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考研数学指导（10）微分是个新起点 微分学研究函数的方法，是用函数的导数回头去研究函数。这和物理学用速度及加速度去研究物体运动是一个道理。微分则是运用导数研究函数的起点。 线性关系是最简单的函数关系。我们在生活中遇到的正比例问题举不胜举。而讨论非线性问题，总是件很困难的事。到朋友家要上楼，如果他们家的楼梯是非线性的，多半你会摔个跟头。 “能否把非线性问题线性化？”这是人们在经验基础上的自然思考。实际上，非线性问题就是非线性问题，所谓“线性化”，只是用一个“合适的” 线性模型去近似非线性模型。即 非线性模型 = 线性模型 + 尾项（尾项= 非线性模型线性模型）， 关键在于表示尾项，研究尾项！找到尾项可以被控制的逼近模型。 把这个思想落实到函数上，就是，在中心点x0邻近，能否有 y = Ax + 尾项 ，尾项 = yAx能否是比x高阶的无穷小？ 如果能，就称函数在点x0可微分。简称可微。记 dy = Ax ，称为函数的微分，又称为函数的线性主部。 将可微定义等式两端同除以x，令x趋于零取极限即知，若函数在点x0可微，则 A就是函数在点x0的导数 f (x0)；从而 y = f (x0)x +(x) ；(x)表示“比x高阶的无穷小。” 或y = dy+(x) ； dy = f (x0)x = f (x0) dx 要是需要，我们可以丢去尾项，微局部地得到函数值的（线性的）近似计算式。由于丢去的尾项是比x高阶的无穷小，如果x 0.01 ,那么，绝对誤差也小于0.01 不丢尾项，我们得到函数的一个新的（微局部地）有特定含义的表达式： f（x）= f（x0）+ y = f（x0）+ f (x0)x +(x) 历史上，这个表达式称为，“带皮阿诺余项的一阶泰勒公式”。 近一步可以证明，可微与可导等价。 例 41 设函数f（u）可导，y = f（x平方）当自变量x在点x = 1取得增量x =0.1时，相应的函数增量y的线性主部为0.1，则f (1) = _ 分析y的线性主部即是微分dy ，而 y(x)= f(u)2x , y(1) =2f(1)故 dy= y(x) dx 具体为 0.1 = y(1)( 0.1) ，解得f (1) = 1/2 函数 f（x）在一个区间上可导时，我们记微分 dy = f (x)dx 。但是不能忘了微分的微局部意义。 函数可微，且f (x0)0时，还可以把可微定义等式变形为y / f (x0)x = 1 + (x)f (x0)x 令 x 0 取极限，即知 y和dy是等价无穷小。 为了考试，要尽可能记住一些常用的等价无穷小，例如在x 0过程中 sinx x； ln（1+x） x；e xp（x）1 x；（1+ x）1 x2 它们都是在原点计算y和dy而获得的。最好再记住 1cosx x 平方2两条经验： （1）常用等价无穷小的拓展例如，若在某一过程中，若 （x）是无穷小，则 sin（x） （x） ； ln（1+ （x） （x） ；e （x）1 （x） （1+ （x）1 （x）2 ；1cos （x） （x）平方2 （2）等价无穷小的差为高阶无穷小。 例42设当x 0时，（1cosx）ln（1+x平方）是比 x（sinx的n次方） 高阶的无穷小； 而 x (sinx的n次方) 是比 exp（x平方）1 高阶的无穷小，则正整数 n = ？ 分析 x 0 时，（1cosx）ln（1+x平方）为 4 次方级的无穷小；x(sinx的n次方)是n+1次方级； exp（x平方）1是 2 次方级，由已知，2n+14 ，只有n = 2 我们还可以学会主动选定中心点，计算y和dy来获得等价无穷小。 例43 设在区间 1/2，1）上，f（x）= 1/x + 1/sinx1/（1x），试补充定义函数值f（1），使函数在闭区间上连续。 分析 （1）点1是右端点，按照连续的定义，应该补充定义f（1）为函数在点1的左极限。 （2）观察函数结构，第一项是连续函数求极限。第二，三项形成“无穷无穷”未定式。 （3）“计算无穷无穷，能通分时先通分”。 通分后化为0/0型未定式。求商的极限是否顺利，关健在于分母。要尽可能先简化分母。 （4）公分母 为 (1x）sinx ,可以考虑在点 1 计算 sinx 的等价无穷小 因为sin= 0 ,故 y = sinx ；而 dy =conx =（x1） 作等价无穷小因式替换，分母变成二次函数，再用洛必达法则求极限，一定顺利。 学习本是为了用，该出手时就出手。你不妨直接用洛必达法则求通分后的0/0型未定式极限。作个对比。 例44 设函数f (x)在x = 0的某邻域内有连续的一阶导数，且f (0)0，f (0) 0，若 a f（h）+ b f（2h）f（0）在h 0时是较h高阶的无穷小，试确定数a和b的值。 分析由高阶无穷小的定义得h 0时lim (a f（h）+ b f（2h）f（0）) / h = 0 记 F(h)= a f（h）+ b f（2h）f（0），F连续。于是（用“基本推理”）由极限式与连续性推出 F(0)= lim F(h)=（a + b + 1）f（0）= 0 ，只有 a + b + 1 = 0同时 （F(h)F(0) / h = F(h) / h，再由极限式得 F (0)= 0实际上， F (h) = af (h) + 2b f (2h)， F (0) = （a + 2b）f (0) = 0这就有第二个方程 a + 2b = 0 ；联解之，a = 2，b = 1 *分析二换一个思考方法，可微分定义式给了函数一个新的（微局部意义的）表达式。试用一下。 设想h充分靠近0，则f（x）= f（0）+f (0)x +(x) （中心点是原点，x = x 0 = x）故 f（h）= f（0）+f (0)h +(h) f（2h）= f（0）+ f (0)2h +(h) 从而 a f（h）+ b f（2h）f（0）=（a+b1）f（0）+（a+2b）f(0)h +(h) 要它在h 0时是比h高阶的无穷小，常数项和h项系数必需为0，获得两个方程。考研数学指导（11）洛尔定理做游戏 洛尔定理既为中值定理做准备，又在函数零点讨论方面具有独立意义。洛尔定理的证明中，逻辑推理既有典型性，又简明易懂。因而洛尔定理成为考研数学的一个特色考点。 我国的大学数学教材，通常把“费尔玛引理”的证明夹在洛尔定理的证明中，使得证明显得冗长。我先把它分离出来。（画外音：这可是个难得的好习题。） 1费尔玛引理 若可导函数在区间内一点取得最值，则函数在此点的导数为0 分析我们复习一下“构造 法”。已知或讨论函数在某一点的导数，不仿先写出导数定义算式，观察分析增量商。这是基本思路。 “老老实实”地写：设函数在区间内一点x0取得最大值。写出增量商(f（x）f（x0）)/（xx0） “实实在在”地想：它有什么特点呢？ f（x0）最大，分子函数增量恒负，分母自变量增量左负右正。这样一来， 增量商在x0左侧恒正，（负负得正）。其左极限即左导数非负。（潜台词：极限可能为0） 增量商在x0右侧恒负。故右极限即右导数非正。 函数可导，左，右极限存在且相等，导数只能为0 （画外音：导数为0，不是直接算出来，而是由逻辑推理判断得到的。你能否由此体会到一点数学美呢 。） 2洛尔定理 若 函数 f（x）在闭区间 a，b 连续，在（a，b）内可导，且端值相等。则必在（a，b）内一点 处导数为 0 分析函数在闭区间 a，b 连续 函数必有最大最小值 端值相等 只要函数不是常数，端值最多只能占最值之一。至少有一最值在区间内。 函数在（a，b）内可导 内部的最值点处导数为0 请看看，分离证明，前段运用导数定义，符号推理非常典型。后段逻辑有夹逼味道，十分简明。 运用洛尔定理，关键在于要对各种说法的“端值相等”有敏感性。 例 47设函数 f（x）二阶可导，且函数有3个零点。试证明二阶导数 f （x）至少有一个零点。 