张冠群、《高等数学》、第十四周、10高电子技术、第7份、几种特殊类型函数的积分.doc_第1页
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教 学 过 程 (代号A-4)JWK-033 第页科目高等数学5.4几种特殊类型函数的积分授课日期第十四周课时2班级10高电子技术授课方式讲授法、练习法作业题数2拟用时间60分钟 教学目的1、 有理函数的积分2、 化真分式为部分分式选用教具挂图无重点化真分式为部分分式难点化真分式为部分分式教学回顾无说明无授课人： 张冠群 审阅签名：叶齐玲5.4几种特殊类型函数的积分【教学引入】 不定积分的计算方法我们已经讲过了不定积分的换元法和分部积分法两种方法，有了这两种方法我们可以解决很多类型的函数的积分问题，但是有一些函数的类型比较特殊，用常规方法不易积分，那么，我们就来研究一下几种特殊函数类型的积分。本节课我们主要以有理函数的积分为主。【教学过程】一、有理函数积分有理函数 设两个多项式， 其中为正整数，系数为实数， 有理函数按分子、分母的最高次数的不同可分三种：（1）当时，是一个多项式，称有理整函数；（2）当时，是有理真分式（总假设不可约）；（3）当时，是有理假分式有理整函数积分会求，对有理假分式可用多项式除法化为多项式与真分式之和因此要解决有理函数的积分问题，只要解决有理真分式积分就可以了首先看一个事实，有理真分式的和仍为有理真分式，有理真分式可以化为简单分式之和 如 ，所以解决有理真分式积分问题，首先要将真分式分解成简单分式之和形式从上例看出简单分式的分母都是的因子，因此真分式的分解问题从分母入手1真分式的分解 设多项式在实数范围内分解成一次因式和二次质因式的乘积为 （其中），那么真分式可以分解成如下部分分式（简单分式）之和： 其中都是常数注意（1）分母中，如果有因子，那么分解后有下列个部分分式之和 ，特别当时，分解后只有一项如 ；（2）分母中如果有因子（），那么分解后有下列个部分之式之和，如 ；（3）这种分解式是唯一的，在实际应用中，注意分解式的形式和规律； （4）部分分式有四种形式： ， ， ， 因此有理真分式积分问题可归纳为两点（1）依分解定理将真分式化为部分分式之和后如何确定各常数；（2）四种部分分式积分如何计算2真分式的分解举例例1分解为部分分式解 因为 ，去分母，得 （*）令，得；令，得，将代入（*）中，并再令，有，即，于是 此种确定A,B,C值的方法称赋值法，上例中的方法称比较系数法例2分解为部分分式解 因为，去分母，得 ，比较系数 ； ； ；，得 例3计算不定积分 解 因为， 所以 例4计算不定积分 解 从上述例子不难看出，有理函数积分的结果不外乎是有理函数、对数函数、反三角函数，即有理函数的原函数为初等函数例5计算不定积分 解 因为，又 令，得；令，得；令，得所以 于是 = 【课堂练习】P242.1（1）（
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