第二章 一元二次方程复习.ppt

一元二次方程复习课 一元二次方程 一元二次方程的定义 一元二次方程的解法 一元二次方程的应用 把握住 一个未知数 最高次数是2 整式方程 一般形式 ax bx c 0 a 0 直接开平方法 适应于形如 x k h h 0 型配方法 适应于任何一个一元二次方程公式法 适应于任何一个一元二次方程因式分解法 适应于左边能分解为两个一次式的积 右边是0的方程 一 一元二次方程的有关概念 1 一元二次方程 只含有一个未知数 并且未知数的最高次数是2 这样的整式方程叫做一元二次方程 quadricequationwithoneunknown 一般形式 ax2 bx c 0 a b c是已知数 a 0 其中a b c分别叫做二次项系数 一次项系数和常数项 ax2 bx c分别叫做二次项 一次项和常数项 例1 下列各等式是否是关于的一元二次方程 为什么 1 2 a为常数 3 4 5 6 例2 把下列方程化成一元二次方程的一般形式 再写出它的二次项系数 一次项系数及常数项 关于x的一元二次方程 1 2 3 4 2 利用方程解的定义 根据方程的解的定义将x 1代入原方程 解之得 例4 关于的一元二次方程 若有一个根为2 求另一个根和t的值 分析 此例已知方程的一个根 利用这个根 先确定t的值 再求另一个根 解 例4 关于的一元二次方程 若有一个根为2 1 已知一元二次方程ax2 bx c 0 a b c任取2 4 0三个数中的任一个数 分别写出这些一元二次方程 练习一 答案 2x2 4x 0 4x2 2x 0 2x2 4 0 4x2 2 0 2 写出一个一元二次方程 使它满足以下条件 1 关于x的一元二次方程 2 有一个根为1 答案不唯一 例如 x2 1x x 1 0 x2 x 2 0 3 已知 方程x2 5x 5 0的一个根为m 求m 的值 解 m是x2 5x 5 0的根 m2 5m 5 0m2 5 5m m 0 m 5 未知数的个数是一个 方程是整式方程 未知数的最高次项的次数是二次 若方程有实数根 则解的个数一定是两个 学习一元二次方程要强调三点 例5 若a是方程的根 求的值 解 因为a是方程的根 所以所求代数式的值为 1 二 一元二次方程的解法 基本解法 例6 解下列方程 1 x2 0 2 解 1 x1 x2 0 2 注意 第 1 题容易解得x 0这一个解 第 2 题若方程两边都除以x 6 得 x 2 则原方程少了一个解 原因是在除以 故此种做法不可取 应避免在方程两边都除以一个代数式 练习二 4x2 x 甲同学是这样做的 你看对吗 方程两边同除以4 得x2 直接开平方得x 所以原方程的解是x1 x2 乙同学是这样做的 也请你 诊断 一下 将方法两边同除以x 得4x 1即得方程的解为x 甲 乙两人均错误 正确答案x1 0 x2 例7 用指定的方法解下列方程 1 直接开平方法 2 配方法 3 公式法 4 因式分解法 1 直接开平方法 2 配方法 解 2 3 用配方法解一元二次方程要注意两点 首先将二次项系数变为1 方程两边各加上一次项系数一半的平方 这是配方法的关键的一步 方程左边配成完全平方式 当右边是非负实数时 用开平方法即可求得方程的解 3 公式法 4 因式分解法 解 运用因式分解法时 首先应将右边各项移到方程的左边 使方程右边为 然后再将方程左边的式子分解因式 使原方程化为两个一元一次方程 常借助于提公因式法 平方差公式 完全平方公式等来分解因式 练习三 解下列方程 2 x 2 x 3 12 x1 6 x2 1 例8 至少用两种方法解下列方程 解法一 公式法 解法二 配方法 两边开方 解法三 因式分解法 从这个题目我们发现 适当方法的选择也不是绝对的 它没有统一的模式和特征 不能死记硬背 例9 选用适当方法解下列方程 解 1 用直接开平方法 2 用直接开平方法 解 3 用因式分解法 4 用配方法 小结 通过对本例的分析及解题过程 可以得到 4 当因式分解有困难时 