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第二章 3初等函数 1 指数函数定义 注 定义域为全平面 当y 0时 它即为实变量指数函数 一 指数函数 定义3 1对于任何复数z x iy 规定 2指数函数的性质 复指数函数与实指数函数保持一致 4 加法定理 5 ez是以2 i为基本周期的周期函数 因为 当z沿实轴趋于 时ez 当z沿实轴趋于 时 ez 0 2 i是ez的周期 上述这个性质是实变指数函数所没有的 7 解析性 在全平面上解析 且 二 对数函数 1 定义对数函数定义为指数函数的反函数 满足方程的函数称为对数函数 记作 注 注意符号的正确书写 以免发生混乱 事实上 容易看到 u是单值的 而由幅角函数的多值性知道 v是多值的 因为幅角 所以 若规定Argz取主值argz 则得Lnz的一个单值 分支 记作 lnz 称为Lnz的主值支 即 则这时 有 当z x 0时 Lnz的主值lnz lnx 即实对数函数 三种对数函数的联系与区别 例1求解因为 1的模为1 其辐角的主值为 所以而又因为i的模为1 而其辐角的主值为 所以 2 例题 在实变函数中 负数无对数 上例说明在复数范围内不再成立 而且正实数的对数也是无穷多值的 因此 复变数对数函数是实变数对数函数的拓广 练习求 和它们的主值 解 3 性质 4 解析性 当a为正实数 且z 0时 还规定 三 幂函数 1 定义 注 一般也是多值函数 2 性质 3 解析性 课堂作业 四 三角函数 1 三角函数的定义 由于Euler公式 对任何实数x 我们有 所以有因此 对任何复数z 定义正弦函数和余弦函数如下 解根据定义 有 2 正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数 2 正弦与余弦函数的性质 遵循通常的三角恒等式 如 5 sinz的零点 i e sinz 0的根 为z k cosz的零点 i e cosz 0的根 为z k 1 2 k 0 1 2 n 注意 这是与实变函数完全不同的 6 例如z 2i时 有 即 cosz与sinz不再是有界函数 因此 sinz 1和 cosz 1在复数范围内不再成立 3 其他复变数三角函数的定义 五 小结与思考 复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广 它既保持了后者的某些基本性质 又有一些与后者不同的特性 如 1 指数函数具有周期性 3 三角正弦与余弦不再具有有界性 2 负数无对数的结论不再成立 思考题 实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同 思考题答案 两者在函数的奇偶性 周期性 可导性上是类似的 而且导数的形式 加法定理 正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式 最大的区别是 实变三角函数中 正余弦函数都是有界函数 但在复变三角函数中
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