第08章 弹性体的应力和应变 课后答案【khdaw_lxywyl】.pdf

第8章 弹 性 体 的 应 力 和 应 变 习 题 解 答 56 第 8 章弹性体的应力和应变习题解答 第八章基本知识小结第八章基本知识小结 弹性体力学研究力与形变的规律 弹性体的基本形变有拉伸压缩形变和剪切形变 弯曲形变是由程 度不同的拉伸压缩形变组成 扭转形变是由程度不同的剪切形变组成 应力就是单位面积上作用的内力 如果内力与面元垂直就叫正应力 用 表示 如果内力方向在面 元内 就叫切应力 用 表示 应变就是相对形变 在拉压形变中的应变就是线应变 如果l0表示原长 l表示绝对伸长或绝对压 缩 则线应变 l l0 在剪切形变中的应变就是切应变 用切变角 表示 力与形变的基本规律是胡克定律 即应力与应变成正比 在拉压形变中表示为 Y Y 是由材料性质决定的杨氏模量 在剪切形变中表示为 N N 是由 材料性质决定的切变模量 发生形变的弹性体具有形变势能 拉压形变的形变势能密度 2 2 1 0 YEp 剪切形变的形变势能密度 2 2 1 0 NEp 梁弯曲的曲率与力偶矩的关系 3 12 Ybh k 杆的扭转角与力偶矩的关系 l NR CC 2 4 8 1 1 一钢杆的截面积为 5 0 10 4m2 所受轴向外力如图所示 试计算A B B C和C D之间的应 力 NFNFNFNF 4 4 4 3 4 2 4 1 103 105 108 106 解 E G H F1 F2 F3 F4 段S之 A B C D 根据杆的受力情况 可知杆处于平衡状态 分别在 AB 之间 E 处 BC 之间 G 处 CD 之间 H 处作垂 直杆的假想截面 S 隔 离 AE 由 平 衡 条 件 E 处面 上 的 内 力 F F1 A B间 的 应 力 28 100 5 106 1 102 1 4 4 mNSFSF 隔 离 AG 由 平 衡 条 件 G 处面 上 的 内 力 F F段S之 2 F1 B C 间 压 应 力 28 100 5 10 68 104 0 4 4 12 mN s FF 隔 离 HD 由 平 衡 条 件 H 处面 上 的 内 力 F F段S之 4 C D 间 的 应 力 第8章 弹 性 体 的 应 力 和 应 变 习 题 解 答 57 第 8 章弹性体的应力和应变习题解答 28 100 5 103 4 106 0 4 4 mNSFSF 8 1 2 利用直径为 0 02m 的 C 钢杆 CD 固定刚性杆 AB 若 CD 杆 内的应力不得超过 max 16 107Pa T 问 B 处最多能悬挂多大重量 A D B 解 隔离 AB 以 A 点为轴 由力矩平衡条件 有 TWWT39 0 6 00 1 0 1 22 8 00 1 8 0 隔 离 CD 杆 CD 应 力 T S T S D 2 2 杆 能 承 受 的 最 大 拉 力 472 4 1 max4max 1002 5101602 014 3 2 D TN B 处能悬挂的最大重量 NTW 4 maxmax 1096 1 39 0 8 1 3 图中上半段为横截面等于 4 0 10 4m2 且杨氏模量为 6 9 1010Pa的铝制杆 下半段为横 截面等于 1 0 10 4m2且杨氏模量为 19 6 1010Pa 的钢杆 又知铝杆内允许最大应力为 7 8 107Pa 钢杆内允许最大应力为 13 7 107Pa 不计杆的自 重 求杆下端所能承担的最大负荷以及在此负荷 下杆的总伸长量 F 解 设铝杆与钢杆的长度 横截面 杨氏模量 应力分别为 l1 S1 Y1 1 l2 S2 Y2 2 显 然 1 F S1 2 F S2 设铝杆和钢杆所能承担的最大负荷分别为F1max F2max 则 NSF 447 1max1max1 1012 3 100 4108 7 NSF 447 2max21max2 1037 1 100 110 7 13 整个杆的最大负荷应取钢杆的最大负荷 NF 4 max 1037 1 根据拉伸形变的胡克定律 对于铝杆 1 1 1 max l l S F Y 所以 11 1max 1SY lF l 对于钢杆 同样有 22 2max 2SY lF l 整个杆的伸长量是 max21 Flll 11 1 SY l 22 2 SY l m 3 100 1106 19 0 2 100 4109 6 0 3 4 1089 2 1037 1 410410 8 1 4 电梯用不在一条直线上的三根钢索悬挂 电梯质量为 500kg 最大负载极限 5 5kN 每根钢索都 能独立承担总负载 且其应力仅为允许应力的 70 若电梯向上的最大加速度为g 5 求钢索直径为多少 0 8m 0 6m1 0m W 3m 2m 第8章 弹 性 体 的 应 力 和 应 变 习 题 解 