就用公式法 配方法一般不用 如果把方程化为一般形式后 它的二次项系数为1 一次项系数是偶数 用配方法更好 3 解一元二次方程常用因式分解法 2 在解方程时 应注意方程的特点 合理选择简捷的方法 1 如果方程缺一次项 可以用直接开平方法来解 形如的方程 例10 我们知道 对于任何实数 x2 0 x2 1 0 模仿上述方法解答下面问题 1 对于任何实数x 均有 0 求证 解 1 2x2 4x 3 2 x 1 2 1 x不论为何实数 x 1 2总是非负数 2x2 4x 3 0 x不论为何实数 总是非负数 0 一元二次方程训练题 1 把方程 2x 1 x 2 5 3x整理成一般形式后 得 其中一次项系数为 2 若 m 1 xm 3 5x 3 0是关于x的一元二次方程 则m 3 ax2 bx c 0 a 0 的求根公式x 4 方程 y 3 2 2的解为 方程t t 5 0的解为 2 2x2 7 0 0 5 y 3 t1 0 t2 5 5 配方 4x2 12x 15 4 2 6 x2 3x x 2 B 解关于x的方程 3y y 1 2 2y 1 2 3 4 x2 6x 9991 0 x1 103 x2 97 解答以下各题 若最简二次根式是被开方数相同的 则x的值为多少 答案 3 x2 4x x 18x2 3x 18 0解之得x1 6 x2 3检验 当x 6时 x2 4x 12 不是最简二次根式 x 6舍去 3 已知a b是实数 解关于x的方程 a 2 x2 b2x 8 0 答案 x1 4 x2 2 阅读材料 解答问题 为了解方程 y 1 3 y 1 2 0 我们将y 1视为一个整体 解 设y 1 a 则 y 1 a a 3a 2 0 1 a1 1 a2 2 当a 1时 y 1 1 y 当a 2时 y 1 2 y 所以y1 y2 y3 y4 解答问题 1 在由原方程得到方程 1 的过程中 利用了法达到了降次的目的 体现了的数学思想 2 用上述方法解下列方程 三 几个实际问题 解 设较小的数为x 则另一个为x 2根据题意 得 根据题意 列出方程 不必求解 引例1 两个正数的差为2 它们的平方和为52 求这两个数 小结 关于数的问题 要正确的把数表示出来 一般地 若大小两个数 则设小数为x 若连续奇 偶 数 则设为x x 2 若三个连续整数 则设为x 1 x x 1 若是一个三位数 则应表示为 引例2 某商店四月份电扇的销售量为500台 随着天气的变化 第二季度电扇的销售量为1820台 问五月份 六月份平均每月电扇销售量的增长率是多少 解 设五月份 六月份平均每月电扇销售量的增长率为x 根据题意 得 变化 党的十六大提出全面建设小康社会 加快推进社会主义现代化 力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番 本世纪的头二十年 2001年 2020年 要实现这一目标 以十年为单位 设每个十年的国民生产总值的增长率都是x 那么x满足的方程为 A 1 x 2 2B 1 x 2 4C 1 2x 2D 1 x 2 1 x 4 答案 B 关键是理解 翻两番 是原来的4倍 而不是原来的2倍 小结 通过列表把各种数量关系表示出来 看起来很费时间 实际上有了表就可以很快地列出方程了 此外 我们还可以推出每个月的电扇销售量 第四个月为台 第五个月为台 第n个月为台 分析 从图中可以看出 四块小试验田的面积与两条道路所占的面积的和等于整个矩形田地的面积 这是本题的相等关系 关键是如何把两条道路所占的面积表示出来 设道路的宽为xm 则横向道路面积为32xm 纵向道路面积为20 xm 但两条道路的面积和并不等于阴影部分的面积 而是多了一个宽为xm的小正方形的面积 所以 矩形田地面积 32 20m 四块小实验田的面积 135 4m 两条道路所占的面积 2 2 2 2 解 设道路的宽为xm 根据题意 得 问题1 长方形铁片四角各截去一个边长为5cm的正方形 而