《工程电磁场导论》课件1.ppt

第一章静电场 1 1电场强度 电位 近代物理学的发展告诉我们 凡有电荷的地方 四周就存在着一种特殊形式的物质 称为电场 即任何电荷都在自己周围的空间激发电场 相对于观测者静止 且其电量不随时间而变化地电荷 在其周围空间产生的电场 即为静电场 1 1 1电场强度表征电场基本特性的场矢量是电场强度 简称场强 用 表示 它被定义为 式中F表示试验电荷q0在点 x y z 所受的力 显然 E是一个无论大小和方向都与试验电荷无关的矢量 它只反映了电场本身的性质 根据库仑定律 在无限大真空中有两个带电体 它们之间的相互作用力可表示为 其中 q1 q2分别是两带电体的电荷量 R是两带电体之间的距离 e21和e12是沿两带电体之间的连线方向的单位矢量 F的下标中第一个数是力的受体编号 第二个数是力的施体编号 例如F12表示第1个带电体受到第2个带电体的作用力 如图1 1所示 0 10 9 36 8 85 10 12F m 法 米 以后 为了分析问题和计算上的方便 作如下记法约定 在场的问题中 必须经常地区分两类 点 一类是表明场源所在的点 简称源点 记为 x y z 另一类是需要确定场量的点 简称场点 记为 x y z 同时 我们规定用r 表示从坐标原点到源点的矢量 用r表示从坐标原点到场点的矢量 因此 矢量差r r 就表示由源点到场点的距离矢量 见图1 2 通常用R表示之 根据电场强度的定义和库仑定律在无限大真空中r 处的点电荷q 在r处引起的电场强度为 当q位于坐标原点时 1 1 2叠加积分法计算电场强度 由电场强度的迭加原理可知 当n个点电荷在空间一点形成电场时 该点的电场强度等于各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和 根据物质结构理论 从微观上看 电荷是不连续的 但从宏观效果来看 人们往往把电荷看成是连续分布的 这样 就可以引入电荷密度的概念 其定义为 它们在空间一点r产生的电场强度分别为 例1 1一均匀带电的无限大平面 其电荷面密度为 求距该平面前x处的电场 p 5例1 2 解 在平面上取一圆环 以观测点到平面的垂足为圆心 半径为a 宽为da 环上的元电荷dq在观测点产生的电场为 其中eR是由dq指向观测点 x 的单位矢量 考虑整个圆环产生的电场 根据对称性 与平面平行的方向上合成电场为零 与平面垂直的方向上 合成电场为 此时dq dS 2 ada cos x R R a2 x2 1 2 所以 E的量值是一常数 与场点和带电平面的距离无关 1 1 3电位考虑由点电荷q单独产生的电场中任意两点A B间电场强度的线积分 参照图1 4 并考虑到er dl dr 可得 积分的结果只与A B两点的位置有关 而与积分的途径无关 我们也可以沿图中虚线的途径积分 得到相同的结果 假如我们沿一条途径计算从A到B的积分 并从另一条途径计算由B到A的积分 两者之和必为零 可表示成 对于任意分布电荷得电场 可以看成点电荷电场得迭加 而每一分量均符合于上式 故相加的结果也符合于上式 由此可知 在静电场中沿任意闭合途径 电场强度的线积分恒等于零 这个结论也可看作是单位正电荷在电场作用下 沿闭合曲线移动一周时 电场力所作的功为零 它反映了静电场的一条重要性质 称为静电场的守恒性 q rB rA dl dr E B A r 应用斯托克斯定理 书P 328式 20 其中S为以l为周界的任意曲面 此式告诉我们 静电场中场强的旋度的面积分在任何情况下总是零 所以被积函数一定为零 即 即静电场中电场强度矢量E的旋度到处为零 静电场是无旋场 由矢量分析知 任意一个标量函数的梯度的旋度恒等于零 因此 可引入标量函数 并定义 这个标量函数称为静电场的电位函数 负号表示电位沿电场的方向降低 1 1 4叠加积分法计算电位 对于场源既有点电荷又包含各种分布电荷的一般情况 由叠加原理得场点 r 上的电位表达式为 求出电位 后 再由电位的负梯度求电场强度 例1 2 求电荷面密度为 半径为a的均匀带电圆盘轴线上的电位和电场强度 p 9例1 4 解 如图所示 在圆盘上取一半径为r宽为dr的圆环 环上元电荷dq 2 r dr 环上各点距离P点皆为在轴线上一点P产生的电位为 Z 0 Z 0 圆盘上全部电荷在P点所产生的电位 由电荷分布的对称性可知 在轴线上 电场强度只有z向分量 即 Z 0 Z 0 