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第 33 卷第 1 期大学物理Vol 33 No 1 2014 年 1 月 COLLEGEPHYSICSJan 2014 浅谈大学物理中的几个重要物理常量 宁长春 索郎桑姆 西藏大学 理学院 物理系 西藏 拉萨850000 收稿日期 2013 03 20 修回日期 2013 05 30 作者简介 宁长春 1976 男 甘肃兰州人 西藏大学理学院物理系副教授 硕士 主要从事大学物理教学和亚毫米波天文学与宇宙线物理 研究工作 摘要 对于大学物理中几个重要物理常量的历史和定义 测量方法以及其重要意义进行了简要的阐述 关键词 万有引力常量 光速 普朗克常量 玻尔兹曼常量 中图分类号 O 4 09文献标识码 A 文章编号 1000 0712 2014 01 0025 06 我们从大学物理中几个关键性的物理常量 万有引力常量 光速 玻尔兹曼常量和普朗克常量入 手 希望能在梳理这些常量的历史和定义 测量方法 和物理本质的过程中 对大学物理的教学起到这样 几个作用 1 使这几个物理常量 成为促进学生把 握大学物理整体面貌的有效切入点 2 使物理常量 内在所蕴含的物理本质以及物理学之美 更透彻的 展现在学生面前 3 除了万有引力常量之外 光速 玻尔兹曼常量以及普朗克常量常常游走于物理学的 各个部分之间 最著名的莫过于普朗克公式 在这 个最早提出量子化概念 为了解释黑体辐射而出现 的公式中 居然同时含有光速 玻尔兹曼常量以及普 朗克常量 这正说明了物理学在整体上一定是由 不可分割的各个相对独立的知识体系共同构成 亚 里士多德说 离开了身体的手 已经不再是原先的 手 这句话 恰好可以非常形象的说明 只有力 热 光 电 现代物理的集合 才能构成最完整最自洽的 物理学科本身 正如那些众多的物理常量之间 其内 在有着千丝万缕的关系 1万有引力常量 1 1历史和定义 通常把物体之间的相互作用称为力 迄今为止 人们认识到自然界中的基本作用力共有 4 种 它们 是 引力相互作用 电磁相互作用 强相互作用 弱相 互作用 虽然这 4 种作用力所适用的对象 作用范 围 以及相对强度不同 但它们却有一个极大的共同 点 那就是它们的作用 将这个世界中的物质紧密联 系在一起 诸如万有引力作用使得月球围绕地球旋 转 电磁作用使得电子围绕原子核旋转 而强相互作 用使质子和中子能够克服电磁力结合成原子核 在这 4 种相互作用之中 万有引力是被最早发 现的一种 实际上 在这 4 种相互作用之中 万有引 力的相对强度最弱 只有在研究天体的运动时 由于 其质量巨大 万有引力才起到主要作用 万有引力常量 G 来自于大名鼎鼎的牛顿万有 引力公式 F G m1m2 r2 1 应该说 这个公式的出现 是物理学史上的一个 里程碑 也从此在极大程度上增加了人们对于世界 的认识 尤其是对天体运行规律的理解 这个公式承 上启下 一方面 完美的解释了开普勒三定律 亦即 人们对于世界表象的实验观测 另一方面 又开启 了经典力学的大门 使得人们在理解潜藏在物理表 象之下的物理原理之后 开始进一步主动的利用此 一物理原理 将之应用在新的实际生活当中 请注 意 虽然这个公式的发现距今已有数百年 但是直到 今天 我们如果想要将卫星送入太空 以及遥控它们 离开地球之后的运行轨道 依然离不开对这个公式 的考虑 但是更有趣的一点是 尽管是牛顿发现了万有 引力定律 但引力常量 G 这个数值是多少 连他本 人也不知道 按说只要测出两个物体的质量 测出两 个物体间的距离 再测出物体间的引力 代入万有引 力定律 就可以测出这个常量 但因为一般物体的质 量太小了 它们间的引力无法测出 而天体的质量太 大了 又无法测出质量 所以 