弹塑性力学第三章.ppt

2020 2 7 1 第三章应变分析 3 1位移和 工程 应变 3 2应变张量和转动张量 3 3应变张量和转动张量的坐标变换式 3 4主应变 主应变方向 应变张量 的三个不变量 3 5变形协调条件 相容条件 2020 2 7 2 在第二章我们研究了应力张量本身和体力 面力之间的关系式 即平衡规律 本章将讨论变形体研究的另一个基本关系 变形与位移之间的关系 当然要以小变形假设为基础 位移和形变相对于变形体几何尺寸是微小的 3 1位移和 工程 应变 2020 2 7 3 3 1位移和 工程 应变 1 1位移 有三个分量 变形体任意点P的位移矢量 2020 2 7 4 3 1位移和 工程 应变 1 2 工程 应变 工程应变是通常工程中描述物体局部几何变化 分为正应变和剪应变 角变形 两微元线段夹角的改变量 工程 正应变 11 22 33 工程 剪应变 12 xy 23 yz 31 zx 2020 2 7 5 3 1位移和 工程 应变 工程应变共有六个分量 三个正应变 正应变以伸长为正 三个剪应变 剪应变以使直角变小为正 2020 2 7 6 3 2应变张量和转动张量 应变张量和转动张量是描述一点变形和刚体转动的两个非常重要的物理量 本节将讨论一下它们与位移之间关系 在讨论之前 先介绍一下相对位移矢量和张量 2020 2 7 7 3 2应变张量和转动张量 2 1相对位移矢量和相对位移张量 相对位移矢量 2020 2 7 8 3 2应变张量和转动张量 a 而 b 将 b 式代入 a 式 得 2 1相对位移矢量和相对位移张量 2020 2 7 9 3 2应变张量和转动张量 根据商法则 令 为一个二阶张量 相对位移张量 2020 2 7 10 3 2应变张量和转动张量 2 2应变张量和转动张量 相对位移张量ui j包含了变形和刚体转动 为了将两者分开 对ui j进行整理 张量分成对称和反对称张量之和 或 2020 2 7 11 3 2应变张量和转动张量 其中 ij ji 对称张量 ij ji 反对称张量 而 ij表示变形体的形变 ij表示了刚体转动 2020 2 7 12 3 2应变张量和转动张量 以在平面x1 x2的两个垂直线段PQ PR的相对位移来说明并直观看一下 ij ij二阶张量表示了形变和刚体转动 2020 2 7 13 3 2应变张量和转动张量 相对位移 2020 2 7 14 3 2应变张量和转动张量 11 12 21 22纯变形 12 21纯转动 2020 2 7 15 3 2应变张量和转动张量 2 3转动张量的对偶矢量 由纯刚体转动可见 12 21 正好相当于一个沿x3轴方向的转动矢量 方向为 其大小 3 类似可得 其它两个坐标平面转动矢量 2020 2 7 16 3 2应变张量和转动张量 综合三个坐标面的转动矢量 为转动张量的对偶矢量 2020 2 7 17 3 2应变张量和转动张量 比较工程应变定义和应变张量 可得 2020 2 7 18 3 3应变张量和转动张量的坐标变换式 在xk坐标系中 已知变形体内任一点应变张量 kl和转动张量 kl 则在新笛卡尔坐标系x i中此点应变张量 ij和 ij均可以通过二阶张量的坐标转换式求出它们 即 2020 2 7 19 3 4主应变 应变方向应变张量的三个不变量 确定一点的主应变和应变主方向方法与求主应力和应力主方向的方法完全一致 求主应变的方程 分别为应变张量的三个不变量 解出 1 2 3 实根 2020 2 7 20 3 4主应变 应变方向应变张量的三个不 体积应变 当 1 2 3时 三个主应变不相等 三个主方向相互垂直 变量 2020 2 7 21 3 5变形协调条件 相容条件 在本章第二节中我们讨论了一点的应变张量 它包含了一点的变形信息 应变张量与位移微分关系称为几何方程 共六个 如果已知变形体的位移状态 则由这六个方程直接求出应变张量 但反之由六个独立的任意 ij求ui不行 2020 2 7 22 3 5变形协调条件 相容条件 因为 ij仅包含形变 由其求出位移时 刚体位移是无法确定的 因此 位移无法确定 ij分量之间必须满足一定的条件 方程 才能由几何方程积分求出单值连续的位移场ui ij的分量必须满足的方程称为变形协调方程或相容方程 2020 2 7 23 3 5变形协调条件 相容条件 变形协调方程共有六个 可由几何方程直接导出 即 2020 2 7 24 3 5变形协调条件 相容条件 2020 2 7 25 3 5变形协调条件 相容条件 2020 2 7 26 3 5变形协调条件 相容条件 2020 2 7 27 3 5变形协调条件 相容条件 2020 2 7 28 3 5变形协调条件 相容条件 用指标符号表示 或 用张量表示 2020 2 7 29 3 5变形协调条件 相容条件 结论 应变张量 ij满足变形协调方程是保证单连域的位移单值连续解存在的必要和充分条件 对于复连域还需附加补充条件 位移单值条件 单连域 变形体内的任何一条封闭线当缩小时均能变为一点 当不满足时为多连域 2020 2 7 30 3 5变形协调条件 相容条件 对于多连域附加补充条件办法为 假想通过适当截断 使域为单连域 在截断面ab两侧u i u i即为补充条件 2020 2 7 31 作业 1 给定位移分量 u1 cx1 x2 x3 2 u2 cx2 x1 x3 2 u3 cx3 x1 x2 2 此处c为一个很小的常数 求应变张量 ij和转 动张量 ij 2 将直角坐标系绕x3轴转动 角 求新坐标系应变分量的转换关系 2020 2 7 32 作业 3 假定体积不可压缩 位移u1 x1 x2 与u2 x1 x2 很小 u3 0 在一定区域内已知 u1 c 1 x22 a bx1 cx12 其中a b c为 常数 且 12 0 求u2 x1 x2 4 试分析以下工程应变状态能否存在 1 11 k x12 x22 x3 22 kx22x3 33 0 12 2kx1x2x3 23 13 0