浅谈数学归纳法证题中的分离与整体代入.pdf

2 0 0 5 年第2 期 中学数学研究 9 0 9 o 0 时 s i r l A s i n B s m C恰好等于2 因此问题就转化到 s i r l A s in B s m C s i n 9 0 s in 9 0 s m 0 这就需要凭直觉思维顿悟出 证明策略当然是将三角形的三个角逐次调 整为9 0 9 0 0 流向明 确了 并且保证在调整 中s i 12 A s i 衄 s m C的值不增加 证明 首先证明 s i r l A s i n B s i n 9 0 s m A B一 9 0 此式等价于2 s m s 2 s in o 0 s 9 0 一 即o 0 s c o s 9 0 一 一2 s in 一 B 4 5 s m 一 4 5 0 则 2 s m 一 4 5 s m 一 4 5 0 而 在 锐 角 三 角 形 中 0 导 4 5 0 0 因此不等式 式成立 的两端同时加上s m C便有 s in A s in B s m C s i n 9 0 s m A B一 9 0 s m C 由于A B一 9 0 与C是互余的两个锐角 所以有s m A B一 9 0 s mC 1 s m 9 0 成 立 代人 式中得 s i n A s in B s m C s in 9 0 s i n 9 0 s m0 所以原式得证 参考文献 1 波利亚 怎样解题 上海科技教育出版社 2 0 0 2 6 2 郑毓信 数学方法论 广西教育出版社 2 0 0 3 6 3 樊友年 解题中局部与整体的辩证思维 中学数 学教学 1 9 9 6 1 4 杨承毅 学会用局部调整法解题 中学数学教学 参考 l 9 9 8 1 2 浅谈数学归纳法证题中的分离与整体代入 山东 省莒南 县第三中学 2 7 6 6 0 0 彭修才 山东省莒南县大店一中 2 7 6 6 1 2 张功泉 在应用数学归纳法证题时 关键的一点是 第二步证明当 k 1 命题成立时 必须用 上 忌 时命题成立的归纳假设 这就需要从 七 1 的形式中合理地分离出 l 七 的 形式 或者合理地直接达到分离 代人归纳假设 的目的 这是证题中的重点和难点 这里浅谈几 种较为简捷的证法 一 直加法 所谓直加法 就是在等式 或不等式 的两 边同时加上从 l 到 l 七 1 时所变化 2 8 的 部分 合理地达到了 分离代入归纳假设这一 目的 侈 曩 1 求证 l l 1 l 2 3 n 一 2 2 n 一 1 证明 1 当 l 1 时 左边 1 右边 1 所以当 l 1 时 等式成立 2 假设 七时等式成立 即是 忌 1 是 2 3 k 一 2 2 k 一1 把等式两边同时加上 3 k一1 3 k 3 k 维普资讯 中学数学研究 2 0 0 5 年第2 期 1 一是 得k 忌 1 十 k 2 3 k 一 2 3 足 一1 3 是 3 是 1 一k 2 k 一1 3 k 一 1 3 3 1 一 k 4 k 4 k 1 2 k 1 一 1 2 这就证明了当7 z k 1 时等式也成立 根据 1 2 可知 对任意 C N 等式都 成立 说明 通过直加 直接分离出k 忌 1 k 2 3 五 一 2 然后代换成 2 k 一1 从而达到了代人归纳假设的目的 二 直乘法 所谓直乘法 就是在等式 或不等式 两边 同时乘以从 k 到 7 z k 1 时所变化的 部分 从而达到了分离 代人归纳假设这一目 的 例2 求证 7 z 1 7 z 2 7 z 7 z 2 1 3 2 n 一1 7 N 证明 1 当7 z 1 时 左边 2 右边 2 所以当 1 时等式成立 2 假设当 k时 等式成立 即 忌 1 忌 2 k k 2 1 3 2 k 一1 两边同乘以 得 k 1 k 2 k k 垂 k 1 2 k 1 3 2 k 1 丝 2 1 3 2 k 一1 2 k 1 一1 所以7 z k 1 时等式也成立 由 1 2 可知 对任何 N 等式都成 立 说明 通过直乘 直接分离出 k 1 k 2 忌 k 然后代换成2 1 3 2 忌 一1 从而达到了代入归纳假设的目的 三 放缩法 用数学归纳法证明不等式时 对不等式的 一 边进行放大 或缩小 从而合理地证到目 标 式 例3 求证 1 1 1 7 证明 1 当 1 时 左边 1 右边 1 左边 右边 所以当7 1 时不等式成立 2 假设当7 k时不等式成立 叭 丢 1 那么 当 7 k 1 时 1 1 2 l 1 Tk 1 注 括号前以归纳假设代换 括号内的这 2 k 1 项都缩为最小项 这就证明了当 k 1 时不等式也成立 由 1 2 可知 对任何 N 不等式都 成立 说明 在放缩中保持了归纳假设部分 1 1 不 变 然 后 代 换 成 从 而 达 到了归纳假设代换的目的 四 作差法 可把关于和正整数 N 有关的部分记为 厂 7 z 在证明 1 k 到 7 z k 1 命题成立 时 通过作差f k 1 厂 忌 然后代人归纳 假设 加以整理而达到目的 例4 求证 1订 1 3 7 z 7 z十 L 二 Z 一 N 证明 记厂 1 1 1 1 当 7 z 1 时 1 1 1 百 3 当 2 时 厂 2 一 厂 1 号 1 2 Q 维普资讯 2 0 0 5 年第2 期 中学数学研究 吉 一 号 1 2 8 02 0 1 3 一 0 所 以 厂 2 厂 1 2 因此 当7 l 1 7 l 2 时不等式成立 2 假设 7 l 足 足 2 时不等式成立 即 足 而 1 1 3 又厂 足 1 i1 而 1 1 2 k 2 L 2 1 一 i1 那么 f k I 1 一 f k 1 哥 一 2 1 一i 1 0 足 2 iJ f 1 A f k 1 厂 足 注 归纳假设 代换 这就证明了当7 l 足 1 时不等式成立 由 1 2 可知不等式对任何 n N 都 成立 说 明 这 里 以 作 差 比 较 法 直 接 把 丢 1 1换成了厂 然后以归纳假设把 厂 足 换为 此题的解答是直加法和放缩法的 综合运用 一 等式或貉除问题也可以诜 用此 法 这样既可以直接用上归纳假设又可避开繁 琐的书写 五 拆项法和添项法 就是从 7 l 足 1 的形式中 通过拆项或 添项分出 n 足 的形式 例5 求证 3 n 1 7 一 1 7 l N 能被 9 整除 证明 1 当7 l 1 时 4 7 1 2 7 能被9 整除 2 假设 7 l k 时 3 k 1 7 一1 能被 9 整除 那么当7 l 足 4 1 时 3 k 1 1 7 一 1 3 k 1 3 1 6 7 一 1 3 k 1 7 3 k 1 6 7 2 1 7 k 一 1 3 k 1 7 一 1 3 k 6 7 6 2 1 7 3 k 1 7 一 1 1 8 k 7 2 7 7 k 由以上三式都能被9 整除可知 当 l 足 1 时结论成立 综上 由 1 2 可知对任何 7 l N 结论 都成立 说明 这里通过拆项 然后凑出能被9 整除 的部分 3 k 1 7 一1 从而达到了归纳假设 代换的目的 添项法可参阅教材第三册 选修 II P 6 6 例 4 这里不再赘述 对解析几何中的参变量取值范围问题的分类探讨 山东 省莒南三中 2 7 6