万有引力定律发现了 100 多年后 万有引力常量仍没有一个准确的数值 这个公式仍然不是一个完善的等式 直到 100 多年 26大学物理第 33 卷 后 英国人卡文迪许利用扭秤实验 才巧妙地测出了 这个常量 1 2测量方法 在牛顿的万有引力理论中 除了万有引力常量 G 之外 还有另一个常量 g 亦即在地球表面的重力 加速度 请注意 G 是 g 的基础 或者说 G 是一个普 适常量 而 g 却只是一个局部常量 因为即便在地球 表面上不同的地点 g 的数值也并不一致 但是 G 和 g 之间存在一种关系 如果将地球全部的质量集中 在中心的一点上 然后去计算地球 质量为 m 半径 为 对一个质量为 m 的物体所施加的引力 有两 种计算方式 按照万有引力定律 F Gmm 2 按 照牛顿第二定律 F m g 将以上两个等式合并 可 以推出等式 g Gm 2 也就是说 如果能测量出地 球的准确半径 以及其准确质量 m 就可以计算出 万有引力常量 G 但是由于先前所说的原因 亦即 g 本身所存在 的不确定性 使这种方式去测量万有引力常量 G 远 非这样简单 实际上 历史上真正能首次测量出万有 引力常量的数据 却潜藏在一个叫做卡文迪许的实 验之中 卡文迪许曾被人们称为 给地球称重的人 因 为卡文迪许最早设计扭秤实验想获知的并非万有引 力常量 而是地球的密度 但是今天的科学家 重新 整理卡文迪许的实验数据 可以一种相对简洁明了 的方式计算出万有引力常量 由于卡文迪许的测量 装置十分精密 他所计算出的结果在一个世纪后才 被超越 尤其值得一提的是 在卡文迪许之后的 200 多 年时间里 虽然人类的科技发展迅猛异常 但是卡文 迪许所提出的扭秤实验依旧保持前沿地位 在测量 万有引力常量方面世界领先的华中科技大学团队 依然在使用这一方法 国际科学联合会理事会科学技术数据委员会 CODATA 2006 年推荐的万有引力常量最新值是 G 6 674 28 67 10 11 m3 kg 1 s 2 括号中的 两位数字是对小数点后最后两位数字的存疑程度 所以万有引力的相对标准不确定度为 1 0 10 4 1 3万有引力常量的意义 在大多数的物理常量之中 万有引力常量算是 相对独立的一个 它与其他学科之间的关联并不紧 密 但是即使如此 万有引力常量的意义依然无比非 凡 第一 在认识论方面 万有引力常量的发现让人 类对于天体运行规律有了深刻的理解 第二 在应用 的层面 万有引力常量的精确度将会直接影响到人 们在面对空间飞行时所遇到的实际问题 2光速 2 1历史和定义 对于光速最早进行过研究的人 大约有这样几 位 伽利略 卡西尼 奥勒 罗默 詹姆斯 布拉德利 等人 伽利略认为光速是有限的 1638 年他请两个 人提灯笼各爬上相距仅约一公里的山上 第一个人 掀开灯笼 并开始计时 对面山上的人看见亮光后掀 开灯笼 第一个人看见亮光后 停止计时 然后通过 计算光通过一段距离与时间的比值 就可以测定到 光速的值 显而易见 由于光速值如此之大 这实验毫不稀 奇的失败了 实际上这种测量方法在实验中测到的 只是实验者的反应时间而已 但是在极其重要的一 点上 伽利略却仍旧是正确的 他认为光速的确有一 个确定的数值 而且他提出的这种测量思想在原则 上是正确的 实际上 也正是从伽利略开始 经过无数人的努 力和铺垫 才最终有了伟大的迈克耳孙出现 把齿轮 法和旋转镜法结合起来 他所创造的旋转棱镜法装 置 曾在历史上测出了相当精确的光速值 但明确的测量到光速的值 并不等于完全理解 光速的概念 光速在整个物理学中所扮演的重要角 色 直到爱因斯坦提出狭义相对论 才真相大白 狭 义相对论中的一条假设是 光速相对于任何惯性参 考系 均是一个常量 而这条假设 几近彻底改变了 人们自牛顿以来长期坚信的对于时间和空间的看 