两数N次方差的一般计算公式.doc

聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁莁薇袄肇蒀虿肀羃葿螂袂芁葿蒁蚅芇蒈蚄羁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅蒅薈螂芄蒄蚀羇膀薄螂螀肆薃蒂羆羂薂蚄螈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄膅螃肁芃芄蒃袃腿芃薅聿肅节螈袂肁芁袀螄荿芁薀羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇芈蒄螁羃莇薆羆节莆蚈蝿膈莅袁羅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芅莂蒅肁膁膃荿蚆衿膂蒁袂螅节薄蚅肃芁芃蒇罿芀莆蚃羅艿薈蒆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芆蒂蝿羂芆薄薂袈莅芄螈螄莄莆薀肂莃葿螆肈莂蚁蕿羄莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薅袃肅羆芅蚅羁肅莇袁袇肄蒀蚄螃肃薂蒆膁肃莂蚂肇肂蒄薅羃肁薆螀衿肀芆薃螅聿莈蝿肄膈蒀薁羀膇薃螇袆膇节薀螂膆蒅螅螈膅薇蚈肇膄芇袃羃膃荿蚆衿膂蒁袂螅节薄蚅肃芁芃蒇罿芀莆蚃羅艿薈蒆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芆蒂蝿羂芆薄薂袈莅芄螈螄莄莆薀肂莃葿螆肈莂蚁蕿羄莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薅袃肅羆芅蚅羁肅莇袁袇肄蒀蚄螃肃薂蒆膁肃莂蚂肇肂蒄薅羃肁薆螀衿肀芆薃螅聿莈蝿肄膈蒀薁羀膇薃螇袆膇节薀螂膆蒅螅螈膅薇蚈肇膄芇袃羃膃荿蚆衿膂蒁袂螅节薄蚅肃芁芃蒇罿芀莆蚃羅艿薈蒆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芆蒂蝿羂芆薄薂袈莅芄螈螄莄莆薀肂莃葿螆肈莂蚁蕿羄莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薅袃肅羆芅蚅羁肅莇袁袇肄蒀蚄螃肃薂蒆膁肃莂蚂肇肂蒄薅羃肁薆螀衿肀芆薃螅聿莈蝿肄膈蒀薁羀膇薃螇袆膇节薀螂膆蒅螅螈膅薇蚈肇膄芇袃羃膃荿蚆衿膂蒁袂螅节薄蚅肃芁芃蒇罿芀莆蚃羅艿薈蒆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芆蒂蝿羂芆薄薂袈莅芄螈螄莄莆薀肂莃葿螆肈莂蚁蕿羄莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薅袃肅羆芅蚅羁肅莇袁袇肄蒀蚄螃肃薂蒆膁肃莂蚂肇肂蒄薅羃肁薆螀衿肀芆薃螅聿莈蝿肄膈蒀薁羀膇薃螇袆膇节薀螂膆蒅螅螈膅薇蚈肇膄芇袃羃膃荿蚆衿膂蒁袂螅节薄蚅肃芁芃蒇罿芀莆蚃羅艿薈蒆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芆蒂蝿羂芆薄薂袈莅芄螈螄莄莆薀肂莃葿螆肈莂蚁蕿羄莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薅袃肅羆芅蚅羁肅莇袁袇肄蒀蚄螃肃薂蒆膁肃莂蚂肇肂蒄薅羃肁薆螀衿肀芆薃螅聿莈蝿肄膈蒀薁羀膇薃螇袆膇节薀螂膆蒅螅螈膅薇蚈肇膄芇袃羃膃荿蚆衿膂蒁袂螅节薄蚅肃芁芃蒇罿芀莆蚃羅艿薈蒆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芆蒂蝿羂芆薄薂袈莅芄螈螄莄莆薀肂莃葿螆肈莂蚁蕿羄莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薅袃肅羆芅蚅羁肅莇袁袇肄蒀蚄螃肃薂蒆膁肃莂蚂肇