分析“函数有两个零点”，意味着两个函数值相等！它俩组成一个区间，就满足“端值相等”条件。可以应用洛尔定理得到函数的一阶导数的零点。 设函数的3个零点由小到大依次为x1，x2 ，x3 顺次取区间 x1，x2，x2，x3，分别在每个区间上对函数用洛尔定理，得到其一阶导数的两个零点， 1，2，且 1 2 1，2 客观存在。它们组成区间 1，2 ，且f (x) 在此区间上端值相等。 已知二阶导数f （x）存在，即 f (x)可导。对函数 f (x) 用洛尔定理就得本题结论。 本例同时展示了“逐阶运用洛尔定理”的思路。 不要怕“点”，不要去想它有多抽象。客观存在，为我所用。只是要留心它的范围。 (画外音：怕啥子嘛，你不是学了哲学，学了辩证法吗。) 3 “垒宝塔” 游戏 如果函数n阶可导，且函数有n +1个互不相同的零点。由此可以得到什么信息？ 我们可以象上例那样，先把这n +1个零点由小到大排序编号，x1，x2 ，x3 ， ，x n ，x (n+1)再顺次组成n个区间， x1，x2，x2，x3， ，x n ，x (n+1) 分别在每个区间上对函数用洛尔定理，得到其一阶导数的n个零点，且有大小排序 11 12 1n 同理，顺次取区间 11，12 ，12，13 ， ，1（n1），1n 共计n1个区间，分别对一阶导函数 f (x) 用洛尔定理，得到二阶导数的n1个零点，由小到大依次记为 21，22，2（n1） 再一次次逐阶运用洛尔定理，最后可以得到结论：函数的n阶导数有1个零点。 这是微分学的一个经典题目，结论好似一个倒置的“杨辉三角形”。 就当是做游戏吧。一个“垒宝塔” 游戏。 4 研考典型大题 考研数学有时在这个考点上出大题，基本模式为 “ 已知 ，证明区间内至少有一点 ，使得一个含有导数的等式成立 。” 例 48 设 f（x）在 0，1 上连续，在（0，1）内可导，且 f（1）= 0，试证（0，1）内至少有一点 ，使得 f（）+ f () =0 分析（综合法） 只是一个特殊点。就是方程 f（x）+ xf (x) =0 的根。 方程的根转化为函数g（x）= f（x）+ x f (x)的零点讨论。 （潜台词：我们有“介值定理”， “洛尔定理”两件兵器哦。） 由于关系式中有含导数的项，可以猜想，应当是我们对某个函数运用洛尔定理后，得到的导函数的零点。即 g（x）是某个函数F（x）的导函数 ？！ 再仔细观察 g（x）的结构，它多象是一个乘积函数求导公式啊。 （画外音：求导不熟练，肯定反应慢。） 实际上它的确是积函数F（x）= x f（x）的导函数，且恰好端值相等。 证明时只需从“作辅助函数F（x）= x f（x）， ”说起。 啊，典型的欧氏方法，困难的逆向思维。考研数学指导（12）中值公式不为算 数学公式基本上可以分为两类，一类用于计算。一类用于描述。 中值定理的公式（有限增量公式）就是描述型的数学公式。非数学专业的本科学生感到数学难学，一个基本原因在于观念。以为数学公式都是计算公式，遇上了描述型的公式，他们毫无思想准备。 描述型的数学公式意义深远。从根本上说，数学科学企图描述世界的任何过程。 描述型的数学公式并不难学。什么条件下可以用什么样的公式描述，你记住公式，完整地写出来不就行了。 微局部地研究函数，焦点在于讨论增量。我说微分是个新起点，指的就是，若函数f（x）在点x0可微，则函数实际上就有了一个（微局部的）新的表达式： f（x）= f (x0) + f (x0)(xx0) +(x)（ 尾项，比x高阶的无穷小） 历史上，这个表达式称为，“带皮阿诺余项的一阶泰勒公式”。 之所以是“微局部”的描述公式，是因为只有在x0的充分小的邻域内，“高阶无穷小”的描述才有实际意义。 不要认为这有多抽象。这是线性化思维的一个自然结果，一个客观事实。知道其存在，能对几个简单的基本初等函数按过程写出来，就算掌握了。 比如，在原点邻近，可以有，sinx = x +(x)，（请对比sinx x）。