法 因为狭义相对论指出 光速不仅仅是光子在真空 中运动的速度 还是连接时间与空间的基本常量 强相互作用 电磁作用 弱相互作用传播的速度 都是光速 根据广义相对论 万有引力传播的速度也 是光速 且已于 2003 年得以证实 根据电磁学的定 律 发射电磁波物体的速度不会影响电磁波的速度 结合相对性原则 观察者的参考坐标和发光物体的 速度不会影响被测量的光速 但会影响波长而产生 红移 蓝移 这是狭义相对论的基础 狭义相对论探 讨的是光速而不是光 光速其实是狭义相对论研究 的主要对象 2 2测量方法 在历史上对于光速测量的实验 除了伽利略的 掩灯实验 还是卡西尼通过对木卫食的观测实 验 他于 1676 年 曾在法兰西科学院的一次会议上 第 1 期宁长春 等 浅谈大学物理中的几个重要物理常量27 宣称太阳光抵达地球所需要的时间是 10 11 min 当时 地球和太阳之间的距离已经有一个较好的测 算结果 所以卡西尼所测算出的光速值大约是今天 数据的 80 而罗默则对木卫一的木卫食现象进行 了长达 8 年的观测 并发表了他的观测结果 罗默被 公认是测算光速的第一人 因为虽然他本人并没有 去计算他的数据 但是根据的他的数据 已经能够得 出光速的测量值 而在罗默之后 50 年 詹姆斯 布 拉德利改进了罗默的估算结果 得到了一个更准确 的数据 太阳光抵达地球所需的时间为 8 2 min 这 一结果虽然比实际的光速快 1 2 但是此后再过 大约 100 年 人类的科技水平才终于进步到可以真 正测算光速 19 世纪中叶 法国人斐索发明了旋转齿轮法测 量光速的装置 虽然他算出的光速值比实际光速高 出 5 而且也没有布拉德利的结果准确 但是他的 实际技术却为下一步测算更精确的光速数值铺平了 道路 而与此同时 傅科在斐索的实际基础上作了改 进 提出了傅科实验 而之后伟大的迈克耳孙 终于 在傅科实验的基础上作了进一步的改进 比如通过 将傅科实验中两面镜子之间的距离增大等方式 极 大的改善了该实验的效果 最终在反复的实验 反复 的改进实验技术之后 将光速的测算结果推进到 c 299 509 50 km s 然而迈克耳孙的伟大之处 绝不仅仅限于对于 光速的测算 实质上 他之后所参与的迈克耳孙 莫 雷实验 对于物理学的发展可谓是影响深远 众所周 知 正是这个实验 彻底否定了以太的假设 从而催 生了狭义相对论的产生 CODATA2006 年推荐的光速最新值是 c 2 997 924 584 m s 1 该值为精确值 2 3光速的意义 光速在物理学中占有非常重要的地位 不仅仅 是因为它是宇宙中的一个基本常量 同时也是因为 光速是宇宙中所有速度的上限 正如前面所说 对于迈克耳孙 莫雷实验结果 的理解 直接催生出了狭义相对论的诞生 因为狭义 相对论的两条假设 其中一条 就是在所有的参考系 里 光速都是恒定的 根据狭义相对论 可以直接导 出洛伦兹变换 而在洛伦兹变换中 人们惊奇的发 现 光速居然成了联系时间和空间的一个常量 这就 彻底推翻了自牛顿以来的时空观 使时间和空间以 及运动成为了互相联系的事物 而且除此之外 爱因 斯坦的质能方程还指出 能量和质量之间存在本质 关系 而光速同样是维系这种关系的关键所在 由于狭义相对论主要针对高速运动的物体 所 以在现实世界里 人们很难体会对相对论效应 但是 人们之所以无法在经验世界中体会到相对论的存 在 主要的原因还是在于光速是一个如此巨大的数 值 实际上 如果假设光速的数值是 100 km s 那么 按照洛伦兹变换 通过简单的计算 就会立马明白这 个世界在本质上就是一个相对论的世界 所以事实 的真相是 并非在经验的世界中 相对论效应不存 在 而是光速的数值巨大 使得这种效应非常微小 以至于我们感受不到而已 所以这时候真相大白 原来相对论力学在本质 