圆盘中心 z 0 的电位 圆盘中心表面处的电场强度 Z 0 Z 0 圆盘面两侧电位 连续而电场强度E不连续 例1 3 如图所示 两点电荷 q和 q相距为d 当r d时 这一等量异号的电荷 q 称为电偶极子 计算任一点P处的电位和电场强度 p 10例1 5 解 应用叠加原理 由点电荷在空间任一点的电位公式得P点的电位为 因r d 则r1r2 r2 r2 r1 dcos 所以有 上式改写成 式中p qd 称为电偶极子的电偶极矩 p d 的方向由负电荷指向正电荷 单位为C m 库 米 因r d 则r1r2 r2 r2 r1 dcos 所以有 推导 P 334第1行 在球坐标系下 1 1 5电力线和等位面 线 电场和电位的分布也可用图形表示 即画出电力线 简称E线 和等位面 线 电力线上每一点的切线方向与该点电场强度的方向相一致 电位相等的各点连成的曲面或曲线 称为等位面或等位线 由于电场中每一点都有一个确定的电位值 故等位面 线 不会相交 否则等位面 线 交点处就会有两个不同的电位值 等位面 线 和电力线到处正交 等位面 线 愈密处 场强愈大 图1 1 10点电荷与接地导体的电场 图1 1 11点电荷与不接地导体的电场 介质球在均匀电场中 导体球在均匀电场中 点电荷位于无限大介质上方 点电荷位于无限大导板上方 下页 上页 返回 1 2高斯定律 在物理学中 我们已有高斯定律的基本概念 但那里回避了场域内实体物质的存在 根据物体的静电表现 我们可以把它们分成两大类 导体和电介质 1 2 1静电场中的导体 静电场中的导体必须满足静电平衡条件 就是说 不论导体是否带电 或是否受外电场的作用 它的内部或表面上任何部分都没有宏观的电荷运动 根据上述条件并考虑到导体具有自由电子的特点 可以推知 在静电场中 导体内部的场强处处为零 导体是个等位体 导体表面是个等位面 导体外的场强处处与它的表面垂直 导体如带电 则电荷只能分布于其表面 1 2 2静电场中的电介质 电介质的特征是 它所含的自由带电粒子数量极其微小 实际上 它的带电粒子是被原子内在力 分子内在力或分子间的力紧密束缚着 因此这些粒子的电荷叫做束缚电荷 即使在外电场作用下 这些电荷也只能在微观范围内移动 在静电平衡条件下 电介质内部可以长期地存在电场 这是电介质和导体在静电场中的基本区别 在外电场作用下 电介质被极化 极化的程度可用极化强度矢量 表示 并定义电极化强度为每单位体积内的电偶极矩 即 显然 在国际单位制中 极化强度的单位是库仑 米 C m2 实验结果表明在各向同性的线性介质中 极化强度P与电场强度E成正比 即P E式中 称为电介质的极化率 再来讨论极化电荷体密度 面密度与极化强度P的关系 已知电偶极子在场中任意点的电位为 则体积元 V 内总电偶极矩 p所产生的电位为 整个极化电介质所产生的电位为 由于 上式可改写成 再根据矢量恒等式 对上式应用散度定理 得 式中en是闭合面S 的外法线方向的单位矢量 上式与体积电荷和面积电荷的电位积分式相比较 可以写成 可得极化电荷的体密度与面密度分别为 可以证明 当介质均匀时 P存在的条件 是自由电荷的体密度不为零 应该指出 P只能出现在每一种介质的表面上 此外 这两部分极化电荷的总和 应等于零 符合电荷守恒原理 物理学中 对真空中静电场的高斯定律的表述为 在真空中 由任意闭合面穿出的 通量 应等于该面内所有电荷的代数和与真空中的介电常数 0的比值 其数学表达式为 1 2 3高斯定律 式中q是面S所限定的体积内的全部电荷 高斯定理是建立在库仑定律的基础上的 在有介质存在时 它也成立 只不过在计算总电场的电通量时 应计及高斯面内所含的自由电荷q和束缚电荷qp 即 式中q与qP分别为闭合面S内的总自由电荷和总极化电荷其中 从而有 所以 令 并称D为电位移矢量 于是有 它比原来的公式优越的地方 在于其中不包含束缚电荷 但这并不表示D本身与束缚电荷无关 应用高斯散度定律 因此 这就是高斯定律的微分形式 它表明静电场是一个有源场 此外 对于各向同性的电介质 由于P 0E 所以 引入 则 上式中的 为介质的介电常数 而 r 0称为相对介电常数 应该指出 D 0E P是电位移D的一般定义式 不问介质如何它都成立 而D E这一关系 仅适用于各向同性的线性电介质 1 2 4用高斯定律计算静电场 当带电体的分布具有某种对称性时 电场的分布也将具有一定的对称性 