图论 (7).ppt

杨春 Email yc517922 2020年2月7日星期五 离散数学 数学科学学院 2020 2 7 数学科学学院 37 2 第11章特殊图 11 2Euler图 哥尼斯堡七桥问题 2020 2 7 数学科学学院 37 3 欧拉图的定义 定义11 2 1设G是无孤立结点的图 若存在一 条通路 回路 经过图中每边一次且仅一次 则称此通路 回路 为该图的一条欧拉通路 回路 具有欧拉回路的图称为欧拉图 规定平凡图为欧拉图 2020 2 7 数学科学学院 37 4 例1 图a和图d是欧拉图 图b和图e不是欧拉图 但存在欧拉通路 图c和图f不存在欧拉通路 一笔画问题 2020 2 7 数学科学学院 37 5 判断无向欧拉通路的方法 定理11 2 1无向图G 具有一条欧拉通路当且仅当G是连通的 且仅有零个或者两个奇度数结点 若有两个奇度数结点 则它们是G中每条欧拉通路的端点 2020 2 7 数学科学学院 37 6 判断无向欧拉图的方法 推论11 2 2无向图G 是欧拉图当且仅当G是连通的 且G的所有结点的度数都为偶数 2020 2 7 数学科学学院 37 7 例2 由定理11 2 2容易看出 是欧拉图 不是欧拉图 但存在欧拉通路 即不是欧拉图 也不存在欧拉通路 2020 2 7 数学科学学院 37 8 一笔画问题 对于上图 有 图 a 能一笔画并且能回到出发点的 图 b 能一笔画但不能回到出发点的 2020 2 7 数学科学学院 37 9 判断有向欧拉通路 欧拉图的方法 定理11 2 3有向图G具有一条欧拉通路 当且仅当G是连通的 且除了两个结点以外 其余结点的入度等于出度 而这两个例外的结点中 一个结点的入度比出度大1 另一个结点的出度比入度大1 推论11 2 4有向图G具有一条欧拉回路 当且仅当G是连通的 且所有结点的入度等于出度 2020 2 7 数学科学学院 37 10 例3 图a 存在一条的欧拉通路 v3v1v2v3v4v1 图 b 中存在欧拉回路v1v2v3v4v1v3v1 因而 b 是欧拉图 图 c 中有欧拉回路v1v2v3v4v5v6v7v8v2v4v6v8v1因而 c 是欧拉图 2020 2 7 数学科学学院 37 11 Fleury算法 任取v0 V 令P0 v0 设P0 v0e1v1e2 eivi 按下面的方法从E e1 e2 ei 中选取ei 1 ei 1与vi相关联 除非无别的边可选取 否则ei 1不应该为G G e1 e2 ei 中的桥 当2 不能再进行时 算法结束 2020 2 7 数学科学学院 37 12 例4 在右图所示的欧拉图中 求从v1出发的欧拉回路 如果P4 v1e1v2e2v3e3v4e7v7 再往下走 注意别走桥 就可以走出欧拉回路 P4 v1e1v2e2v3e3v4e7v7e6v6e5v5e4v4e8v2e9v7e10v1 2020 2 7 数学科学学院 37 13 13 2哈密尔顿图 周游世界问题 给定G是一个无孤立结点的无向图 若存在一条通路 回路 经过图中每个结点一次且仅仅一次 则称此通路 回路 为该图的一条哈密尔顿通路 回路 具有哈密尔顿回路的图称为哈密尔顿图 2020 2 7 数学科学学院 37 14 11 3哈密尔顿图的定义 定义11 3 1经过图中每个结点一次且仅一次的通路 回路 称为哈密尔顿通路 回路 存在哈密尔顿回路的图称为哈密尔顿图 规定平凡图为哈密尔顿图 2020 2 7 数学科学学院 37 15 例5 既存在哈密尔顿通路 又存在哈密尔顿回路 即为哈密尔顿图 既不存在哈密尔顿通路 也不存在哈密尔顿回路 