肂蒄薅羃肁薆螀衿肀芆薃螅聿莈蝿肄膈蒀薁羀膇薃螇袆膇节薀螂膆蒅螅螈膅薇蚈肇膄芇袃羃膃荿蚆衿膂蒁袂螅节薄蚅肃芁芃蒇罿芀莆蚃羅艿薈蒆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芆蒂蝿羂芆薄薂袈莅芄螈螄莄莆薀肂莃葿螆肈莂蚁蕿羄莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薅袃肅羆芅蚅羁肅莇袁袇肄蒀蚄螃肃薂蒆膁肃莂蚂肇肂蒄薅羃肁薆螀衿肀芆薃螅聿莈蝿肄膈蒀薁羀膇薃螇袆膇节薀螂膆蒅螅螈膅薇蚈肇膄芇袃羃膃荿蚆衿膂蒁袂螅节薄蚅肃芁芃蒇罿芀莆蚃羅艿薈蒆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芆蒂蝿羂芆薄薂袈莅芄螈螄莄莆薀肂莃葿螆肈莂蚁蕿羄莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薅袃肅羆芅蚅羁肅莇袁袇肄蒀蚄螃肃薂蒆膁肃莂蚂肇肂蒄薅羃肁薆螀衿肀芆薃螅聿莈蝿肄膈蒀薁羀膇薃螇袆膇节薀螂膆蒅螅螈膅薇蚈肇膄芇袃羃膃荿蚆衿膂蒁袂螅节薄蚅肃芁芃蒇罿芀莆蚃羅艿薈蒆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芆蒂蝿羂芆薄薂袈莅芄螈螄莄莆薀肂莃葿螆肈莂蚁蕿羄莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薅袃肅羆芅蚅羁肅莇袁袇肄蒀蚄螃肃薂蒆膁肃莂蚂肇肂蒄薅羃肁薆螀衿肀芆薃螅聿莈蝿肄膈蒀薁羀膇薃螇袆膇节薀螂膆蒅螅螈膅薇蚈肇膄芇袃羃膃荿蚆衿膂蒁袂螅节薄蚅肃芁芃蒇罿芀莆蚃羅艿薈蒆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芆蒂蝿羂芆薄薂袈莅芄螈螄莄莆薀肂莃葿螆肈莂蚁蕿羄莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薅袃肅羆芅蚅羁肅莇袁袇肄蒀蚄螃肃薂蒆膁肃莂蚂肇肂蒄薅羃肁薆螀衿肀芆薃螅聿莈蝿肄膈蒀薁羀膇薃螇袆膇节薀螂膆蒅螅螈膅薇蚈肇膄芇袃羃膃荿蚆衿膂蒁袂螅节薄蚅肃芁芃蒇罿芀莆蚃羅艿薈蒆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芆蒂蝿羂芆薄薂袈莅芄螈螄莄莆薀肂莃葿螆肈莂蚁蕿羄莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薅袃肅羆芅蚅羁肅莇袁袇肄蒀蚄螃肃薂蒆膁肃莂蚂肇肂蒄薅羃肁薆螀衿肀芆薃螅聿莈蝿肄膈蒀薁羀膇薃螇袆膇节薀螂膆蒅螅螈膅薇蚈肇膄芇袃羃膃荿蚆衿膂蒁袂螅节薄蚅肃芁芃蒇罿芀莆蚃羅艿薈蒆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芆蒂蝿羂芆薄薂袈莅芄螈螄莄莆薀肂莃葿螆肈莂蚁蕿羄莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薅袃肅羆芅蚅羁肅莇袁袇肄蒀蚄螃肃薂蒆膁肃莂蚂肇肂蒄薅羃肁薆螀衿肀芆薃螅聿莈蝿肄膈蒀薁羀膇薃螇袆膇节薀螂膆蒅螅螈膅薇蚈肇膄芇袃羃膃荿蚆衿膂蒁袂螅节薄蚅肃芁芃蒇罿芀莆蚃羅艿薈蒆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芆蒂蝿羂芆薄薂袈莅芄螈螄莄莆薀肂莃葿螆肈莂蚁蕿羄莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薅袃肅羆芅蚅羁肅莇袁袇肄蒀蚄螃肃薂蒆膁肃莂蚂肇肂蒄薅羃肁薆螀衿肀芆薃螅聿莈蝿肄膈蒀薁羀膇薃螇袆膇节薀螂膆蒅螅螈膅薇蚈肇膄芇袃羃膃荿蚆衿膂蒁袂螅节薄蚅肃芁芃蒇罿芀莆蚃羅艿薈蒆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