第一章本章复习.doc

空间几何体 备课人：刘老师本章复习整体设计教学分析 本节课是对第一章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章内容，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化.三维目标 通过总结和归纳空间几何体的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养其分类讨论的思想和提高其抽象思维能力.重点难点教学重点：空间几何体的结构特征.由三视图还原为实物图.面积和体积的计算.教学难点：由三视图还原为实物图.组合体的结构特征.课时安排 1课时教学过程导入新课思路1.第一章是整个立体几何的基础，为了系统地掌握本章的知识和方法，本节对第一章进行复习.思路2.我们生活的世界，存在各式各样的物体，它们大多是由具有柱、锥、台、球等形状的物体组成的.认识和把握柱体、锥体、台体、球体的几何结构特征，是我们认识空间几何体的基础.教师引出课题.推进新课新知探究提出问题1.本章接触到的空间几何体是单一的柱体、锥体、台体、球体，或者是它们的简单组合体.你能说出较复杂的几何体（如你身边的建筑物）的结构吗？2.对于空间几何体，可以有不同的分类标准.你能从不同的方面认识柱、锥、台、球等空间几何体吗？你分类的依据是什么？3.为了研究空间几何体，我们需要在平面上画出空间几何体.空间几何体有哪些不同的表现形式？4.利用斜二测画法，我们可以画出空间几何体的直观图.你能回顾用斜二测画法画空间几何体的基本步骤吗？5.计算空间几何体的表面积和体积时，要充分利用平面几何知识，把空间图形转化为平面图形，特别是柱、锥、台体侧面展开图.请同学们回顾柱、锥、台体的侧面展开图是什么？如何计算它们的表面积？柱、锥、台体的体积之间是否存在一定的关系？6.球是比较特殊的空间几何体，它的表面积公式和体积公式是什么？7.画出本章的知识结构图.活动：让学生自己回顾所学知识或结合课本，重新对知识整合，对没有思路的学生，教师可以提示按课本的章节标题来分类.对于画知识结构图，学生可能比较陌生，教师可以引导学生先画一个本班班委的结构图或学校各个处室的关系结构图，待学生了解了简单的画法后，再画本章的知识结构图.讨论结果：1.略.以实际情况来确定.2.按围成几何体的面是否是平面分为：按底面的情况分为：3.空间几何体有两种表现形式：三视图和直观图.4.略.5.结构特征棱柱棱锥棱台圆柱圆锥圆台球侧面展开图平行四边形由三角形拼接成由梯形拼接成矩形扇形扇环不可展开表面积的计算方法各个面的面积之和就是表面积 柱、锥、台体的体积之间的关系： 柱体和锥体可以看作由台体变化得到.柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.柱体和锥体的体积公式都可以看作由台体的体积公式演变而来.6.半径为R的球，其表面积为S表=4R2，体积V=.7.本章的知识结构图如图1所示.图1应用示例思路1例1 下列几何体是台体的是（ ）图2活动：学生回顾台体的结构特征.分析：A中的“侧棱”没有相交于一点，所以A不是台体；B中的几何体没有两个平行的面，所以B不是台体；很明显C是棱锥，D是台体.答案：D点评：本题主要考查台体的结构特征.像这样的概念辨析题，主要是依靠对简单几何体的结构特征的准确把握.变式训练1.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（ ）A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆台、一个圆柱C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥分析：因为梯形的两底平行，故另一底旋转形成了圆柱面，而两条腰由于与旋转轴相交，故旋转形成了锥体，因此得到一个圆柱、两个圆锥.答案：D2.下列三视图表示的几何体是（ ）图3A.圆台 B.棱锥 C.圆锥 D.圆柱分析：由于俯视图是两个同心圆，则这个几何体是旋转体，又侧视图和正视图均是等腰梯形，所以该几何体是圆台.答案：A3.下列有关棱柱的说法：棱柱的所有的棱长都相等；棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形；棱柱的侧面的个数与底面的边数相等；棱柱的上、下底面形状、大小相同.正确的有_.分析：棱柱的所有面都是平的，所有侧棱长都相等，但底面上的棱与侧棱不一定相等，其侧面都是平行四边形，只有当棱柱是直棱柱时，侧面才是矩形，侧面个数与底面边数相等，棱柱的上、下底面是全等的多边形，由此可知正确.