这时应用高斯定律可以十分简捷地求得电位移D和电场强度E 例1 4有一半径为a 电荷面密度为 的均匀带电球 试求 空间电场 电位分布 1 3静电场基本方程 分界面上的衔接条件 1 3 1静电场基本方程静电场基本方程是静电场基本性质的数学表示 有积分和微分两种形式 在各向同性的线性介质中 第 式是静电场的环路特性 静电场E的环路线积分恒等于零 说明静电场是一个守恒场 又称为无旋场 位场 势场 关于静电场的守恒性 不管介质如何 不管是线性的还是非线性的 各向同性的还是各向异性的 只要是静电场都具有这个性质 所以它也是静电场的基本方程之一 第 式高斯定律的积分形式 它说明穿出闭合面的 电 通量恒等于闭合面内自由电荷的代数和 凡是静电场也必有此性质 所以 它是静电场的基本方程之一 第 式是高斯定律的微分形式 它表明静电场是一个有源 散 场 这与我们前面提到过的D线从正的自由电荷发出 终止于负的自由电荷的说法是完全相符的 第 式表示静电场中E矢量的旋度处处为零 静电场是无旋场 1 3 2分界面上的衔接条件 要解决复杂的电场问题 必须知道在两种媒质的分界面上 场矢量 与 将如何改变 E与 在分界面上各自须满足的关系 就是统称的两种媒质分界面上的衔接条件 我们讨论的出发点是积分形式的静电场的两个基本方程 电位移D的边界条件如图1 8 设两种媒质中紧靠分界面上一点P的电位移分别为D1 D2 它们相对于分界面的切线与法线分量分别为D1t D1n和D2t D2n 作一包围P点的小扁圆柱体 它的高度 l 0 上下两个面的面积均为 S 柱体的闭合表面所包住的电荷应为 S 1 2 1 2 V 式中V为扁圆柱体的体积 为分界面上自由电荷密度 1 2分别为两种介质的电荷体密度 由于 l 0 V 0 因此 后面一项可以忽略不计 应用高斯通量定律于圆柱表面 可得 D1n S D2n S S或D2n D1n 如果分界面上没有作面分布的自由电荷 则上式可写成D1n D2n也就是说 D的法向分量不连续 是由于分界面上存在自由电荷 如果分界面上不存在自由电荷 则D的法线分量连续 电场强度 的边界条件如图1 9 设在第一种介质中紧靠 点的电场强度是 1 在第二种介质中紧靠 点的电场强度 2 它们对于分界面的切线分量与法向分量分别是E1t E2t和E1n E2n 作一包围P点的狭小矩形 使它的轴线与分界面重合 矩形的短边 l2 0 长边 l1也作得很短 使得在 l1上各点的场强可以认为都相等 这样 沿矩形边界求E的线积分 根据 E dl 0可得 E1t l1 E2t l1 0即E1t E2t 上式表明 在两种介质的分界面上 电场强度的切线分量是连续的 静电场中分界面上的衔接条件 D2n D1n E1t E2t 静电场的折射定律如果两种电介质都是各向同性的线性介质 介电常数分别为 1和 2 则有D1 1E1 D2 2E2 这样 上面两图中的 1 1 2 2 上述边界条件可分别写成E1Sin 1 E2Sin 2 1E1Cos 1 2E2Cos 2两式相除 得tan 1 tan 2 1 2上式称为静电场的折射定律 导体与电介质的分界面上的衔接条件设第一种媒质为导体 第二种媒质为电介质 由于导体内部电场强度和电位移都必须为零 即E1 0 D1 0 且导体带电时 电荷只能分布在表面 同时又是分界面 可以推得 E1t E2t 0D2t 0E2n D2n 是导体表面的电荷密度 由此说明 在电介质中与导体表面相邻处的电场强度E与电位移D都垂直于导体表面 且电位移的量值就等于该处电荷的面密度 电位函数的边值关系由电位与场强的关系 d E dl以及我们所研究的场中 场量总是有限值 可知 电位函数必须是连续函数 也就是说 在两种介质的分界面上 电位不能突变 显然 这一条件与前面推得的E1t E2t是等价的 如果采用关系式 和 可以把两种媒质分界面上的衔接条件 用电位函数表示成 D2n D1n 对于电介质与导体 设为第一种媒质 的分界面 用电位表示的衔接条件为 1 4静电场边值问题 唯一性定理 已知空间某一区域内的电荷分布 给定该区域边界上的电位或电场 求解该区域内的电位函数或电场强度分布 这类问题称为静电场的边值问题 1 4 1泊松方程和拉普拉斯方程 Poisson sEquation Laplace sEquation 根据静电场基本方程的微分形式 将关系式 代入 得 对于均匀介质 由于 因此有 这就是静电场的泊松方程 