聊城大学《固体物理》第一章 1第四节.ppt

3 倒格空间的画图 本节重点 1 倒格子的定义 2 倒格子与正格子间的关系 1 倒格子概念的引入 晶体研究 已知成分 X射线衍射透射电镜衍射 晶体结构点阵常数 周期分布的点 环 倒格子 未知成分 结构 测成分 测结构 能谱仪 电子探针等 X射线衍射透射电镜衍射 周期分布的点 环 倒格子 晶体结构点阵常数 性能 由于晶格的周期性 标志晶体中一族晶面特征的是它的法线的取向 如果已知晶格的基矢和法线的方向 即可得出晶面的指数 进一步晶面族中最靠近原点的晶面的截距和面间距都可得出 这样 晶面族就完全决定 设想存在这样的逆问题 晶格的基矢是未知的 现在只有一些周期性分布的点子 或环 同所讨论的晶格中的每族晶面有一一对应的关系 则通过对应关系所联系的规律 就可以把晶格的基矢确定下来 此外还可以把晶面族指数确定出来 所谓倒格子就是类似上面所设想的那些点子所组成的格子 所说的对应关系即晶格 正格子 与倒格子之间联系的规律 就是数学中的傅里叶变换 我们通过晶体X射线衍射来引入倒格子 如图 相邻平行晶面AA BB 入射线单位矢量为S0 衍射线单位矢量为S M P O为格点位置 晶面间距为 OP d 且OP l1a1 l2a2 l3a3 2 对于不同晶面上的原子P O 反射后光程差为 1 对于同一晶面上的原子P M的散射线 处于反射线位置时 光程差为0 产生衍射加强 因此在这个方向散射线互相加强的条件为 布拉格方程 上式说明 晶体的X衍射可以看作晶面反射 只有在满足布拉格方程的 上才能发生衍射 经过O点和P点的X光 衍射后的光程差可以用矢量表示 又X射线衍射加强的条件为 式中 为波长 n为整数 引入衍射波矢和衍射波矢 则衍射加强的条件变为 令 则 可以发现的量纲是互为倒逆的 是格点的位置矢量 称为正格矢 称为正格矢的倒矢量 简称倒格矢 2 倒格基矢与正格基矢的关系 如图 以原点O建立正格子 其基矢分别为a1 a2 a3 正格子的坐标面a1a2 a2a3 a3a1各有其对应的晶面族 因此得到三个矢量b1 b2 b3 称为倒格子基矢 设a1a2 a2a3 a3a1面族的面间距分别为d3 d1 d2 作OP垂直a1a2面 并另OP b3 使b3 2 d3 同理 对于a2a3面 得到b1 2 d1 对于a3a1面 得到b2 2 d2 又因矢量b3和矢量a1 a2的方向一致 所以 又 同理还有 即倒格子基矢bj j 1 2 3 和正格子基矢ai i 1 2 3 之间符合以下关系 又正格子体积 所以倒格子基矢和正格子基矢存在如下关系 若i j 则ai bj 2 若i j 则ai bj 0 1 倒格子线度的量纲为米 1 和波矢的单位相同 而常用波矢来描述晶格和电子的运动状态 可以认为由倒格子所组成的空间为状态空间 而由正格子所组成的空间称为坐标空间 倒格子是正格子在状态空间的化身 注意 2 由倒格基矢在三维空间重复取点 可以得到倒易点阵 倒易点阵是正格点阵经过一定转化导出的抽象点阵 倒易点阵的每一个倒易点对应着正格空间的一组晶面 倒易点阵的主要应用 3 倒格子与正格子的关系 1 正格子原胞体积与倒格子原胞体积之积等于 证明 设倒格子原胞体积为 其数学表达式如下 1 可以解释衍射图像 2 研究能带理论 3 推导晶体学公式 由于 则 所以 所以 2 倒格子与正格子互为对方的倒格子 证明 设正格子基矢为 倒格子基矢为 倒格子的倒格基矢为 按照倒格子的定义 倒格子的倒格基矢计算如下 同理可以证明 证明 设正格子基矢为 倒格子基矢为 3 倒格矢量与正格子晶面组 h1h2h3 正交 如图设ABC是离原点最近的晶面 h1h2h3 该晶面在三个晶轴上的截距矢量分别为 则 所以 倒格矢量与正格子晶面组 h1h2h3 正交 hu kv lw 0 晶带定理 设晶带轴的晶向指数为 uvw 由矢量代数可知 该晶带中任一晶面 hkl 与晶带轴指数间具有如下关系 证明 根据上述结论 晶面 hkl 与下面倒格矢量垂直 而晶带轴平行于晶面 hkl 所以晶带轴与上述倒格矢量垂直 即 晶带定理适用所有晶系 4 倒格矢量Kh的模与晶面族 h1h2h3 的面间距成反比 证明 设d是晶面族 h1h2h3 的面间距 ABC是离原点最近的晶面 h1h2h3 则有 设Kh与晶面ABC正交于一点N 即倒格矢量Kh的模与晶面族 h1h2h3 的面间距成反比 证明 根据倒格子与正格子间的关系得到晶面族 hkl 的面间距为 例 若基矢a b c构成简单正交系 证明 晶面族 hkl 面间距为 又设正格子三个晶轴方向的单位矢量分别为 则有 所以上式化简为如下的形式 若晶体结构为立方系 晶格常数为a 晶面族 hkl 的面间距为 可以发现 晶面指数简单的晶面族 其面间距大 由于单位体积内的格点数一定 则必有面间距大的晶面上 格点分布的密度大 解理面指数 5 正格子空间的周期函数可以展成倒格矢量的傅立叶级数 在正格子空间中 任意一点用基矢表示 具有如下的形式 xi不一定是整数 i 1 2 3 则一个具有晶格周期性的函数V x 表示如下 li是整数 i 1 2 3 该函数可以看成以x1 x2 x3为变量 周期为l的周期函数 其傅立叶级数表示如下 h1 h2 h3为整数 其中系数 再设倒格子基矢为 则根据 用倒格基矢来表示变量 所以 令 则傅立叶级数为 为一倒格矢量 讨论 已知晶体结构如何求其倒格呢 晶体结构 正格 正格基矢 倒格基矢 倒格 例 下图是一个二维晶体结构图 试画出其倒格点的排列 解 倒格是边长为的