由此近一步有 x sinx = x （x +（x）=（x） （潜台词：表达式嘛，那就可以代进去。） 这就是描述型的思路。它告诉我们，x趋于0时，x sinx是比x高阶的无穷小。 在求极限时，我们只可以对（分子或分母）的“无穷小因式”作等价无穷小替换。但是，只要对运算有利，我们就可以把函数的（带高阶无穷小尾项）表达式代到任何一个位置去。 在运用函数的导数来研究函数的过程中，这个思路沿着两个方向延拓。 （1）对尾项的描述能否更具体？（ 2）能否提高描述的精度？即能否把函数写成 f（x）= 以x0为中心的n次多项式 + 尾项（比(x的n次方)高阶的无穷小） 高等数学在方向（1）上，讲了“拉格郎日公式”； 在方向（2）上则讲带有“拉格郎日型尾项的泰勒公式”。（后者只征对考数学一，二的考生）。 拉格郎日公式若 函数在闭区间 a，b 上连续，在（a，b）内可导，则（a，b）内至少有一点 ，使得 f (b)f (a) = f ()（ba） 教科书上是增量商的形式，我更喜欢用乘积形式。 定理说的是区间，应用时不能太死板。在满足条件的区间内取任意两点，实际上也组成一个（子）区间。比如，在区间内任意选定一点x0，对于区间内任意一点x，（潜台词：任给一点，相对不变。）也可以有 f（x）f（x0）= f ()（xx0） ， 在x与x0之间，即 f（x）= f（x0）+ f ()（xx0） ， 在x与x0之间， （画外音：一个x相应有一个，理论上构成一个函数关系。） 这样一来，中值定理也给了函数一个新的表达式。带 的项是尾项。（拉格朗日尾项）。 思考题目时，只要看到有导数条件及函数增量式，你就可以考虑先用拉格朗日公式转换描述方式，迈出第一步。再考虑如何利用导数条件及 所属范围处理尾项。 例51已知 f（x）在0，1可导，且导函数单增，试将f(0)，f(1),f (1)f（0）三个数按大小排序。 分析导函数单增，都是导函数值才能比较大小。f（1）f（0）是增量式，先用拉格朗日公式得， f（1）f（0）= f () ，01 ，写出这一步来就啥都明白了。 不要怕，它是区间内客观存在的一点。它的范围有时（如上例）也能导出信息。 例52 已知f（x）在某区间可导且导函数有界，试证明 f（x）恒满足y Cx 分析不知道已知区间是开区间还是闭区间，反正已知有f (x) M（正常数）在区间内任取两点,视为常数,运用拉格朗日公式 f（x1）f（x2）= f () (x1x2 ) ，x1 x 2 等式两端取绝对值，导函数有界的条件管住了，取C = M ，本题结论成立 多写才能熟悉。最好的基本练习是，把上例中的函数具体取为正弦，余弦，指数函数，反正切等，自己设定区间，求出M值，重复写出证明过程。 例53已知当 x 趋于+时，lim f(x) = e ，求 lim （f（x+1）f（x） 分析对任意给定的x ,所求极限的变量式，恰是函数 f（t）在点 x 与 x + 1 的增量式。先用拉格郎日公式改变其描述方式。 （画外音：分层次思维，走一步，写一步，再观察。） f（x+1）f（x）= f () ，x x +1 ，实际上 = （x） 显然，当 x 趋于+时，必有 趋于+；故， 原极限 = lim f () = e 最后的答案来自唯一性定理。（ 潜台词：无论（x）以怎样的方式趋向无穷，唯一性定理都管住了它。） 例54 试证明 x 0 时，ln（1 + x） x 分析 ln（1+x）= ln（1 + x） ln1 = x/ x，1 x+1 实际计算步骤为，取函数y（t）=ln（t），则 y(t)= 1 / t 进而 y() = 1 /, 得到结论只用了 1 “添零项获得增量”。创造条件运用拉格郎日公式。考研中心认为，你一定会这个小技术。考研数学指导（13）图形特征看单调 用导数讨论函数,中值定理是座座桥梁。拉格郎日公式有两个推论。使它更好地发挥桥梁作用。 1拉格郎日公式的两个推论 推论（1） 可导函数恒为常数的充分必要条件是其导函数恒为零。 