答案：例2 (2006福建高考，理5)已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（ ）A. B. C. D.活动：学生思考交流正方体和球的结构特征，教师可以借助于信息技术，展示图形.分析：过正方体的相对侧棱作球的截面，可得正方体的对角线是球的直径.设正方体的棱长为a，球的半径为R，则有2R=，所以R=，则，解得a=.答案：D点评：球与其他几何体的简单组合体问题，通常借助于球的截面来明确构成组合体的几何体的结构特征及其联系，本题利用正方体外接球的直径是正方体的对角线这一隐含条件使得问题顺利获解. 空间几何体的表面积和体积问题是高考考查的热点之一.主要以选择题或填空题形式出现，也不排除作为解答题中的最后一问，题目难度属于中、低档题，以考查基础知识为主，不会出现难题.其解决策略是利用截面或展开图等手段，转化为讨论平面图形问题，结合平面几何的知识来求解.变式训练1.（2005全国高考卷，理5）如图4（1）所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE、BCF均为正三角形，EFAB，EF=2，则该多面体的体积为（ ）A. B. C. D. (1) (2)图4分析：如图4(2)所示，过B作BGEF于G，连接CG，则CGEF，BF=1，BCG中，BG=，BC边上的高为，而SBCG=1=,VFBCG=.同理过A作AHEF于H，则有VEAHD=，显然BCGADH为三棱柱，VBCGADH=1=，则由图4(2)可知VADEBCF=VFBCG +VEAHD+VBCGADH=.答案：A点评：本题求几何体体积的方法称为割补法，经常应用这种方法求多面体体积.割补法对空间想象能力的要求很高且割补法的目的是化不规则为规则.因此可以说割补法是一种综合的方法，这和我们高考的理念和命题原则是相通的，高考题中出现这样的问题也是很正常的，所以这将是高考对立体几何这部分知识命题的方向.2.（2007广东中山高三期末统考，文6）某个容器的底部为圆柱，顶部为圆锥，其正视图如图5所示，则这个容器的容积为（ ）图5A. B. C.3 m3 D.12 m3分析：由该容器的正视图可知，圆柱的底面半径为1 m，高为2 m，圆锥的底面半径为1 m，高为1 m.则圆柱的体积为2 m3，圆锥的体积为m3，所以该容器的容积为.答案：A点评：三视图是新课标高考的新增内容，在高考中会重点考查，在该知识点出题的可能性非常大，应予以重视.此类题目的解题关键是利用三视图获取体积公式中所涉及的基本量的有关信息，这要依靠对三视图的理解和把握.3.（2007广东佛山一模，理4）如图6所示，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）图6A. B. C. D.分析：根据三视图可知该几何体是正四棱锥，且底面积是4，高为正视图等边三角形的高，所以体积为.答案：B思路2例1 （2007山东淄博二模，理13）一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：cm），则该几何体的表面积是_，体积是_.活动：学生回顾简单几何体的结构特征和三视图.图7分析：由三视图知该几何体是圆锥，且母线长为5 cm，底面半径是3 cm，圆锥的高是4 cm，所以其表面积是3(3+5)=24 cm2，体积是324=12 cm3.答案：24 cm2 12 cm3点评：本题主要考查三视图和圆锥的体积.解决本题的关键是由三视图能够想象出圆锥.变式训练1.如图8所示是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图（尺寸不限）.图8分析：先从三视图想象出实物形状，再根据实物形状画出它的直观图.解：由三视图可知该几何体是一个正三棱台，画法：（1）如图9所示，作出两个同心的正三角形，并在一个水平放置的平面内画出它们的直观图；（2）建立z轴，把里面的正三角形向上平移高的大小； 图9 图10（3）连接两正三角形相应顶点，并擦去辅助线，遮去线段用虚线表示，如图10所示，即得到要画的正三棱台.2.（2007广东汕头模拟，文1）水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图11所示，是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是（ ）A.0 B.7 C.快 D.乐 图11 图12分析：如图12所示，将图11折成正方体，可得2的下面是7.答案：B例2 （2007苏州高三教学调研，13）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是4 cm,则这个球的体积等于_cm3.