芆蒂蝿羂芆薄薂袈莅芄螈螄莄莆薀肂莃葿螆肈莂蚁蕿羄莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薅袃肅羆芅蚅羁肅莇袁袇肄蒀蚄螃肃薂蒆膁肃莂蚂肇肂蒄薅羃肁薆螀衿肀芆薃螅聿莈蝿肄膈蒀薁羀膇薃螇袆膇节薀螂膆蒅螅螈膅薇蚈肇膄芇袃羃膃荿蚆衿膂蒁袂螅节薄蚅肃芁芃蒇罿芀莆蚃羅艿薈蒆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芆蒂蝿羂芆薄薂袈莅芄螈螄莄莆薀肂莃葿螆肈莂蚁蕿羄莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薅袃肅羆芅蚅羁肅莇袁袇肄蒀蚄螃肃薂蒆膁肃莂蚂肇肂蒄薅羃肁薆螀衿肀芆薃螅聿莈蝿肄膈蒀薁羀膇薃螇袆膇节薀螂膆蒅螅螈膅薇蚈肇膄芇袃羃膃荿蚆衿膂蒁袂螅节薄蚅肃芁芃蒇罿芀莆蚃羅艿薈蒆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芆蒂蝿羂芆薄薂袈莅芄螈螄莄莆薀肂莃葿螆肈莂蚁蕿羄莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薅袃肅羆芅蚅羁肅莇袁袇肄蒀蚄螃肃薂蒆膁肃莂蚂肇肂蒄薅羃肁薆螀衿肀芆薃螅聿莈蝿肄膈蒀薁羀膇薃螇袆膇节薀螂膆蒅螅螈膅薇蚈肇膄芇袃羃膃荿蚆衿膂蒁袂螅节薄蚅肃芁芃蒇罿芀莆蚃羅艿薈蒆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芆蒂蝿羂芆薄薂袈莅芄螈螄莄莆薀肂莃葿螆肈莂蚁蕿羄莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薅袃肅羆芅蚅羁肅莇袁袇肄蒀蚄螃肃薂蒆膁肃莂蚂肇肂蒄薅羃肁薆螀衿肀芆薃螅聿莈蝿肄膈蒀薁羀膇薃螇袆膇节薀螂膆蒅螅螈膅薇蚈肇膄芇袃羃膃荿蚆衿膂蒁袂螅节薄蚅肃芁芃蒇罿芀莆蚃羅艿薈蒆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芆蒂蝿羂芆薄薂袈莅芄螈螄莄莆薀肂莃葿螆肈莂蚁蕿羄莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薅袃肅羆芅蚅羁肅莇袁袇肄蒀蚄螃肃薂蒆膁肃莂蚂肇肂蒄薅羃肁薆螀衿肀芆薃螅聿莈蝿肄膈蒀薁羀膇薃螇袆膇节薀螂膆蒅螅螈膅薇蚈肇膄芇袃羃膃荿蚆衿膂蒁袂螅节薄蚅肃芁芃蒇罿芀莆蚃羅艿薈蒆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芆蒂蝿羂芆薄薂袈莅芄螈螄莄莆薀肂莃葿螆肈莂蚁蕿羄莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薅袃肅羆芅蚅羁肅莇袁袇肄蒀蚄螃肃薂蒆膁肃莂蚂肇肂蒄薅羃肁薆螀衿肀芆薃螅聿莈蝿肄膈蒀薁羀膇薃螇袆膇节薀螂膆蒅螅螈膅薇蚈肇膄芇袃羃膃荿蚆衿膂蒁袂螅节薄蚅肃芁芃蒇罿芀莆蚃羅艿薈蒆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芆蒂蝿羂芆薄薂袈莅芄螈螄莄莆薀肂莃葿螆肈莂蚁蕿羄莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薅袃肅羆芅蚅羁肅莇袁袇肄蒀蚄螃肃薂蒆膁肃莂蚂肇肂蒄薅羃肁薆螀衿肀芆薃螅聿莈蝿肄膈蒀薁羀膇薃螇袆膇节薀螂膆蒅螅螈膅薇蚈肇膄芇袃羃膃荿蚆衿膂蒁袂螅节薄蚅肃芁芃蒇罿芀莆蚃羅艿薈蒆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芆蒂蝿羂芆薄薂袈莅芄螈螄莄莆薀肂莃葿螆肈莂蚁蕿羄莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薅袃肅羆芅蚅羁肅莇袁袇肄蒀蚄螃肃薂蒆膁肃莂蚂肇肂蒄薅羃肁薆螀衿肀芆薃螅聿莈蝿肄膈蒀薁羀膇薃螇袆膇节薀螂膆蒅螅螈膅薇蚈肇膄芇袃羃膃荿蚆衿膂蒁袂螅节薄蚅肃芁芃蒇罿芀莆蚃羅艿薈蒆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芆蒂蝿羂芆薄薂袈莅芄螈螄莄莆薀肂莃葿螆肈莂蚁蕿羄莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薅袃肅羆芅蚅羁肅莇袁袇肄蒀蚄螃肃薂蒆膁肃莂蚂肇肂蒄薅羃 