声的性能也较好 当未校正系统不稳定时 且对校正后系统的动态和静态性能 响应速度 相角裕度和稳态误差 均有较高要求时 显然 仅采用上述超前校正或滞后校正 均难以达到预期的校正效果 此时宜采用串联滞后 超前校正 采用串联滞后 超前网络对控制系统进行校正 实质上综合应用了滞后和超前网络校正各自的特点 即利用校正装置的超前部分来增大系统的相位裕度 以改善其动态性能 利用它的滞后部分来改善系统的静态性能 两者分工明确 相辅相成 串联滞后 超前校正的步骤 根据控制系统对稳态性能要求 确定开环放大系数K 绘制未校正系统的对数幅频特性 求出未校正系统的截止频率wc 相位裕度g及幅值裕度Lh等 判断采取何种校正装置 确定校正网络超前部分的参数 即 确定校正网络滞后部分的参数 即 根据上式可求出b值 再确定T2 未校正系统的幅值量 滞后超前网络超前部分在处贡献的幅值 滞后 超前网络贡献的幅值衰减的最大值 校验已校正系统开环系统各项性能指标 第四节 根轨迹法校正 采用根轨迹法对系统进行串联校正装置的设计是比较方便的 通过本节讨论分析应掌握增加零 极点对根轨迹影响的分析 与此同时 还应掌握根轨迹绘制的两个基本条件 本节为选择教学内容 应用根轨迹法对系统进行校正时 首先要对时域指标进行转换 然而当系统的阶数较高时 时域指标不但与闭环极点有关 而且还与闭零点有关 这将引起转换后的指标精确度不够 鉴于上述情况 工程上通常引用主导极点概念 即假设系统的性能主要取决于某对共轭复数极点 这样就可以由时域性能指标确定出这对主导极点的位置 进而确定值z和wn值 考虑到其它极点和零点对系统的影响 再对其进行适当修正即可 一 根轨迹法校正的基本概念 1 性能指标的转换 根据所给出的性能指标 在s平面上确定一对期望闭环主导极点的位置 系统校正的实质就是改造系统的根轨迹形状 使其通过所期望的闭环主导极点 以满足相应指标的要求 工程上最常用且最直观的时域指标是最大超调量s 和调节时间ts 由此可计算出所设计主导极点的阻尼系数z和无阻尼振荡频率wn 计算公式如下 当阻尼系数z确定之后 所期望的闭环主导极点的阻尼角b为这也就是说闭环主导极点必然在倾角b为的直线上 且其至坐标原点的距离唯一地由wn的大小所决定 如图6 11所示 这样 一对闭环主导极点s1 s2就完全确定 只要校正后系统的根轨迹能通过这一对闭环主导极点 则所提出的时域指标就可望得到满足 2 串入超前网络的效应 串入超前网络之后 系统将增加一个零点和一个极点 且零点比极点更靠近坐标原点 即零点起主要作用 设所增加的零 极点如图6 35所示 对于s平面上半部的任一点s1来说 零点 zc所造成的相角为jz 而极点 pc造成的相角为jp 故附加零 极点对s1所造成的总相角则为jc jz jp 0对于超前校正网络 总的相角为正 由于超前网络的传递函数为 由此可见 加入超前网络的零 极点之后 将使系统的放大系数衰减a倍 若要保持系统的稳态性能不变 这种衰减应通过增加放大系数以作出补偿 3 串入滞后网络的效应 串入滞后网络之后 系统也将增加一个零点和一个极点 但极点比零点更靠近坐标原点 当T选择的很大时 这对零 极点就非常靠近坐标原点 如图6 36所示 根据以前分析结论 可称其为开环偶极子 相对于距坐标原点较远的主导极点而言 偶极子产生的相角则为jc jz jp 0其绝对值不大 一般小于5 以上分析表明 偶极子产生的相角对主导极点的甚微 从图中也可以看出 s1 pc 与 s1 zc 几乎相等 故偶极子的加入 对主导极点处的根轨迹增益影响也是甚微的 但从开环放大系数K和开环增益之间的关系来看 偶极子的加入将使系统的开环放大系数增大D倍 二 根轨迹超前校正 