Poisson sEqu 对于场中无电荷分布 即 0处 上式成为 这就是静电场的Laplace sEqu 称为Laplace算子 在直角坐标系 圆柱坐标系和球面坐标系中 它的展开式分别为 变量为 z 变量为r Laplace算子 在直角坐标系 圆柱坐标系和球面坐标系中 它的展开式分别为 1 4 2静电场边值问题 静电场问题通常都可以归结为在给定边值条件下 场域边界面S的边界条件 不同媒质分界面上的衔接条件 自然边界条件 求解泊松方程或拉普拉斯方程的边值问题 自然边界条件 如果场域扩展到无界空间 则作为定解条件还必须给出无限远处的边界条件 对于电荷分布在有限区域的无界电场问题 根据物理问题的本质 在无限远处 r 应有 第1类边值问题 第2类边值问题 第3类边值问题 例1 5用 边值问题 重解 教材 P 18 例1 8 真空中有电荷以体密度 均匀分布于一半径为a的球中 试求球内外的电场强度及电位分布 p 27例1 14 解 因球内有电荷体密度 故应满足泊松方程 而在球外区域则应满足拉氏方程 选球坐标系 球心与原点重合则界面坐标与球坐标面r a重合 由对称性可以判定电位只与r有关 故有 r a a r 对上二式积分 得 下面来确定积分常数 因r 时 电位应为有限值 故c1 0 当r 时 0 故c4 0 当r a时 解得 故有 0 r a a r 又由 则得 所得结果与例1 8中用高斯定理求得的结果一致 根据上述例题 可将求解电场边值问题的步骤小结如下 1 根据介质和电荷分布情况把场域分成几个区域 2 根据边界的几何形状选坐标系 使边界面尽可能与坐标面重合 列出各区域中的电位方程式 3 求解在求解前应对场的特点作初步分析 看有无某种对称性可资利用 在上面的例题中 电位都是某一坐标变量的函数 泊松方程和拉氏方程实际上已退化为常微分方程 故可直接求解 4 根据边界条件决定积分常数 1 4 3唯一性定理唯一性定理的表述十分简单 满足泊松方程或拉普拉斯方程及所给的全部边界条件的解是唯一的 解的唯一性定理在求解静电场问题中具有重要的理论意义和实际价值 它不仅指出了解的唯一性条件 而且给我们提供了多种形式的求解方法 对于许多实际问题 往往需要根据给定的条件作一定的分析 提出尝试解 如果提出的尝试解满足唯一性定理所要求的条件 它就是该问题的唯一正确的解 证明从略 1 5分离变量法 分离变量法是求解微分方程的一种典型方法 在数学中有专门的讨论 它的要点是把一个包含多个自变量的函数 用各包含一个自变量的函数的乘积表示 代入偏微分方程后 能够将偏微分方程分离为几个常微分方程 从而可以分别求解 边界条件与具体问题的边界形状有关 为了能方便地利用边界条件来确定积分常数 可以选取适当的坐标系 使边界尽可能用简单的函数表示 如果坐标系选的不恰当 会使问题复杂化 本节将介绍在二维直角坐标系和圆柱坐标系中 解拉普拉斯方程的分离变量法 1 5 1直角坐标系中的分离变量法 设电位分布只是x和y的函数 而沿z方向没有变化 则拉普拉斯方程为 令 代入上式 则得 要使方程两边相等 必须使它们分别等于一个常数 将此常识写成kn2 因而得到关于X和Y的两个常数方程 其中kn称为分离常数 取不同的值 方程有不同的解 当kn 0时 方程的解为 当kn 0时 则方程的解为 因拉氏方程是线性方程 适用叠加原理 为了适应不同的边界条件 其一般解答应为kn取所有可能值的解的线性组合 即 如果将kn2换成 kn2 则 式中的双曲函数也可用指数函数的形式来表示 A0 B0 C0 D0 An Bn Cn和Dn都是待定常数 由具体的边界条件来确定 例1 6无限长接地金属槽内的电场 如图1 12所示 有一无限长直角金属槽 其三壁接地 另一壁与三壁绝缘且保持电位为V0 金属槽截面的长宽分别为a和b 求此金属槽内的电位分布 解 取直角坐标系如图所示 忽略电位沿z方向的变化 就是一个二维场 槽内电位函数满足二维拉普拉斯方程 从所给边值看 这是第一类边值问题 为了保证槽内电位函数沿y方向变化时 在y 0 b处为零 应取y的周期函数形式 由x 0处 0得 此式对于任意y值都成立 必有B0 0 An 0 在y 0处 0 即 故得D0 0 Cn 0 此时 在y b处 0 即 故得C0 0 A0 0 Cn 0 Sinknb 0 kn n b knb n 在x a处 V0 故 上式两边同乘以 然后从0 b进行积分 根据三角函数的正交性 