推论（2） 设函数 f(x) 在区间（a，b）内可导，且导函数 f (x) 0 ，则f(x)在此区间上单增。 推论(1)是一个很好的“相对比较”练习题。即任选一点x0 ，视为不变。再任给一点x ，比较两个函数值的差。我们就可以应用拉格郎日公式，并联系已知条件得到结论。 由推论（1）得到“证明两个可导函数恒等”的程序： “在某区间上证明可导函数 f(x) g(x) ” 作F（x）= f(x) g(x)，F（x）可导 验证f(x) g(x) 0，证得 f(x) g(x) = 常数 选一个特殊点，计算验证这个常数就是0 为什么推论(2)中，“导函数f (x) 0”不是可导函数单增的充分必要条件呢？这是因为单增的函数也可能在若干个孤立点上导数为0 。比如，立方函数单增，而它的导数在原点为0 。 （潜台词：要注意函数单增的定义啊，自变量变大，相应的函数值一定也变大。） 例57 设函数f(x)在实轴上单增，可导，则 （A）在实轴上恒有 f(x)0 （B）对任意x ，f(x)0 （C） 函数f(x)在实轴上单增。 （D）函数f(x)在实轴上单增。 分析由已知信息只能推得 f(x)0，（A）错。 f(x)是个复合函数。其结构是y = f(u)，u = x，故 f(x) 0；（B）错。 f(x) 的导数为f(x)，由此知（C）错。应选（D）。 2. “逐阶说单调” 单调性是函数最重要的图形特征。如果一个连续函数分段单调，那么，单调性改变的分界点，就是函数的极值点。这就自然而然地产生了极值点的“第一判别法”。 一个很好玩的游戏是“逐阶说单调”。 例58 设函数f在点x0邻近三阶连续可导，且在点x0，其一，二阶导数都为0，而三阶导数不为0，你能由此得到什么样的信息？ 分析 （1）不仿设 f （x0）0，三阶导数连续，在点x0邻近三阶导数全大于零。 （潜台词：体验极限，近朱者赤。连续函数一点大于0则一段大于0） （2）三阶导数大于零，则二阶导数单增。 又因为f （x0）= 0 ，故当x由左侧趋近点x0时，f （x）由负单增到0，从x0点再向右，f （x）单增为正。 x0 两側二阶导数反号，图形上点（x0，f (x0)）是拐点。 (3）在x0点左側，一阶导数单减，且由正单减到0；在x0点右側，一阶导数单增，且由0单增为正。f (x0) = 0是一阶导数的极小值。一个孤立的零点。 （4）函数f在点x0邻近单增。 （画外音：其导数有一个孤立的零点。） 逐阶说单调，这是基本功。可以算是一个基本推理集成块。它同时展示了讨论连续函数符号的基本方法。 如果设 f 在点x0邻近四阶连续可导，且在点x0，其一，二，三阶导数都为0，而四阶导数不为0，则练习逐阶说单调后，你会发现，x0一定是极值点。 例59 已知正函数f与g都在a，b 上可导，且f (x) g (x)f (x)g (x)0 ，则对区间内任意一点x，有 （A）f (x) g (b) f (b) g (x) （B） f (x) g (a) f (a)g (x) （C）f (x) g (x) f (b) g (b) （D）f (x) g (x) f (a) g (a) 分析已知关系式的左端象是“商函数”求导公式的分子。分母可配g (x)的平方，表明f (x)/ g (x)单减。也可以配f (x)的平方，表明g (x)/ f (x)单增。 （A）即是f (x)/ g (x) f (b)/ g (b )，只要商函数f (x)/ g (x)单减，它就显然是对的。应该选（A）。 例60 设函数f在闭区间 a，b 上连续，在（a，b）内可导，且端值都为零，但在（a，b）内至少一点c处为正。试证明（a，b）内至少有一点，使得f （） 0 分析没有相关的高阶导数信息。试用反证法。设（a，b）内恒有f （x） 0，则一阶导数“不减”。 （潜台词：不知道f （x）是否只在某些孤立点上为0，就不能说f (x)单增。） 