根轨迹串联超前校正就是通过引入一对负实数开环零点和极点 特别注意 零点小于极点 使系统的根轨迹形状产生变化并向左移动 以增大阻尼系数和无阻尼振荡频率 从而有效地改善系统动态性能 增加的零点和极点从相位上讲呈现超前的特点 因此称为超前校正 超前校正适用于动态性能不能满足要求 稳定性要求不高且容易满足的系统 串联超前校正的步骤 1 作出原系统的根轨迹 分析原系统的性能并确定校正的形式 2 根据性能指标的要求 确定所期望的闭环主导极点的位置 3 若原系统的根轨迹不通过该极点 这说明单靠调整开环增益已无法获得期望的闭环主导极点 必须引入超前校正装置 并计算出超前校正装置应提供多大的超前相角才能迫使根轨迹通过所期望的主导极点 设Gc s G0 s 分别为串联校正装置和原系统的开环传递函数 则校正后系统的开环传递函数为取其相角若要根轨迹通过期望闭环主导极点 则在此极点处应满足相角条件 即 超前相角的选择 串联超前校正的步骤 4 根据所得的相角 应用图解法确定串联超前校正装置的零点和极点位置 从而确定校正网络的传递函数 5 绘出校正后系统的根轨迹 并由幅值条件求出校正后系统的根轨迹增益 以及系统的稳态误差系数 并再全面校验系统的性能指标 某典型二阶系统的开环传递函数为要求系统时域指标为最大超调量调节时间试采用根轨迹法设计其串联超前校正装置 解 第一步绘制校正前原系统根轨迹 如图所示 例6 8根轨迹超前校正实例 未校正系统的根轨迹 根据要求性能指标可知由此计算或查曲线可得z 0 5 则该极点对应的相角为再根据调节时间可计算 主导极点计算 则所期望闭环主导极点可确定为从未校正的系统根轨迹可以看出是一条通过 1 j0 点垂线 无论K如何取值 其根轨迹均无法通过所要求的主导极点位置 另外 我们也发现所期望的主导极点在未校正根轨迹的左边 因此 引入校正装置后系统的根轨迹应向左移动才有可能通过所求得的主导极点 由此可见 系统必须引入超前校正 超前校正装置的传递函数为根据前面所推导的计算公式 主导极点处超前校正装置可提供的超前相角为以下通过图解方法来确定零极点 确定校正装置的零极点 以上计算结果表明 增加的校正装置必须提供超前30度的相角才能保证主导极点A在系统的根轨迹上 如何在负实轴上配置零极点并让其能够产生30度的超前相位 在负实轴上找两点 内侧为零点 外侧为极点 这样相对A点所形成的相角才具有超前的特性 调整这两点的距离可使零点产生的超前角和极点产生的滞后角之差即合成的相角超前30度 如在负实轴上选择零点为 3 0 该零点对A所产生的超前相角通过计算为73 9度 那么所配置的极点对A点产生的滞后相角必须为43 9度 通过计算可得所配置极点的值为5 60 这样即可满足主导极点A在根轨迹上的条件 当然 在采用根轨迹超前校正时也可在负实轴选择零点为 2 0 那么所配置的极点为 4 0时即可使串联校正装置提供30度的超前角了 方法一 方法二 通过主导极点A向右作一水平线 该水平线与主导极点和坐标原点的连线形成一个夹角 再作该角的平分线 与负实轴的交点为 4 0 在该条线两侧形成两个各15度的张角分别与负实轴相交两点 这两点的值分别为 2 93和 5 43 如要使校正装置为超前性质 则必须选择靠近原点的交点为超前校正装置的零点 远离原点的交点为超前校正装置的极点 图解法确定超前校正装置零极点 超前校正装置的传递函数为系统校正后的开环传递函数为在主导极点处根轨迹对应的增益可根据根轨迹方程计算如下 校正计算 即校正后系统的开环增益为则校正装置的根轨迹增益为系统校正后的开环传递函数为 三 根轨迹滞后校正 串联滞后校正主要用于系统的根轨迹已通过所期望的闭环主导极点 但不能满足稳态性能要求的场合 