等式右端 所以 最终得到金属槽内的电位分布函数为 还应指出 上面的解是无穷级数 但级数中的任何一项都不是解 因为它们单独地都不能满足给定的全部边值 1 5 2圆柱坐标系中的分离变量法 柱坐标系中的二维拉普拉斯方程为 电位沿z方向没有变化 假定解的形式是代入上式 经整理后 可分解为关于R和Q的常微分方程 它们的解为 当n 0时 当n 0时 柱坐标系中二维拉普拉斯方程的通解是 各常数的值同样由具体边界情况确定 例1 7均匀外电场中的电介质圆柱体 如图1 13所示 在均匀外电场E0中 有一半径为a 介电常数为 2的无限长介质圆柱体 其轴与E0垂直 柱外充满介电常数为 1的均匀介质 求柱内与柱外的电位分布 解 根据边界情况 选取圆柱坐标系 因圆柱很长 故为平行平面场 取上面推导得出的一般解 由于场的分布对称于x轴 即 故C0 0 Dn 0 因此 a a 本题应满足的条件为 r 0 为有限值 取为 在柱面处的衔接条件为 由上述条件可确定各常数 由 得 由 得 由 得 解得 故得电位解答为 圆柱外的电场强度为 圆柱内的电场强度为 或者 1 6有限差分法 分离变量法适合于界面与所选取的坐标系的坐标面相吻合的问题 对于边界情况比较复杂的电磁场问题 可以用差分法 网格法 求其数值解 所谓差分法 就是把所研究的区域离散化为很多网格或节点 对每一节点用差商代替微商 从而把所研究区域的偏微分方程 变为各个节点上的差分方程组 这样 求场的微分方程的解就变为求联立差分方程组的解的问题 现以二维拉普拉斯方程的第一类边值问题为例 介绍有限差分法的一般步骤 1 6 1差分格式 设有电位函数 在二维区域D内满足拉普拉斯方程且给定第一类边界条件 在区域D内 我们把计算的区域D划分为正方形网格 如图1 14所示 图中各网线的交点称为节点 相邻网线间的距离h称为步长 或步距 显然 步距越短则结果越 准确 也可分为其它形状的网格 但正方形网格最为方便 划分好网格后 用差商代替微商 把拉普拉斯方程离散化 对图中任一点0 将该点电位对x的微商用差商代替后变为 该点电位对x的二阶微商用差商代替后变为 同样 该点电位对y的二阶微商用差商代替后变为 用差商代替微商的可能性 可通过泰勒级数展开加以检验 注 将上二式代入拉普拉斯方程 便得到拉普拉斯方程的差分形式 或称为差分计算格式 为 即每一点的电位 均等于其相邻四点电位的平均值 对于边界附近的节点 其边界不一定正好落在正方形网格的节点上 而可能如图1 14中的红色节点 显然右 上两个节点为边界节点 放大后如图1 15所示 图1 15中 1 2为边界节点 p q为小于1的正数 仿上所述 可推得这些节点的拉普拉斯方程的差分格式为 注 对于区域内的每一个节点 都可以列出一个差分方程 例如对图1 14而言 就要列出24个联立方程 通过这些方程把各个内节点的电位以及边界上的 节点 电位联系起来 只要解这个方程组 便可求得各个节点上的电位值 边界上的电位 注 用差商代替微商的可能性 可通过泰勒级数展开加以检验 对0点的电位 沿x方向应用泰勒级数展开 可得 对于节点1 x x0 h 节点3 x x0 h 则有 略去h4以后各项 便得 同样 沿y方向进行泰勒级数展开 可得 注 边界节点的拉普拉斯方程的差分形式推导 同理 代入拉普拉斯方程 即得 1 6 2差分方程组的解 求解方程时 由于实际问题的节点数很多 往往可达几百甚至几千 通常解联立方程组的方法 如行列式法 消去法等 便不再适用 好在每一个方程中只包含很少几项 可以采用逐次近似的方法求解 同步迭代法 首先 任意给定在网格区域内各个节点的位值 作为解的零次近似值 其中上角标 0 表示零次近似值 下脚标i j表示第i列第j行的交点 把这组数代入差分方程 便可求得一次近似值 再将一次近似值代回原方程 可求得二次近似值 一般可得 当两次相邻迭代解之间的误差小于某个给定值W时 即 就可结束迭代过程 而取为所求的解 有上式可见 在计算每一次迭代解的新值时 要用到前次迭代解的旧值 在用计算机求解时 要有两套存储单元 此外 收敛的速度也较慢 所以要加以改进 高斯 塞德尔迭代法 又称李普曼法 异步迭代法 这个方法的特点为 在求第k 1次近似值时 如果其相邻点的第k 1次新值已经求得 就可用此新值代替第k次旧值代入差分方程求解 所以相应的迭代公式为 根据上述特点 在用计算机求解时 只要用一套存储单元来存储网格节点的位值 