上就包含了牛顿力学 因为洛伦兹变换 当物体运行 的速度远小于光速时 就可以退化为伽利略变换 最后要提到的 则是现行的光速值已经成为了 一个精确值 不再需要人们去测算它了 1983 年 17 届国际计量大会通过了 米 的新定义 在这定义中 光速 c 2 997 924 584 m s 1为规定值 而长度单 位 米 由这个规定值定义 既然真空中的光速已成 为定义值 以后就不需对光速进行任何测量了 3普朗克常量 3 1历史和定义 普朗克常量 h 的提出 完完全全归功于普朗克 的创造 但是令人最感到吃惊的 则是最早起于普朗 克理念中的常量 居然就是一个实实在在的存在 和 万有引力常量一样决定这个宇宙规律的基本常量 普朗克发现普朗克常量的机遇来自于对于黑体 辐射理论的研究 众所周知 在解释黑体辐射实验曲 线的问题上 当时的人们曾遇到了一个极大的困境 亦即所谓的 紫外灾难 一方面 随着黑体温度的 增加 现实并不允许随着波长的减小 黑体所辐射出 的能量无限增大 但是另一方面 当人们按照经典的 理论去推导的时候 却毫无例外的要得出与事实背 离的公式 连普朗克也是如此 为了解决这个问题 似乎是出于无奈 似乎是想用一种数学技巧逃离这 种尴尬的现状 普朗克首创性的提出了一种非常特 别的假设 即能量子的假设 1900 年 普朗克在假定电磁波的发射和吸收不 是连续的 而是一份一份进行的前提下 计算出了和 实验结果相符合的理论公式 亦即能完全解释黑体 辐射实验曲线的普朗克公式 M T 2 hc2 5 1 e hc k T 1 2 28大学物理第 33 卷 式中的 h 即是普朗克常量 他所假定的能量子为 h 普朗克认为 电磁波所辐射的能量并不连续 而 只能以 h 的整数倍存在 普朗克本人也许没有意识到 这个常量从此将 会彻底的颠覆先前的物理观念 而开创出物理学的 另一片崭新的天地 量子力学 但是事实的确如 此 此后不久 依据普朗克的量子假设 爱因斯坦成 功的解释了光电效应 紧接着 同样依据量子假设 玻耳提出了氢原子模型 成功解释了氢原子的巴耳 末实验 而再之后 在这个常量的推动下 量子力学 诞生了 从此 这个常量开始出现在现代物理学的各 个领域 并且扮演了极其重要的角色 3 2测量方法 最早测定普朗克常量的工作 是密立根由光电 效应实验证实 我们知道 用合适频率的光照射在某些金属表 面上时 会有电子从金属表面逸出 这种现象叫做光 电效应 从金属表面逸出的电子叫光电子 为了解释 光电效应现象 爱因斯坦提出了 光量子 的概念 认为对于频率为 的光波 每个光子的能量为 E h 3 式中 h 为普朗克常量 按照爱因斯坦的理论 光电效应的实质是当光 子和电子相碰撞时 光子把全部能量传递给电子 电 子所获得的能量 一部分用来克服金属表面对它的 约束 其余的能量则成为该光电子逸出金属表面后 的动能 爱因斯坦提出了著名的光电方程 h 1 2 mv2 W 4 式中 为入射光的频率 m 为电子的质量 v 为光电 子逸出金属表面的初速度 W 为被光线照射的金属 材料的逸出功 mv2 2 为从金属逸出的光电子的最 大初动能 由式 4 可见 入射到金属表面的光频率越高 逸出的电子动能必然也越大 所以即使阴极不加电 压也会有光电子落入阳极而形成光电流 甚至阳极 电位比阴极电位低时也会有光电子落到阳极 直至 阳极电位低于某一数值时 所有光电子都不能到达 阳极 光电流才为零 这个相对于阴极为负值的阳极 电位 U0被称为光电效应的截止电压 显然 有 eU0 1 2 mv2 0 5 代入式 4 即有 h eU0 W 6 由上式可知 若光电子能量 h W 则不能产生 光电子 产生光电效应的最低频率是 0 W h 通常 称为光电效应的截止频率 不同材料有不同的逸出 功 因而 0也不同 