滞后校正是通过在系统中引入一对靠近坐标原点的开环负实数偶极子 可使系统根轨迹形状基本不变的前提下 能大幅度提高系统所允许的开环放大系数 从而有效地改善系统的稳态性能 根轨迹滞后校正的主要步骤 1 绘出校正前原系统的根轨迹 并根据动态性能指标的要求 在复平面上确定出所期望的主导极点 A点 2 用根轨迹幅值条件求出A点的根轨迹增益Kg及其对应的开环放大系数K 3 根据所给出的系统静态指标要求 确定系统所需增大的放大系数 4 选择滞后校正装置的零点和极点 并满足zc Dpc 且使其相对于A点为一对偶极子 根轨迹滞后校正的主要步骤 5 一般要求校正装置的零点和极点距坐标原点越近越好 但它们距坐标原点越近 则校正装置传递函数中时间常数就越大 而过大的时间常数在物理上是难以实现的 因此 一般取校正零极点对主导极点的滞后相角小于3度 6 绘出校正后系统的根轨迹 通过调整放大器增益使闭环主导极点能够位于期望位置 7 对各项性能指标进行校验 根轨迹串联滞后校正例题 例6 9单位负反馈系统的开环传递函数为校正要求如下 主导极点特征参数z 0 5 wn 3 0 开环传递系数K 35 试对系统进行根轨迹串联滞后校正 解 现在我们按照根轨迹串联滞后校正的步骤对系统进行校正 绘制校正前系统的根轨迹 原系统根轨迹如图所示 当z 0 5时计算阻尼角以负实轴为参考 坐标原点为顶点作两条张角为正负60度的射线 分别与根轨迹相交两点 这两点即是校正后的主导极点 其坐标值为以上均满足系统要求 根轨迹滞后校正设计计算 按幅值条件计算闭环主导极点处的开环增益Kg 4 0 4 0 16 0所对应的系统开环传递系数则为K0 Kg 4 0 4 0现引入滞后校正 校正装置的零极点之比应为D zc pc K K0 40 0 4 0 10 0取D 10 0 还应充分考虑到对引入滞后校正装置零极点后对主导极点位置的影响 选择滞后校正装置的零极点分别为 pc 0 01 zc 0 1则校正后系统的开环传递函数为按此可绘出校正后的系统根轨迹如图所示 图中虚线为未校正系统的根轨迹 经计算 滞后校正装置在主导极点处所产生的滞后角为1 1 基本上不影响系统的动态性能 绘制校正后系统的根轨迹 根据幅值条件计算校正后系统主导极点处的根轨迹增益仍为16 但校正后系统的开环放大系数却增大了10倍 即这说明引入滞后校正装置后系统的稳态性能得到了提高 第五节 期望对数频率特性校正 期望对数频率特性设计方法是工程上行之有效的且普遍采用的串联校正方法 期望设计法是在系统对数频率特性上进行的 设计的关键是根据系统的性能指标绘制出所期望的对数频率特性 常用的期望对数幅频特性又分为二阶期望特性 三阶基调特性和四阶期望特性 一 基本概念 自动控制系统经串联校正后的结构图如图所示 其中Go s 是系统的固有部分的传递函数 Gc s 是串联校正装置的传递函数 显然系统校正后总的开环传递函数则为G s Gc s G0 s 则其对数幅频特性为L w Lc w L0 w Lc w L w L0 w 我们则称L w 为所设计系统的期望对数幅频特性 期望对数频率特性 期望对数频率特性是指根据对系统提出的稳态和动态性能要求 并考虑到未校正系统的特性而确定的一种期望的 校正后系统所具有的开环对数幅频特性 根据所得校正装置的对数幅频特性Lc w 进而可确定出校正装置的传递函数Gc s 这样我们就可以用具体的电路网络加以实现 由于在此过程中仅仅考虑了系统对数幅频特性 而没有使用对数相频特性 故此方法只能用于最小相位系统的设计 二 典型的期望对数幅频特性 典型的期望对数幅频特性在工程中是经常应用的设计方法 二阶期望特性被应用于复杂控制系统的内环设计 三阶期望特性被应用于复杂控制系统的外环设计 