同时 也由上式可知 在迭代时有一半是用了新值 所以 收敛速度要快一倍左右 逐次超松弛法 这是在上述高 塞迭代法的基础上 再加上超松弛的措施 以加快收敛速度 相应的迭代格式为 式中 称为加速收敛因子 超松弛因子 选择不同的 可以有不同的收敛速度 通常 在1 2之间选取 1 7镜像法和电轴法 直接求解泊松方程或拉普拉斯方程往往是十分繁复和困难的 在某些边界较为特殊的情况下 镜象法和电轴法巧妙地应用唯一性定理 使某些静电场问题很容易得到解决 这两种计算方法的实质 把实际上分片均匀介质看成是均匀的 并在所研究的场域边界外的适当地点用虚设的较简单的电荷分布来代替实际边界上复杂的电荷分布 根据静电场解的唯一性定理 经过这样的代替而求出的该区域内的电场必与代替前该区域内的电场相同 1 7 1镜像法 介绍三个镜像法的典型问题 点电荷对无限大导体平面的电场 图1 17所示介电常数为 0的介质内放置一点电荷q并邻近某无限大导电平面的情形 由于该导体平面伸展至无限远 故其各处电位都应与无限远处的电位相同 即各处电位均为零 现在要计算导电平面上方区域的电场 根据电场迭加原理 上方区域中任意点的电位 可以看成是点电荷在该点的电位与感应电荷 在该点的电位的迭加 显然 在上方区域内 电位 满足拉氏方程 而在导电平面上应满足边界条件 0 只要在导体平面的下方与点电荷q对称的点 d 0 0 处放置一点电荷 q 称为镜像电荷 并把导体平面撤去 整个空间充满介电常数为 0的电介质 如图1 18所示 则原来电荷q和镜像电荷 q共同在平板上方空间产生的电位分布满足拉氏方程和原有的边界条件 故任意一点P x y z 的电位为 必须注意 采用这样的镜象电荷 实质上是代替了导电平面上分布的感应电荷的作用 因此 上述公式的适用区域是导体平面S上方的空间 而S面下方的空间实际上不存在电场 点电荷对接地导体球面的镜像问题 如图1 19 在半径为R的接地导体球外 距球心为d处有一点电荷q 根据唯一性定理 球外电位应满足的条件是 除点电荷q所在点外 空间中电位应满足拉普拉斯方程 当r 时 因导体球接地 在球面上 根据对称性分析 可在点电荷q与球心o的连线上 距球心为b的一点放置一点电荷 q 则球外任意一点的电位为 显然 此式对条件 都能满足 由条件 有 根据余弦定理 经整理 得 为使上式对任意 角均成立 必有 解之得 于是 球外任意点的电位为 如果金属球不接地 原先又不带电 则球面上正负感应电荷在数值上相等 为了保证球面上电荷总值为零 同时球表面仍为等位面 可在球心位置上再放置一点电荷q 这样根据迭加原理 球表面的电位为 q和 q 在球表面上产生的电位为零 它恰好等于当球形导体不存在时球心位置应有的电位 在这种情况下 球外空间的电位应由q q 及q 三个点电荷来计算 点电荷对无限大介质平面分界面的镜像问题 设介电常数分别为 1和 2两种介质的分界面是一无限大平面 如图1 20 在介电常数为 1的介质中距离分界面为d处置一点电荷q 要求计算分界面两方的电场 这个问题的特点是两种介质中都存在电场 必须分别计算 根据唯一性定理两种介质中的电位应满足的条件是 除点电荷q所在点外 左 右半空间中电位都满足拉普拉斯方程 当r 时 在分界面上有衔接条件 在此使用这样的镜像系统 左半空间的场由原来电荷q和像电荷q 所产生 此时假定介质1充满整个空间 右半空间的电场由q 单独产生 此时假定介质2充满整个空间 条件 都能满足 因此有 电位函数的边值关系 已讲过的内容 由电位与场强的关系 d E dl以及我们所研究的场中 场量总是有限值 可知 电位函数必须是连续函数 也就是说 在两种介质的分界面上 电位不能突变 显然 这一条件与前面推得的E1t E2t是等价的 如果采用关系式 和 可以把两种媒质分界面上的衔接条件 用电位函数表示成 D2n D1n 根据分界面上的衔接条件 在r1 r2处 由条件 得 解之得 至于分界面一方中的电荷不是点电荷的情形 也可以用迭加原理论证应用镜象法的可能性 1 7 2电轴法 两平行的 同半径 带等值异号电荷的长直圆导线的电场 对于如图1 21所示的两平行带电圆柱导体系统 由于表面上所带电荷的分布并不均匀 而且未知 一般只知道沿轴向单位长度表面上所带总电荷分别是 和 直接求解是有困难的 我们可假设两圆形横截面的导线上的电荷各集中在一条称为电轴的假想轴线上 由于电荷在导线面上的分布是不均匀的 