刚体力学(1).ppt

有一质量为4kg的质点 在力的作用下 由静止开始沿一方程为的曲线从点O 0 0 运动到Q 3 1 点 试求质点运动到Q点时的速度 解 将代入 课堂练习二 限时5分钟 一般的力学分析方法可归纳为 现在将这些方法用之于刚体的研究 1 定义 受外力作用时不改变形状和体积的物体称刚体 一 刚体 rigidbody 是固体物件的理想模型 考虑其形状大小 突出其平动和转动 忽略振动和形变运动 2 讨论 特殊的质点系 质元间相对位置保持不变 5 1刚体模型及其运动 2 特征 任意时刻所有质元的v a 运动轨迹均相同 可将平动刚体视为一质点的运动处理 例如升降机的运动 汽缸中活塞的运动 刨床上刨刀的运动 车床上车刀的运动等 都是平动 1 定义 固连在刚体上的任一条直线 在各时刻的位置始终保持彼此平行的运动 二 刚体的平动 translation 三 刚体的定轴转动 rotation 1 定义 刚体上所有点都绕同一直线 转轴 作圆周运动 各质元均作圆周运动 其圆心都在一条固定不动的直线 转轴 上 各质元的线量一般不同 因为半径不同 但角量 角位移 角速度 角加速度 都相同 2 特征 一个汽车轮子在地上的滚动 A B C 各点的运动都不相同 刚体的运动 刚体的运动可以是平动和转动的叠加 例如 车轮的滚动 拧紧或松开螺帽 钻床上的钻头的运动等等 四 刚体的一般运动 随质心的平动绕通过质心的轴的转动 五 刚体定轴转动的描述 角速度矢量 在转轴上画一有向线段 使其长度按一定比例代表角速度的大小 它的方向与转动方向成右手螺旋关系 这就是角速度矢量 1 角位置 和角位移 2 角速度 3 角加速度 本来是矢量 由于在定轴转动中轴的方位不变 只有沿轴的正负两个方向 故可以用标量代替 4 刚体运动学中角量关系及角量和线量的关系 刚体上任一点P的线速度和角速度之间的关系为 5 匀角加速转动 刚体定轴转动的情况与质点直线运动相类似 当刚体定轴转动时 如果在任意相等的时间间隔内 角速度的增量都是相等的 这种变速转动叫做匀变速转动 角位置 角加速度 角速度 例题2一飞轮在时间t内转过角度 at bt3 ct4 式中a b c都是常量 求它的角加速度 解 飞轮上某点角位置可用 表示为 at bt3 ct4将此式对t求导数 即得飞轮角速度的表达式为 角加速度是角速度对t的导数 因此得 由此可见飞轮作的是变加速转动 5 2 定轴转动的转动定律 一 刚体定轴转动定律 O O 应用牛顿第二定律 可得 对刚体中任一质量元 外力 内力 采用自然坐标系 上式切向分量式为 用乘以上式左右两端 设刚体由N个点构成 对每个质点可写出上述类似方程 将N个方程左右相加 得 根据内力性质 每一对内力等值 反向 共线 对同一轴力矩之代数和为零 得 得到 上式左端为刚体所受外力的合外力矩 以M表示 右端求和符号内的量与转动状态无关 称为刚体转动惯量 以J表示 于是得到 刚体定轴转动定律 刚体所受的对于某一固定转轴的合外力矩 等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积 定轴转动的动力学规律之一 m反映质点的平动惯性 J反映刚体的转动惯性 力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的 应用时常需选定转轴的正方向 以便确定已知力矩或角加速度 角速度的正负 质元的质量 质元到转轴的距离 定义 二 转动惯量 讨论 转动惯性之量度 单位 kg m2 影响转动惯量的因素 总质量 质量越大 J越大 质量分布 离轴越远 J越大 转轴的位置 离质心越远 J越大 具可加性 细杆对杆端 圆盘 对杆端 例 小球m对转轴的转动惯量 m看作质点 J mR2 例1 教材P164例5 2 求质量为m 半径为R的均匀圆环的转动惯量 轴与圆环平面垂直并通过圆心 解 讨论 J具可加性 所以若为薄圆筒 不计厚度 结果相同 解 取半径为r宽为dr的薄圆环 可见 转动惯量与厚度l无关 所以 实心圆柱对其轴的转动惯量也是mR2 2 例2 教材P164例5 3 求质量为m 半径为R 厚为l的均匀圆盘的转动惯量 轴与盘平面垂直并通过盘心 内半径为R1外半径为R2质量为m的匀质中空圆盘绕其对称轴的转动惯量 同理 转动惯量与厚度l无关 有高度的空心圆筒也有同样的公式 例3 教材P165例5 4 求质量为m 长为l的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量 1 转轴通过棒的中心并和棒垂直 2 转轴通过棒的一端并和棒垂直 3 转轴通过棒上距中心为h的一点并和棒垂直 解 1 建立坐标系 分割质量元 J与刚体质量 质量分布 轴的位置有关 2 建立坐标系 分割质量元 3 建立坐标系 分割质量元 定理表述 刚体绕平行于质心轴的转动惯量J 等于绕质心轴的转动惯量JC加上刚体质量与两轴间的距离平方的乘积 刚体绕质心轴的转动惯量最小 如 证明平行轴定理 例1 教材P167例5 5 一个飞轮的质量为60kg 半径为0 25m 正在以每分1000转的转速转动 现在要制动飞轮 要求在5 0秒内使它均匀减速而最后停下来 求闸瓦对轮子的压力N为多大 k 0 8 例2 教材P168例5 6 如图 M R m 对M 由转动定律 对O轴有 对m 由牛顿第二定律 沿y方向有 滑轮与物体的运动学关系为 联立以上三式 得 例 例3 教材P168例5 7 一根长为l 质量为m的均匀细直棒 其一端有一固定的光滑水平轴 因而可以在竖直平面内转动 最初棒静止在水平位置 求它由此下摆 角时的角加速度和角速度 解 棒下摆为加速过程 外力矩为重力对O的力矩 棒上取质元dm 当棒处在下摆 角时 重力矩为 代入转动定律 可得 可得 对棒的质心 有 再求此时棒受轴承的力的大小和方向 由质心运动定理 得 法向 切向 解得 例题4一半径为R 质量为m匀质圆盘 平放在粗糙的水平桌面上 设盘与桌面间摩擦系数为 令圆盘最初以角速度 0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转 问它经过多少时间才停止转动 解 由于摩擦力不是集中作用于一点 而是分布在整个圆盘与桌子的接触面上 力矩的计算要用积分法 在图中 把圆盘分成许多环形质元 每个质元的质量dm 2 rdre 所受到的阻力矩是r dmg 此处e是盘的厚度 圆盘所受阻力矩就是 因m e R2 代入得 根据定轴转动定律 阻力矩使圆盘减速 即获得负的角加速度 设圆盘经过时间t停止转动 则有 由此求得 例5 如图所示 一质量为m的匀质矩形薄板可绕其一直边的光滑轴转动 初始角速度为 0 转动时受到空气阻力 阻力垂直于板面 每小面积上所受阻力的大小正比于该面积和速度平方的乘积 比例系数为k 问经过多少时间角速度减为原来的一半 已知薄板竖直