两数N次方差的一般计算公式在数学的学习中，有时候会碰到求两数的平方差的题目，在六年级的奥数学习中，通过面积和体积的计算公式，发现了相邻两数二次方和三次方的计算规律，后来我把它推演到不相邻两个数的N次方，发现同样有效。就如同二次方差用于计算面积差，三次方的差用于计算体积差一样，也许N次方的差在将来用于计算N维度的差。推导过程：一、由二次方看首先，我们知道两个数的二次方的计算方法已知一个数A的平方，求这个数相邻数的平方。解答：如图，一个数A的平方如图中有色部分，即A2；这个数的相邻数的平方可以看图中的白色方框包含的部分和绿色边框包含的部分，他们分别是：52-42=5(2-1)+4(2-1)=5+4=9几何上可以理解为：图中白色框的一边5与另一边4相加42-32=4(2-1)+3(2-1)=4+3=7几何上可以理解为：图中绿色框的一边3与另一边4的相加所以对于相邻两数的二次方的差计算的一般公式如下：(A+1)2-A2=(A+1)(2-1)*A(2-2)+(A+1)(2-2)*A(2-1)对于最外边白色框与里边绿色框的平方差，可通过图形看到(A+1)2-（A-1)2=(A+1)(2-1)* (A-1)(2-2)*2+(A+1)(2-2)*(A-1)(2-1)*2=(A+1)(2-1)* (A-1)(2-2)+(A+1)(2-2)*(A-1)(2-1)*2几何上理解为：长方向的A+1与(A+1)-(A-1)=2的面积、宽方向上A-1与(A+1)-(A-1)=2的面积，两块面积的和。同理，推广到两个不相邻数P与Q的平方差，可表示为：P2-Q2=P(2-1)*Q(2-2)+P(2-2)*Q(2-1)*(P-Q)二、再看三次方的情况我们看相邻两个数的三次方的差的计算方法：已知一个数A的三次方，求这个数相邻数的三次方。设A的相邻数为A+1和A-1，则他们的三次方可以用一个三维立体图形形象地表示，如右图：(A+1)3-A3=(A+1)(3-1)*A(3-3)+(A+1)(3-2)*A(3-2)+(A+1)(3-3)*A(3-1)A3-(A-1)3=A(3-1)*(A-1)(3-3)+A(3-2)*(A-1)(3-2)+A(3-3)*(A-1)(3-1)几何上的理解是：长方向的A与高方向上的A厚度为1的体积、宽方向上的（A-1）与高方向上的A厚度为1的体积、长方向上的（A-1）与宽方向上的（A-1）厚度为1的体积，这三块体积之和。对于不相邻两个数P、Q的三次方的差，可以看作是厚度为（P-Q）的形成体积的体积差，一般公式为：P3-Q3=P(3-1)*Q(3-3)+P(3-2)*Q(3-2)+P(3-3)*Q(3-1)*(P-Q)三、推广到四次方同样，可以知道相邻两个数的四次方之差公式：(A+1)4-A4=(A+1)(4-1)*A(4-4)+(A+1)(4-2)*A(4-3)+(A+1)(4-3)*A(4-2)+(A+1)(4-4)*A(4-1)不相邻两数的四次方之差的一般公式：P4-Q4=P(4-1)*Q(4-4)+P(4-2)*Q(4-3)+P(4-3)*Q(4-2)+P(4-4)*Q(4-1)*(P-Q)四、结论：两个数的n次方之差计算方法，综上，我们可以由简单而复杂，推而广之，得出相邻两个数的n次方的差的一般公式：Pn - Qn=P(n-1)*Q(n-n)+P(n-2)*Q1+ P(n-3)*Q2+ P(n-4)*Q3+ P(n-n)*Q(n-1)不相邻两个数的n次方的差的一般公式：Pn - Qn=P(n-1)*Q(n-n)+P(n-2)*Q1+ P(n-3)*Q2+ P(n-4)*Q3+ P(n-n)*Q(n-1)*(P-Q)五、验证： 相邻两数的N次方的差的计算验证34-24=81-16=6534-24=33*20 + 32*21 + 31*22 + 30*23=6566-56=46656-15625=3103166-56=65*50 + 64*51 + 63*52 + 62*53 + 61*54 + 60*55=31031不相邻两数的N次方的计算验证105-55=10000-3125=96875105-55=10*10*10*10*1+10*10*10*5+10*10*5*5+10*5*5*5+5*5*5*5*5=10000+5000+2500+1250+625*5=19375*5=96875116-96=1771561-531441=1240120116-96=115*1+114*9+113*92+112*93+111*94+1*95*(11-9)=161051+131769+107811+88209+72171+59049*2=620060*2=1240120方差公式的应用刘君 王永会 方差公式在数学解题中有着极其广阔的应用价值。然而由于统计初步列入中学数学时间不长，因而有关方差公式在数学解题中的应用资料甚少，故给学生一种错觉，好像学了方差公式仅仅是为了统计计算而已，别无它用。为延伸教材内容，紧跟素质教育和新课程改革的步伐，笔者就八个方面的应用介绍如下： 若为一组数据的平均数，为这组数据的方差，则有 由方差定义公式，显然有，当且仅当时 1. 求值 例1. 已知实数x、y、z满足 试求的值。 解：得： 得： 将代入得：，把x，3y视为一组数据，由方差公式，得 因为，所以 所以z0，所以 所以代入得 所以 2. 解方程 例2. 解方程 解：设，则 原方程可化为 所以 由方差公式，得a、b、c的方差为： 因为 所以 所以 所以，从而 故，经检验是原方程的解。 3. 解方程组 例3. 解关于实数x、y、z的方程组 解：由得 ，得 由方差公式，得的方差为： 因为，所以 所以 所以，所以 所以 把代入得y1，从而x3，所以 4. 证明不等式 例4. 已知，求证： 证明：设，由方差公式，得x、y、z的方差为 因为，所以 所以，即 5. 证明等式 例5. 已知实数a、b、c满足，求证：ab 证明：由已知得 由方差公式，得实数a、b的方差为 因为，所以 所以c0，所以，则ab 6. 求字母的取值范围 例6. 设实数a、b、c满足 则a的取值范围是_。 解：得 得 由方差公式得b、c的方差为 因为 所以 所以 解得 7. 求最值 例7. 实数x、y满足，设，则_。 解：设，由方差公式得x、y的方程 因为 所以 所以，代入，得 所以 所以，即 所以 8. 判断三角形形状 例8. 设的三边a、b、c满足：，试问是什么三角形（按边分类）？并证明你的结论。 解：为等腰三角形，证明如下： 由已知得 由方差公式得b、c的方差为 因为，所以，所以，所以 所以 故是以a为底，以b、c为腰的等腰三角形。 练习： 1. 已知的三边a、b、c满足（1）；（2）；（3）b是正整数；（4），求b的值。 2. 已知，求证： 3. 实数a、b、c、d满足，求a值范围。 4. 解方程组 5. 设都是正整数，且满足，则的最大值为_ 6. 设m、n、p为正实数，且，求的最小值。 7. 求的最大值。 8. 已知a、b、c为的三边，若，试判断此三角形的形状。 参考答案： 1. 2. 略 3. 4. 5. 5947 6. 7. 2 8. 为等边三角形 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