为保持边界条件不变 导线的几何轴线和电轴线就不一致 这样 求解原来系统的电场问题 就变为求解两根带等量异号电荷的平行长直细线的电场问题 如图1 22所示 在两圆柱导体外部任一点上 由 和 共同引起的电位是 现在选定一个包含y轴且平行于圆柱导体的平面 令其电位为零 即当 1 2时 P 0 于是C 0 故得 在垂直于输电线的xoy平面中 等位线的方程式应为 即 式中K是另一常数 经整理 写成 可见 这是一族圆心在 半径为的圆的方程 电力线与等位线正交 电力线也是圆族 而圆柱导体是等位面 其截面方程应包括在这一族等位线方程中 并且有 K0是由圆柱导体之一表面上一点到两电轴距离之比 上面两式消去K0得 已知h和a 即可求得两电轴的距离2b 从而不难确定其电场分布 显然 场强最大之处在两导线相距最近处 如果已知两圆柱导体之间的电压为U0 即 对于A点 当 1 a h b b h a 2 b h a 时 两圆柱导体外部空间的电位可表示成 电轴法的步骤为 1 由给定的导线尺寸和相互距离 求电轴位置b 2 假设圆柱导体不存在 整个空间充满空气 或介质 然后利用两电轴的电位公式求圆柱外部的电位 式中 1 2分别为场点到 的距离 3 选择电位参考点 决定常数C 如果选在y轴上 则C 0 电轴法的关键是找电轴位置 它的理论根据是唯一性定理 其实质是等效变换 即把原来不均匀的介质以均匀的介质代之 把平行导体上实际分布电荷的对外作用 以待求场域之外的两个虚设电轴的对外效应替换 注意 这种等效替换的有效区域在圆导线外部 对导线内部不等效 1 8 1电容任何两导体之间都有一个电容存在它的定义就是 当两导体带有等量异性电荷时 此电荷的量Q与两导体间的电压U的比 即 电容是电路中的一个参数 如果介质是线性的 则电容的值与两导体的形状 大小 相互位置以及介质的分布和性质等因素有关 而与各导体上所带电荷的量无关 然而 把电容作为一个参数 只有当组成电容的两导体上带有等量的异性电荷时才能应用 1 8电容和部分电容 如果把组成电容的两导体之一移至无限远 则其上电荷不能在所研究的空间范围内产生电场 这时两导体之间的电压也就是另一导体上的电位 因此 电容就变为某导体的电荷Q与电位 的比 即 这称为该导体孤立时的电容 它可以看作是两导体间电容的一个极限情况 两导体间的电容可以按照以上定义去计算 即可先假设两导体上的电荷 应设为等量异性电荷 来计算两导体间的电压 然后求出二者的比 即为电容C 或者先设定两导体间的电压并以此来计算两导体上的电荷 必须得出等量异性电荷 然后求出二者的比 示意如下 但不论走哪条路径 都不可避免地要计算两导体间的电场 因此说 电容计算实际上也就是电场计算问题 如果电场是已知的 就可以运用高斯定理来求电荷 用电场强度线积分来求电压 于是A B两导体间的电容可写为 式中S为包围正电荷导体A的任意闭合面 无限长同轴导体圆柱面 其内导体每单位长度带有电荷 外导体带有同样多的负电荷 两导体柱面间的电压是 每单位长度的电容是 同样可以求出两同心球面导体间的电容 在实际工作中我们还常遇到三个或更多的导体组成的系统 在多导体系统中 一个导体在其它导体的影响下 与另一导体构成的电容称为部分电容 研究这些部分电容对于确定多导体系统的特性有重要意义 1 8 2部分电容 假设所讨论的多导体系统是静电独立系统 即系统中的电场分布和系统内各带电导体的形状 尺寸 相互位置及电介质的介电常数有关 而和系统以外的带电体无关 同时 所有电位移线全部是从系统内的带电体发出并全部终止于系统内的带电体上 和外界没有任何联系 也就是说 在 n 1 个导体 其中之一通常指大地或无穷远处 可设它的电位是零 组成的静电独立系统中 所有导体所带电量的代数和等于零 即 q0 q1 q2 qn 0再假设系统内介质的介电常数不变 计算各带电导体的电位时 可应用迭加原理 根据上述原理 可知每一导体的电位 取大地 0号导体作为参考点 与各导体的电量都存在线性关系 因此有 上式中所有 ij都是常数 称为电位系数 下标相同的 i j 称为自有电位系数 下标不同的 i j 称为互有电位系数 而且 ij ji 每一个电位系数都与所有导体的几何条件有关 都是正值 矩阵形式 电位系数的性质有 电位系数都是正值 具有互易性 即 ij ji 自有电位系数大于与它有关的互有电位系数 4 电位系数只与导体的几何形状 尺寸 相互位置和电介质的介电常数有关 