四阶期望特性被应用于多环复杂控制系统的外环设计 二阶期望特性 校正后系统成为典型I型二阶系统 其开环传递函数为 式中 T为时间常数 K为开环传递系数 系统相应的频率特性表达式为其截止频率和转折频率分别为工程上常以z 0 707时的二阶希望特性作为二阶最佳频率特性 此时 二阶系统的各项性能指标为 二阶系统的希望对数幅频特性 三阶期望特性 校正后系统成为典型 型三阶系统 其传递函数为 系统相应的幅频特性表达式为 其中w1 1 T1 w2 1 T2为转折频率 对于典型 型系统 其稳态位置误差和速度误差均为零 加速度误差为常数 该系统的动态性能与截止频率wc和中频带宽h有关 而中频带宽由下式确定 当h确定后可按下式确定其转折频率 不同h值时系统的Mp和g 按照已满足系统稳态性能绘制未校正系统的开环对数幅频特性 根据性能指标的要求绘制出系统的期望对数幅频特性 用期望对数频率特性减去未校正系统的对数频率特性 即可获得串联校正装置的对数幅频特性 根据校正装置的幅频特性选择校正装置并计算其参数 校验校正后系统的性能指标 基于期望对数频率特性的设计步骤 三 期望对数幅频特性设计实例一 例6 10设单位负反馈系统开环传递函数为设计要求 闭环系统在单位阶跃输入作用下的稳态位置误差系数为零 系统和最大超调量s 5 调节时间ts 0 3s 试设计系统串联校正装置 解 首先绘制未校正系统的对数幅频特性 根据系统开环传递函数画出系统的对数幅频特性L0 w 如图所示 截止频率wc 4rad s相角裕度g 95 系统的超调量s 8 调节时间ts tswc wc 0 2s位置误差系数Kp 2 未校正系统的对数幅频特性 绘制系统期望对数幅频特性 通过对系统固有幅频特性的分析 可以看出原系统各项性能指标均不符合要求 必须对系统进行校正 对系统的校正分为三个部分 即低频段校正 中频段校正 高频段校正 低频段对应系统的稳态性能 中频段对应系统的动态性能 这是设计的关键 高频段对应系统的抗干扰性能 低频段设计 根据稳态速度误差要求 必须将系统校正成典型I型二阶系统 且系统相应的开环传递系数Kv K 10s 1即就是说 除了开环传递系数增加5倍外 开环系统还要增加一个积分环节 如果将现有系统的幅频特性上移至相应的位置 则其截止频率将增大至10rad s 此时系统的相角裕度则只有39度 且超调将达到37 这显然不能满足指标要求 系统期望的对数幅频特性 中频段设计 按照低频段设计的结果 系统的开环传递函数必须增加一个积分环节 即典型I型系统 与此同时 再给系统增加一个一阶微分环节 并使其时间常数与惯性环节的时间常数相等 从而抵消此惯性环节 系统所期望的对数幅频特性如图所示 根据对超调量为5 的要求 系统校正后的对数幅频特性按典型I型二阶特性 其阻尼系数为z 0 707 则有此时系统的超调量为4 32 高频段设计 为使系统的校正装置尽可能简单 其期望幅频特性的高频段应尽量与原系统的高频段相同或相似 即就是说 期望特性的高频段 无论是斜率或是转折频率均应与原系统的高频段相同 故本例中系统的高频段也取与原系统幅频特性相同的斜率 即 40dB dec 三 期望对数幅频特性设计实例二 例6 11设未校正的单位负反馈系统开环传递函数为设计要求 闭环系统在单位阶跃输入作用下的稳态速度误差系数为零 系统的最大超调量s 25 调节时间ts 2 5s 试设计系统串联校正装置 未校正系统的性能指标 根据二阶系统性能指标计算方法得稳态性能指标即速度误差系数Kv 40s 1经计算系统的阻尼系数z 0 25 查二阶系统阻尼系数与超调量关系曲线 对应超调量为43 系统的调节时间为ts 6T 0 6 s 可以看出其稳态和动态性能指标除调节时间外均不符合系统要求 