对函数f用洛尔定理得知（a，b）内至少有一点，使得 f () = 0 f (x) “不减”，在（a，）内必有 f (x) 0，f “不增”，而起点处f (a)= 0，只有f (x) 0； f (x) “不减”，在（，b）内必有f(x) 0，f 也“不减”，但已知f (b) = 0，函数还是只能非正。这和已知f (c)0矛盾。本题结论成立。 （画外音：构造法的叙诉方式。类似于做了一次“逐阶说单调”游戏。） 方法二也可以先顺次在区间（a，c）及（c，b）上分别用拉格郎日公式，得到两个客观存在的点。已知f (c)是正数，老老实实地写出两个式子，应该能确定这两点处一阶导数值各自的符号。试试在这两点组成的区间上再对一阶导函数用拉格郎日公式 *例 61 设f (0) = 0 ，f (x)在（0，+）上单增，试证明函数g (x)= f (x)/x也在区间（0，+）上单增。 分析证单调，先求导。 g (x) =（x f (x)f (x)）x平方 分母恒正。但是无法判定分子的符号。没有二阶导数信息，不能再说单调讨论分子符号（ “二次讨论”）。 已知f (x) 单增，两个导数值可望比较大小。又已知f的一个零点与一阶导数信息。考虑用中值定理改变f的描述方式。即 f(x) = f ()x ，0 x ，（潜台词：一个x相应有一个，= （x）代入分子后， 有 （x f (x)f (x)）= x（f (x)f () ） 0 的范围与导数单增的条件就管住了 。你也可以说是用了“添零项获得增量”技术。 描述性的公式，在应用中加深理解。就学了那么一点点。练他个滚瓜烂熟，遇到问题时，一看条件，你就能想到它。考研数学指导（14）单调法是重头戏 有了初始点x0的信息，又知道函数的单调性，就能判定函数的符号。 “若函数f (x)单增且f (x0) 0 ，则x x0时 f (x)0” 其实在（13）段中“逐阶说单调”，已经说了好多花样。这里还可以拓展的是： （1）若函数单增但只在xx0 时有定义，只要f (x0+0) 0，则f (x)0 （画外音：这种情形下,数f (x0+0)称为函数的“下确界”。即最大的下界。） （2）若函数f (x)单减且当x趋于 + 时为无穷小，则f (x) 0 这个符号逻辑非常简明。因而尽管本科教材上写得较少，考研数学却经常在这个点上出大题。我把这个典型题型称之为“用单调法证明简单的函数不等式。” 要证明 xx0 时，f (x) g (x)，转化为证明 F = f (x)g (x) 0 ，到底行不行，先看有没有“初始信息”，再对F求导。看导数正负说单调，两者结合定符号。 例64 试证在（0，/2）内 ，sin x 2x/ 分析作 F = sinx 2x/，F在 0，/2 连续。要证，F在（0，/2）内恒正。 显然，F= cos x2/，导函数在（0，/2）内 有一个零点；要分两段“说单调判符号”。 在前段（0，F 0 ，等号只在成立。F单增，初值F(0)=0 ，故F（x）0 在后段（，/ 2 ） ，F 0 ，F单减 ，终值F(/2) = 0 ，同样有F（x）0 方法二在有驻点情形，要证明函数非负，还可以考虑证明其最小值非负。 本题中，在（0，/2）内 ，驻点唯一，F =sinx 0，这是唯一的极大点。 唯一的极大就是最大。最小值一定落在区间端点处。而F（0）= F（/2）= 0 分析三（反证法） 已有F（0）= F（/2）= 0；如果F在（0，/2）内不定号，就必定还会有零点。这就能作“垒宝塔”游戏，证得二阶导数F在（0，/2）内有零点。实际计算知矛盾。故F定号。再计算F（/6），即知F恒正。 方法四作F = sinx/x 2/ , 这有两点新意。首先，函数F在原点无定义，但右极限为1 。 其次，F的导函数，就是前项商函数的导数，分母为 xconxsinx ，难以判定符号。那就从头再来。 设G = xconxsinx ，G（0）= 0 ；再求导，G=sinx 在（0，/2）内G0，G（x）单减，G（x）0 （潜台词：没啥了不起，“说单调讨论符号”是我们的拿手戏。） 我给这种情形