活动：学生思考正方体和球的结构特征，并让他们互相交流自己的看法.分析：正方体的对角线是球的直径，所以球的半径为cm，其体积为cm3.答案：点评：解决组合体问题的关键是明确组合体的结构特征.变式训练1.（2006江苏高考，9）两相同的正四棱锥组成如图13(1)所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体图13(2)的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）图13A.1个 B.2个 C.3个 D.无穷多个分析：方法一：本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形，显然有无穷多个.方法二：通过计算，显然两个正四棱锥的高均为，考查放入正方体后，面ABCD所在的截面，显然其面积是不固定的，取值范围是，1），所以该几何体的体积取值范围是）.答案：D2.两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，则大球的表面积为（ ）A.6 B.8 C. D.分析：两小球的体积是213=，设大球的半径为R，则有，解得R=，所以大球的表面积为4()2=.答案：C知能训练1.如图14，直观图所示的原平面图形是（ ）图14A.任意四边形 B.直角梯形 C.任意梯形 D.等腰梯形分析：显然直观图中边AD与BC都平行于x轴，所以它们所对应的原图形中的边AD、BC是互相平行的；直观图中AB与y轴平行，所以在原图形中对应的边AB垂直于BC；但是直观图中CD与y轴不平行，所以在原图形中对应的边CD不垂直于BC，即AB与CD不平行，所以原图形应是直角梯形.答案：B2.正方体的体积是64，则其表面积是（ ）A.64 B.16 C.96 D.不确定分析：由于正方体的体积是64，则其棱长为4，则其表面积为642=96.答案：C3.某四面体的各个面都是边长为1的等边三角形，则此四面体的表面积是（ ）A.4 B. C. D.分析：每个等边三角形的面积都是，所以此四面体的表面积是4.答案：D4.圆柱的侧面展开图是边长为6和4的矩形，则圆柱的全面积为_.分析：圆柱的侧面积S侧=64=242.以边长为6的边为轴时，4为圆柱底面圆周长，所以2r=4，即r=2.所以S底=4.所以S全=242+8.以4所在边为轴时，6为圆柱底面圆周长，所以2r=6,即r=3.所以S底=9.所以S全=242+18.答案：242+8或242+185.如图15所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2 cm，高是cm，制造这个塔顶需要多少cm2铁板.图15分析：转化为求这个四棱锥的侧面积.利用过四棱锥不相邻的两侧棱作截面，依此来求侧面等腰三角形的面积.解：如图16所示，连接AC和BD交于O，连接SO，则有SOOA，图16所以在SOA中，SO=cm，OA=2=cm，则有SA=3 cm，则SAB的面积是2=cm2.所以四棱锥的侧面积是4=cm2.答：制造这个塔顶需要 cm2铁板.6.用斜二测画法画出图17（1）中水平放置的图形的直观图.图17分析：本题图形中的线段AB与x、y轴不平行，需先过A、B点向x轴作垂线AM、BN，构造与y轴平行的线段，从而确定点A、B的位置，从而确定线段OA、OB的位置.解：步骤是：在图17（1）中，取O点为原点，以水平方向的直线为x轴，竖直方向的直线为y轴，过A、B点分别作AMx轴于点M，BNx轴于点N.如图17(2)所示，取任一点O，画出相应的x轴、y轴，使xOy=45.在x轴上取OM=OM,ON=ON，过M、N分别作MAOy、NBOy，且MA=MA,NB=NB.连接O、A、B并擦去辅助线，如图17（3），则图形OAB即是水平放置图形OAB的直观图.拓展提升问题：如图18，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=6，AD=4，AA1=3，分别过BC、A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1=，V2=，V3=.若V1V2V3=141，试求截面A1EFD1的面积.图18探究：利用体积关系得到面积的关系解决此类问题，且灵活应用“转化”这一重要数学思想.截面A1EFD1为一个矩形,求其面积只要求出A1E的长度.注意到被两平行平面分割而成的三部分都是棱柱，其体积比也就是在侧面A1B被分割成的三个图形的面积比,于是容易得到各线段长度比进而得到线段AE的长度,再利用勾股定理容易得到A1E的长度.解：因为V1V2V3=141，又棱柱AEA1DFD1，EBE1A1FC