由于光的强弱决定于光量子的 数量 所以光电流与入射光的强度成正比 又因为一 个电子只能吸收一个光子的能量 所以光电子获得 的能量与光强无关 只与光子的频率 成正比 将式 6 改写为 U0 h e W e h e 0 7 由此可见 只要用实验方法作出不同频率下的 U0和 的曲线 并求出此曲线的斜率 就可以通过式 7 求出普朗克常量 h 其中 e 是电子的电量 CODATA2006 年推荐的普朗克常量最新值是 h 6 626 068 96 33 10 34 J s 相对标准不确定 度为 5 0 10 8 3 3普朗克常数的意义 要探寻普朗克常量的物理意义 最可靠的办法 仍旧莫过于从 E h 这个公式说起 一方面 请注 意 E 是微观粒子 电子或者光子 的能量 而 是微 观粒子的频率 于是微观粒子所具有的波粒二象性 从这个公式中得到了最好的描述 所以普朗克常量 在某一意义上 成为了将微观粒子的波动性和粒子 性巧妙联系在一起的一个物理常量 而另一方面 由 于能量的单位是焦耳 频率的单位是赫兹 所以普朗 克常量的单位 自然而然的成了 J s 但请注意普朗 克常量究竟有多小 h 6 626 068 96 33 10 34 J s 如果不是描述电子 光子之类非常微小的粒 子 那么这个常量很难引起人们的注意 因为它实在 比 0 大不了多少 假设一个光子的频率为 5 1014 Hz 那么我们可以计算一下这样一个光子所携带的 能量是 h 6 626 068 96 10 34 5 1014J 3 313 034 48 10 19 J 也就说 这种光的最小能量变 化就是如此之小 而这就对了 因为这恰恰能够解释 为什么在现实世界中 我们完全感受不到光线跳跃 性的变化 设想一下 如果让普朗克常量变得很大 诸如去掉 10 34这个数字 即增大到原值的 1034倍 那么情况完全就不一样了 因为在那样的情况下 对 于电灯明暗的连续性调节 将不再可能 同样 因为 普朗克常量的出现 还催生出了德布罗意公式 h p h mv 我们也可以计算一下 如果普朗克常量后 第 1 期宁长春 等 浅谈大学物理中的几个重要物理常量29 面真的少去了 10 34 那么我们完全就可以去尝试着 观测一个粉笔头所展现出来的物质波了 另外 普朗克常量还出现在另外一个非常重 要的公式里 x px 2 此一关系式被称为不确 定关系 其中 h 2 x 是任一时刻粒子在某一方 向上的不确定量 px为粒子在该方向上的动量不 确定量 这个公式明确的指出 不可能同时精确的 确定同一方向上微观粒子的位置和动量 当然 在 量子力学最重要的薛定谔方程当中 也少不了普 朗克常量 所以普朗克常量的发现 不仅深刻的揭示了微 观粒子的波动性和粒子性之间的联系 更重要的还 在于正是普朗克常量的发现 从此推动了量子力学 的产生 引发了人们对于物质世界 尤其是微观粒子 世界的重新认识 普朗克常量的微小值 和光速的巨 大值有点类似 前面我们讲到光速的极大值 使得相 对论效应很难在经验世界中得以显现 现在 我们是 不是可以说 也恰恰因为普朗克常量的微小值 使得 量子力学所描述的一系列奇怪现象 也超出了我们 经验的范围 但是无论如何 到现在为止 我们总算 是了解到了 G c h 等 3 个常量 分别成为了牛顿力 学 相对论力学以及量子力学中的关键词 4玻尔兹曼常量 4 1历史和定义 玻尔兹曼常量的发现 最早起源于对热的研究 关于热的本质 历史上曾有过燃素说和热质说两种 看法 但是事实上 这两种看法均是错误的 1845 年 焦耳在他的经典论文 论热功当量 中写道 用 来带动磁电机的机械力在电流经过线圈的过程中 转化成了热量 也就是说 焦耳清楚地意识到了不 同形式的能量是等价的 而这一点 催生出了热力学 第一定律 但是请注意 虽然热力学第一定律明确的指 