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第四节多元复合函数与隐函数求导 一 多元复合函数的求导法则 二 隐函数的微分法 一 多元复合函数的求导法则 以二元函数为例 讨论复合函数的求导方法 关于这个复合函数的导数我们有如下的定理 定理1 设函数在点 x y 处有偏导数 在相应的点 u v 处有连续的偏导数 则复合函数在点 x y 处有偏导数 其满足 设自变量x有一改变量 x 则相应地 u和v有改变量 函数在相应点 u v 处相应于 x的全增量 由于有连续的偏导数 所以 其中 上式两边同除以得 当时 而 这样 就有 多元复合函数的求导法则又形象地成为链式求导法则 例1设函数 解 对于具有三个中间变量的函数 则 所以 当然我们同理也可求得 下面我们再讨论几种形式的复合函数的求导 称之为全导数 例3设函数 2 例4设函数 3 抽象函数的求导方法及记号 则 于是 例6 解 解 解 二 隐函数的微分法 隐函数存在定理1 设函数F x y 在点P x0 y0 的某一邻域内具有连续的偏导数 且 则方程F x y 0在点P0 x0 y0 的某一邻域内能够确定一个单值连续且具有连续导数的函数y f x y 它满足条件y0 f x0 且有公式 证明 仅推导公式 由于方程F x y 0满足定理中的条件 所以它可以确定一个单值函数y f x y 这时有 两边对x求导得 再由已知条件有 隐函数存在定理2 设函数F x y z 在点P x0 y0 z0 的某一邻域内具有连续的偏导数 且 则方程F x y z 0在点P0 x0 y0 z0 的某一邻域内能够确定一个单值连续且具有连续导数的函数y f
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