第十讲 立体几何中的多面体与球.doc

绍兴一中高二数学组 期末复习教案第十讲 立体几何中的多面体与球一复习目标1理解棱柱、棱锥、球的有关概念，掌握其性质；并能运用前面所学知识分析论证多面体与球内的线面关系，并能进行有关角和距离的计算。2掌握棱拄、棱锥侧面积体积的计算方法.球的表面积、体积的计算方法，理解球面上两点间距离的概念, 了解与球的有的内接、外切几何问题的解法.二基础知识1棱柱有关的概念1）棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。2）棱柱的性质：侧棱都相等，侧面都是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。3）棱柱的分类： 按底面多边形的边数分类：三棱柱，四棱柱，n棱柱. 按侧棱与底面的位置关系分类:4）特殊的四棱柱底面是平行四边形侧棱与底面垂直底面是矩形底面是正方形棱长都相等 四棱柱 平行六面体 直平行六面体长方体 正四棱柱 正方体5）长方体对角线定理:长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和.由这个定理可以派生出下面的两组重要关系式：对角线与从一个顶点引出的三个面所成的角分别为，则有，对角线与从一个顶点引出的三条棱所成的角分别为，则有，6）棱柱的侧面积与体积公式（1）（其中c为底面周长，h为棱柱的高）（2）（其中c1为直截面周长，l为棱柱的侧棱长）（3）（其中S为棱柱的底面积，h为棱柱的高）2棱锥有关的概念1）定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥。如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥。2）性质、正棱锥的性质(1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。、一般棱锥的性质定理 如果棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥高的平方比。3）棱锥的体积：V=Sh，其S是棱锥的底面积，h是高。3球有关的概念（1）球的概念：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。球面所围成的几何体叫做球。半圆的圆心叫做球心。连接球心与球上任意一点的线段叫做球半径。连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。球面被经过球心的平面所截得的圆叫做大圆。被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆。（2）球的截面圆的性质：球心到截面圆心的连线垂直于截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r，有下面的关系：r2=R2d2。（3）两点的球面距离的定义：在球面大圆上两点间的劣弧的长度。注意：球面上A,B两点球面距离的求法:先求出弦长AB,进而求出球心角AOB的度数,再利用弧长公式求出大圆的劣弧长；与球有关的结组合体问题（内切，外接）的解法：先明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系并作出合适的截面图。（4）球的表面积与体积：S球面=4R2，V=4/3R3。4多面体与正多面体（1）每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体。（2）正多面体有且只有5种。分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.三题型归类例1（1）若RtABC的斜边BC在平面内，顶点A在外，则ABC在上的射影是（ ）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.一条线段或一钝角三角形解析：当平面ABC时，为一条线段，结合选择支，知选D.（2）长方体AC1的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为（ ）A.1+B.2+C.3D.2解析：求表面上最短距离常把图形展成平面图形.答案：C（3）一个正方体内有一个内切球面，作正方体的对角面，所得截面图形是（ ）答案：B（4）若三球的半径之比是123，那么半径最大的球体积是其余两球体积和的_倍.A.4B.3C.2D.1解析：三球体积之比为1827.答案：B（5）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（ ）A.20B.25C.50D.200解析：设球的半径为R，则（2R）2=32+42+52=50，R=.S球=4R2=50.答案：C（6）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为4，那么这个球的半径为（ ）A.4B.2C.2D. 解法一：过O作OO平面ABC，O是垂足，则O是ABC的中心，则OA=r=2，又因为AOC=，OA=OC知OA=ACOA.所以OAOA2OA.因为OA=R，所以2R4.因此，排除A、C、D，得B.解法二：在正三角形ABC中，应用正弦定理，得AB=2rsin60=2.因为AOB=，所以侧面AOB是正三角形，得球半径R=OA=AB=2.解法三：因为正三角形ABC的外径r=2，故高AD=r=3，D是BC的中点.在OBC中，BO=CO=R，BOC=，所以BC=BO=R，BD=BC=R.在RtABD中，AB=BC=R，所以由AB2=BD2+AD2，得R2=R2+9，所以R=2点评：1.本题以球为载体考查了直线的关系、解三角形等知识，将空间图形的计算转化为平面图形中求正三角形外接圆半径及勾股定理的使用，并运用方程的思想. 2.正确区别球面上两点之间的直线距离与球面距离；计算A、B两点间的球面距离关键是搞清纬度、经度、经度差、纬度差等概念，具体步骤是：（1）计算线段AB的长度；（2）计算A、B到球心O的张角；（3）计算球大圆在A、B两点间所夹的劣弧长例2 三棱锥ABCD的两条棱AB=CD=6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球半径.解法一：易知内切球球心O到各面的距离相等.设E、F为CD、AB的