既存在哈密尔顿通路 又存在哈密尔顿回路 即为哈密尔顿图 存在哈密尔顿通路 但不存在哈密尔顿回路 2020 2 7 数学科学学院 37 16 定理11 3 1 设无向图G 是哈密尔顿图 V1是V的任意非空子集 则p G V1 V1 其中p G V1 是从G中删除V1后所得到图的连通分支数 2020 2 7 数学科学学院 37 17 证明 设C是G中的一条哈密尔顿回路 V1是V的任意非空子集 下面分两种情况讨论 V1中结点在C中均相邻 删除C上V1中各结点及关联的边后 C V1仍是连通的 但已非回路 因此p C V1 1 V1 V1中结点在C上存在r 2 r V1 个互不相邻 删除C上V1中各结点及关联的边后 将C分为互不相连的r段 即p C V1 r V1 一般情况下 V1中的结点在C中即有相邻的 又有不相邻的 因此总有p C V1 V1 又因C是G的生成子图 从而C V1也是G V1的生成子图 故有p G V1 p C V1 V1 2020 2 7 数学科学学院 37 18 推论13 3 1 设无向图G 中存在哈密尔顿通路 则对V的任意非空子集V1 都有p G V1 V1 1 2020 2 7 数学科学学院 37 19 定理在应用中它本身用处不大 但它的逆否命题却非常有用 我们经常利用定理的逆否命题来判断某些图不是哈密尔顿图 即 若存在V的某个非空子集V1使得p G V1 V1 则G不是哈密尔顿图 例如在上图中取V1 v1 v2 则p G V1 4 V1 2 因而该图不是哈密尔顿图 注意 定理给出的是哈密尔顿图的必要条件 而不是充分条件 下图所示的彼得森图 对V的任意非空子集V1 均满足p G V1 V1 但它不是哈密尔顿图 2020 2 7 数学科学学院 37 20 定理11 3 2 设G 是具有n个结点的简单无向图 如果对任意两个不相邻的结点u v V 均有deg u deg v n 1则G中存在哈密尔顿通路 2020 2 7 数学科学学院 37 21 推论 推论11 3 2设G 是具有n个结点的简单无向图 如果对任意两个不相邻的结点u v V 均有deg u deg v n则G中存在哈密尔顿回路 推论11 3 3设G 是具有n个结点的简单无向图 n 3 如果对任意v V 均有deg v n 2 则G是哈密尔顿图 2020 2 7 数学科学学院 37 22 例6 某地有5个风景点 若每个风景点均有两条道路与其他点相通 问游人可否经过每个风景点恰好一次而游完这5处 解将5个风景点看成是有5个结点的无向图 两风景点间的道路看成是无向图的边 因为每处均有两条道路与其他结点相通 故每个结点的度数均为2 从而任意两个不相邻的结点的度数之和等于4 正好为总结点数减1 故此图中存在一条哈密尔顿通路 因此本题有解 2020 2 7 数学科学学院 37 23 例7 证明下图 a 所示的图中 不存在哈密尔顿回路 证明 在图 a 中 删除结点子集V1 a b c 得到图 b 在图 b 中 它的连通分支为4 显然有 p G V1 4 V1 3 由定理13 3可知 图 a 所示的图中不会存在哈密尔顿回路 即不是哈密尔顿图 2020 2 7 数学科学学院 37 24 例7 判断右图所示的图是否存在哈密尔顿回路 解若该图中存在哈密尔顿回路 则该回路组成的图中任何结点的度数均为 2 因而结点1 2 3 4 5所关联的边均在回路中 于是在结点a b c d e处均应将不与1 2 3 4 5关联的边删除 而要删除与结点a b c d e关联的其他边 这样一来 图就不连通了 因而图中不存在哈密尔顿回路 2020 2 7 数学科学学院