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1 二 函数的间断点 一 函数连续性的定义 第六节函数的连续性 一 这种现象表现在函数关系上称为函数的连续性 气温随时间连续变化 树干的高度随时间变化连续不断的长高 自然界中有很多连续现象发生 函数的连续性表现在图像上是一条连绵不断的曲线 y sgn x 3 观察图像 x 0处无极限 4 可见 函数 一 函数连续性的定义 1 定义 的某邻域内有定义 1 2 极限 3 设函数 连续必须具备下列条件 且 5 例1 证 由定义1知 例2 解 6 1 函数的增量 即 即 7 左连续 右连续 请思考 函数在点处连续与在点处有极限的区别与 联系 8 说明 2 三个连续的定义的主要作用 常用于函数在具体点连续性的判断 常用于函数在任意点连续性的判断 常用于分段函数分段点处连续性的判断 1 函数在点处连续与在点处有极限的区别与联系 反之不一定成立 9 例4 设 解 解 左连续 右不连续 例3 试讨论函数 在 处的连续性 10 二 函数的间断点 的某去心邻域内有定义 1 间断点的定义 2 间断点的分类 第一类间断点 第二类间断点 间断点 11 2 间断点分类 1 第一类间断点 2 第二类间断点 12 为其无穷间断点 为其振荡间断点 为可去间断点 例如 13 显然 为其可去间断点 4 5 为其跳跃间断点 14 注意 可去间断点只要改变或者补充间断点处函数的定义 则可使其变为连续点 为可去间断点 如 补充定义 时 则函数在处就连续了 15 3 连续函数与连续区间 定义1 在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上 的连续函数 或者说函数在该区间上连续 该区间 叫函数的连续区间 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 例如 因为 结论 基本初等函数在其定义域内是连续的 16 思考题确定函数 间断点的类型 解 间断点 为无穷间断点 故 为跳跃间断点 17 刚学过的主要内容 第一类间断点 可去间断点 跳跃间
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