答 58 第 8 章弹性体的应力和应变习题解答 将 钢 索 看 作 圆 柱 体 且 不 计 其 自 重 取 钢 的 允 许 应 力 为6 0 108Pa T T T 解 设每根钢索承受拉力为 T 电梯自重为 W mg 负荷为 W m g 由牛顿第二定律 W N WmgWmg gmmWWT gmmammWWT 33 3 1 3 1 1016 4 105 58 9500 4 0 4 0 2 12 1 2 0 2 0 3 a W 设钢索直径为 D 每根钢索的应力 2 5 0 D T mmm TD 15 6 1015 6 100 67 014 3 1016 4 2 2 3 83 8 1 5 矩形横截面杆在轴向拉力作用下拉伸应变为 此材料的泊松系数为 求证杆体积的相对 改变为 V V0 V0 1 2 V0表示原体即 V表示形变后体积 上式是否适用于压缩 低碳钢杨氏 模量为Y 19 6 1010Pa 泊松系数 0 3 受到的拉应力为 1 37Pa 求杆件体积的相对改变 解 设杆原长为l0 矩形截面两边原长分别为a0和b0 据线应变定义 轴向应变 0 0 l ll 横向应变 0 0 0 0 1 所以 a aa b bb 01010 1 1 1 bbaall 由泊松系数定义 1 拉伸时 0 1 0 1 21 1 1 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22 22 1 000 00000101 000 000 0 0 略去高级小项 lba lbalba lba lbaabl V VV 对于压缩 0 仍有 1 成立 因此上式对压缩情况仍然适用 据胡克定律 YY 12 10 0 0 108 2 10 6 19 3 021 37 1 21 YV VV 8 1 6 杆受轴向拉力 F 其横截面为 S 材料的重度 单位体积物质的重量 为 试证明考虑材 料的重量时 横截面内的应力为 xx S F 杆内应力如上式 试证明杆的总伸长量 Y l YS lF l 2 2 x 证明 建立图示坐标 o x 在坐标 x 处取 一截面 S 隔离 o x 段杆 由平衡条件 截面 x dx 第8章 弹 性 体 的 应 力 和 应 变 习 题 解 答 59 第 8 章弹性体的应力和应变习题解答 S 上的内力 F F Sx 据应力定义 x S F S xSF S F F o 考 虑x处 的 线 元dx 该 线 元 在 重 力 作 用 下 的 绝 对 伸 长 为dl 据 胡 克 定 律 dxYxYSFYdxdldxYdl 积分 2 0 2 l l Y l SY lF l YYS F ldxxdl 8 2 1 在剪切材料时 由于刀口不快 没有切断 该钢板发生了切变 钢板的横截面积为S 90cm2 两 刀口间的垂直距离为d 0 5cm 当剪切力为F 7 105N时 求 钢板中的 d 切应力 钢板的切应变 与刀口相齐的 两个截面所发生的相对滑移 已知钢的剪切 模量N 8 1010Pa 解 据切应力定义 27 1090 107 1078 7 4 5 mN S F 据胡克定律 radN N 4 108 1078 7 107 9 10 7 cmdldl 44 1085 4107 95 0 8 3 1 一铝管直径为 4cm 壁厚 1mm 长 10m 一端固定 而另一端作用一力矩 50Nm 求铝管的扭转 角 对同样尺寸的钢管再计算一遍 已知铝的剪切模量N 2 63 1010Pa 钢的剪切模量为 8 0 1010Pa 解 设管的半径为 R 管壁厚 d 管长为 l 外力矩为 M 由于 d R 可认为管壁截面 上各处的切应力大小相等 设为 在平衡状态下 内 外力矩相等 2 2 2d RMRRdM 据剪切形变的胡克定律 dNR M N N 2 2 rad dNR Ml R l 376 0 001 0 02 0 1065 2 14 3 2 1050 2 3103 对于钢管 rad124 0 001 0 02 0 100 814 32 1050 310 8 3 2 矩形横截面长宽比为 2 3 的梁 在力偶矩作用下发生纯弯曲 各以横截面的长和宽作为高度 求 同样力偶矩作用下曲率半径之比 解 设梁衡截面长为 2d 宽为 3d 据梁纯弯曲的曲率公式 12 1 12 33 YbhRRYbhk 第8章 弹 性 体 的 应 力 和 应 变 习 题 解 答 60 第 8 章弹性体的应力和应变习题解答 以 2d 为梁的高 12 2 3 3 1 ddYR 以 3d 为梁的高 12 3 2 3 2 ddYR 9 4 272 183 2 1 R R 8 3 3 某梁发生纯弯曲 梁长度为 L 宽度为 b 厚度为 h 弯曲后曲率半径为 R 材料杨氏模量为 Y 求 总形变势能 解 建立图示坐标 o x