系统对数幅频特性如图所示 未校正系统对数幅频特性 系统校正思路 根据未校系统的性能指标和对数幅频特性可以看出 其截止频率处的幅频特性斜率为 40dB dec 因此必须对系统进行校正 校正的步骤是首先根据系统的稳态性能指标即速度误差系数为零要求来确定系统的型别 根据误差理论 系统校正后开环传递函数具有两个积分环节即 型系统 为了使系统满足所要求的稳态和动态性能指标 将系统校正成典型 型三阶系统才有可能达到要求 典型 型系统的传递函数为 校正后系统的对数幅频特性 低频段校正 根据校正后系统的对数幅频特性可知 在低频段 其斜率为 40dB dec 这意味着系统校正后其前向通道具有两个积分环节 根据稳态误差理论 闭环系统的稳态速度误差将为零 从而达到了系统的稳态要求 中频段校正 从校正后系统对数幅频特性可以看出 为了满足系统的动态性能指标 必须使系统校正后对数幅频特性以 20dB dec过零 且保持中频带具有一定的带宽 根据系统要求的超调量性能指标 经查曲线其相角裕度g 55 而其对应的中频带宽为h 10 故有T1 10T2 1 0 s 为使系统的对数幅频特性在中频带的中点过零 可通过调整校正装置的Kp来实现 根据低频段 40dB dec时的计算公式有从上式可解得K 3 16wc 3 16Kp K 40 0 079则校正装置的传递函数为校正后系统的调节时间为ts 2 37 s 校正装置的实现问题 实现问题就是将校正过程中确定的校正装置传递函数转化为实际的物理电路 实现问题需要考虑的因素技术因素实现的简便性 可靠性 稳定性 可维护性 体积大小 功耗等 经济因素实现成本 运行成本 维护成本 实现问题实际存在的困难微分校正装置难以实现 且抗干扰能力差 非线性因素和干扰问题 第六节 并联 反馈 校正的设计 并联校正就是反馈校正 在反馈校正的系统中 校正装置不是与系统的前向通道相串联 而是对系统的局部形成反馈以达到对系统校正的目的 并联校正的优点比较突出 校正结果显著 因此在工程中得到广泛应用 我们首先讨论并联校正装置对系统性能的影响 并以实例来讨论分析并联校正装置的设计方法 一 并联校正装置对系统特性的影响 如图所示为实施并联校正的控制系统方框图 未校正系统由G1 s 和G2 s 两部分组成 并联校正装置H s 只对G2 s 形成了局部反馈 设局部反馈的闭环传递函数为其相应的频率特性为对于不同频率 则局部反馈的闭环部分频率响应表现出不同的频率特性 当系统工作在高频段时 局部反馈部分的开环频率特性为则可认为校正装置不起作用 即当系统工作在低频段时 局部反馈部分的开环频率特性为则可认为局部反馈部分的频率特性为 结论 从以上分析可以看出 较高频段是并联校正装置不起校正作用的频段 较低频段则是并联校正装置起主要作用的频段 在起主要作用的频段里 被校正装置局部反馈的闭环频率特性主要取决于校正装置的特性 而与被反馈的原系统无关 所以 适当选择校正装置的结构和参数就能改变被校正系统的频率特性 使系统达到要求的性能指标 二 并联校正装置的设计方法 根据并联校正系统方框图 其开环传递函数为式中 G0 jw 为未校正系统开环频率特性 如若用对数幅频特性设计系统的校正装置 则应根据对数频率特性的特点进行其分析和计算 当局部反馈的开环幅频特性在较高频段远远小于1时 则其对数幅频特性为则有如下递推关系当局部反馈的开环幅频特性在较低频段远远大于1时 则其对数幅频特性为则有如下递推关系 相关讨论 以上分析表明 如果可已知校正后系统的开环频率特性和校正前系统的开环频率特性 则我们可确定校正装置起作用的频率区域 并由上式确定局部反馈部分的开环频率特性 而在校正装置不起作用的频率区域 局部反馈校正