出 能量既不能凭空创造 也无法凭空消失 只能 从一种形式转化为另一种形式 但是在实际生活 中 关于热 还有另外一个奇特的现象 机械能和 热能的相互转化似乎是不对等的 亦即机械能转 化为热能相对容易 但是热能转化成机械能则总 是要损失能量 于是这才有了卡诺对于热机效率 的研究 意识到热能做功的本质在于将热量从温 度高的物体转移到温度低的物体 而这种说法 其 实就是热力学第二定律 现在 问题摆出来了 如何去从根本上解释热力 学第二定律 亦即为什么热量总是从温度高的物体 转移到温度低的物体 玻尔兹曼对这个问题给出了完美的答案 他所 凭借的工具是原子论和统计力学 也就是说 当他研 究一升理想气体的时候 他认为每一个理想气体分 子要受两个规律的制约 其一 每一个气体分子要受 牛顿力学定律的制约 其二 作为集体存在的所有的 理想气体分子 要受统计学的制约 事实证明 这种 方法很有效 因为玻尔兹曼最终依靠以上的假设 得 出了一个伟大的公式 1 2 m v2 3 2 kT 8 等式的左面指的是一个分子所具有的平均动能 等 式的右面中 k 即玻尔兹曼常量 T 为热力学温度 从 这个公式可以看出 玻尔兹曼常量的出现 从此将个 体微粒的能量和物体的宏观表述量温度联系在了 一起 如果细究玻尔兹曼常量的推导 我们还能发现 其实 k NA 其中 是理想气体常量 NA 是阿佛加 德罗常量 亦即玻尔兹曼常量本身 是另外两个基本 常量的比值 但是即便如此 从物理意义上而言 这 依旧无法影响玻尔兹曼常量的伟大 因为从描述和 解释物理现象之下的物理本质而言 玻尔兹曼常量 拥有更深刻的意义 为了说明这一点 再看另一个公式 S kln 9 这个公式 可谓是玻尔兹曼常量的精华所在 一般称 为熵公式 式中 S 代表熵 是熵为 S 时的宏观状态 所对应的微观状态数 由于有了这个公式所描述的 宏观状态和微观状态所一一对应的图像 我们便很 容易理解为什么热量总是要从温度高的物体转移到 温度低的物体 这其实就是一个概率事件 每一种微 观状态都是等价的 但是温水的微观状态数量却要 远比开水的微观状态数量多 亦即温水的熵要高于 开水的熵 而任何一种热学过程 总是朝着熵增加的 方向进行的 4 2测量方法 由于玻尔兹曼常量是国际计量委员会 CIPM 建议用来定义热力学温度单位开尔文 K 的基本常 量 所以在不远的未来 在玻尔兹曼常量的测量值达 到一定的精确度之后 它也必然会成为像光速一样 30大学物理第 33 卷 的准确的定义值 而不再需要对其进行测量 目前 在实验室里用来教学使用的玻尔兹曼常量测量方 法 最常见的是利用 PN 结扩散电流与电压关系特 性来测量玻尔兹曼常量 另外 根据相关报告 中国 计量科学研究院通过对玻尔兹曼常量测量和热力学 温度基准及其关键技术的研究 建立玻尔兹曼常量 测量装置和光谱辐射法 噪声法测量热力学温度装 置 使我国首次具备玻尔兹曼常量测量和辐射法热 力学温度测量能力 CODATA2006 年推荐的玻尔兹曼常量最新值 是 k 1 380 650 4 24 10 23 J K 1 相对标准 不确定度为 1 7 10 6 4 3玻尔兹曼常量的意义 如上所说 尽管玻尔兹曼常量只是由理想气 体常量除以阿佛加德罗常量得出 但是它所具有 的更深刻更明晰的物理意义 却依旧使得这个常 量出现在一些非常重要的公式里面 涉及气体动 理论 统计力学 热力学等领域 而且通过该常量 我们将更容易从数学的角度去更清晰的解释有关 温度以及热学的一些问题 诸如通过它 可以轻而 易举的将温度这个宏观量和一个气体分子所具有 的能量这个微观量联系起来 以及说明热力学第 二定律的奥妙 另外 玻尔兹曼常量的另一重要意义或许还在 于 在未来将可能以玻尔兹曼常量为基础 来定义热 力学温度的单位开尔文 恰如已经