函数的奇偶性009.ppt

知识要点基础练习例题分析巩固练习 函数的奇偶性 如果函数f x 是奇函数或偶函数 那么我们就说函数f x 具有奇偶性 1 函数的奇偶性 1 如果对于函数f x 定义域内任意一个x 都有f x f x 那么函数f x 就叫做偶函数 2 如果对于函数f x 定义域内任意一个x 都有f x f x 那么函数f x 就叫做奇函数 既不是奇函数也不是偶函数的函数称非奇非偶函数 知识要点 2 偶函数的图象关于y轴对称 反过来 如果一个函数的图象关于y轴对称 那么这个函数是偶函数 2 具有奇偶性的函数图象特点 1 奇函数的图象关于原点对称 反过来 如果一个函数的图象关于原点对称 那么这个函数是奇函数 2 利用定理 借助函数的图象判定 3 函数奇偶性的判定方法 1 定义法 首先看函数的定义域是否关于原点对称 若不对称则函数是非奇非偶函数 若对称 再判定f x f x 或f x f x 有时判定f x f x 比较困难 可考虑判定f x f x 0或判定f x f x 1 偶函数在区间 a b 上递增 减 则在区间 b a 上递减 增 奇函数在区间 a b 与 b a 上的增减性相同 在定义域的公共部分内 两奇函数之积 商 为偶函数 两偶函数之积 商 也为偶函数 一奇一偶函数之积 商 为奇函数 注意取商时分母不为零 3 性质法判定 若函数f x T f x 则称函数f x 为周期函数 其周期为T 1 已知函数f x ax2 bx c 2a 3 x 1 是偶函数 则a b c 2 设f x x R 是以3为周期的奇函数 且f 1 1 f 2 a 则 A a 2 B a 2 C a 1 D a 13 已知奇函数f x 在x 0时的表达式为f x 2x 1 2 则当x 1 4时 有 A f x 0 B f x 0 C f x f x 0 D f x f x 0 1 0 R D B 基础练习 4 函数的奇偶性是 A 奇函数 B 偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 D 非奇非偶5 已知y f x 1 是偶函数 则y f x 的图象关于 A 直线x 1 0对称B 直线x 1 0对称C 直线x 1 2 0对称D y轴对称 D A 例1判断下列函数的奇偶性 例题分析 解 其定义域为 1 1 不关于原点对称 故函数为非奇非偶函数 例1判断下列函数的奇偶性 解 这时f x 0 故f x 既是奇函数也是偶函数 解 解 解 故f x 的一个周期是4 1 判断下列函数的奇偶性 解题回顾 本题还可利用f x f x 0求解较简便 巩固练习 解题回顾 本题应先化简f x 再判断f x 的奇偶性 若直接判断f x 的奇偶性 即 f x 为偶函数 这样就遗漏f x 也是奇函数 2 1 设函数f x 的定义域关于原点对称 判断下列函数的奇偶性 F x f x f x 2 G x f x f x 2 2 试将函数y 2x表示为一个奇函数与一个偶函数的和 解题回顾 本题的结论揭示了这样一个事实 任意一个定义在关于原点对称的区间上的函数 总可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和 解题回顾 本题应注意充分挖掘已知条件 即将 x代x得到关于f x 和g x 的二元一次方程组 3 设f x 与g x 分别为奇函数和偶函数 若f x g x 1 2 x 比较f 1 g 0 g 2 的大小 4 已知 1 判断f x 的奇偶性 2 求证f x 0 解题回顾 1 判断的奇偶性要比直接判断f x 的奇偶性要简洁 2 因为f x 是偶函数 所以求证f x 0的关键是证当x 0时 f x 0 变题1 已知g x 为奇函数 且 判断f x 的奇偶性 变题2已知函数是偶函数 试求a的值 解题回顾 数学解题的过程就是充分利用已知条件实施由条件向结论的转化过程 当条件不能直接推出结论时就要想方设法创造使用条件的氛围 采用逐步逼近的手法达到解题目的 5 设函数f x 的定义域关于原点对称 且满足 存在正常数a 使f a 1求证 1 f x