对上面n个方程求解 可得各导体上的电量 矩阵形式 矩阵形式 式中 ij也是由各导体几何条件决定的常数 当i j时 11 22 nn 称为自有感应系数 电容系数 而当i j时 12 13 n1 n2 称为互有感应系数 感应系数 感应系数的性质有 自由感应系数都是正值 互有感应系数都是负值 且具有互易性 即 jk kj 自有感应系数大于与它有关的互有感应系数的绝对值 引入符号Ckj kj和Ck0 k1 k2 kn 将上面的电量方程改写 从中可以找出它的新的含义 以其中第一式为例 类似地 整个方程组可改写成 Ck0称为自有部分电容 即各导体与0号导体间的部分电容 Ckn和Cnk称为互有部分电容 即相应两个导体间的部分电容 所有部分电容都为正值 且Ckn Cnk 部分电容可将场的概念与电路结合起来 图1 8 3部分电容与电容网络 例试计算考虑大地影响时 两线传输线的部分电容及等效电容 已知d a 且a h 解 部分电容个数 由对称性 得 图1 8 4两线输电线及其电容网络 利用镜像法 P44 两导体的电位 代入式 2 得 下页 上页 返回 图1 8 5两线输电线对大地的镜像 联立解得 两线间的等效电容 下页 上页 返回 1 8 3静电屏蔽 上述分析可知带电导体通过电场作用 影响场中其它导体的电荷和电位 而其它导体也将通过电场影响该导体的电荷和电位 这种影响往往是有害的 实际中常以一空心接地体罩 将该导体包围起来 以避免这种影响 图1 29所示为一个三导体系统 0号导体将1号导体完全包围并接地 此时 令q1 0 则0号导体内无电场 U10 0 上式中第一式为 其中U12不可能为0 只有C12 0 因此 在0号导体接地的情况下 由此可见 q1只与U10有关 q2只与U20有关 导体1和导体2之间 不存在通过电场的相互影响 0号导体的存在 消除了导体1 2之间的静电联系 这种作用称为静电屏蔽 工程上常利用这个作用来隔绝有害的静电影响 例如静电电压表和高压设备周围的屏蔽网等 就是起静电屏蔽作用的 1 9静电能量与力 电场有力效应 说明电场中储藏有电能量 电场中的储能 是在电场建立过程中由外力作功所形成的 因此 可以根据建立该电场时所作的功来计算电场能量 1 9 1带电体系统中的静电能量 首先 分析电荷作任意分布时带电系统所具有的静电能量 设电荷体密度为 面密度是 且电介质为线性介质 在建立该带电系统电场的某一瞬时 场中某一点的电位是再将电荷增量 q从无穷远移至该点 外力需作功 这个功将转化为静电能量储存在场中 式中 q V或 q S 对应于电场建立的全过程 总能量可由上式积分得出 静电场是保守力场 其场能量仅取决于电荷的最终分布状态 而与电荷怎样达到该状态的过程无关 因此 可设想这样一种充电方式 使任何瞬间所有带电体的电荷密度都按同一比例增长 令此比例系数为m 0 m 1 即m是变量 充电开始时各处电荷密度都为零 相当于m 0 充电结束时各处电荷密度都等于其最终值 相当于m 1 由此可知 在充电过程中的任何时刻 电荷密度的增量 总静电能量 由于所有电荷按同一比例m增长 故 其中是充电终状态所对应的电位值 代入以上积分式 得 对于系统中无空间电荷 只有带电导体的情况 其电场能量可表示成 式中的面积S应为全部导体表面 由于每一导体表面都是等位面 而对于第k个导体 可有 从而总的电场能量 1 9 2静电能量的分布及其密度 上面导出了计算静电场能量的公式 而没有说明能量分布的情况 这些公式还容易给人一种印象 似乎静电能集中在电荷上 其实凡是有电场的地方 移动带电体都要作功 这说明 电场能量应储存于电场存在的空间 用场量表示静电能量 矢量恒等式 能量密度 因当时 面积分为零 故 下页 上页 返回 应用高斯散度定理 电荷积分式 电场积分式 例试求真空中体电荷密度为的介质球产生的静电能量 解法一由场量求静电能量 下页 上页 返回 解法二由场源求静电能量 电位 1 下页 上页 返回 例1 9 2原子可看成由带正电荷q的原子核被体电荷分布的负电荷云 q包围 试求原子结合能 解 例1 9 1中当时 下页 上页 返回 图1 9 2原子结构模型 例1 10试求真空中电量为Q 半径为a的孤立带电导体球的静电能量 解 我们用五种方法来计算 1 用静电能量公式计算由于导体球内场强为零 静电能量都分布在球外整个电场空间之中 电场强度 电场能量密度为 r a 所以总静电能量为 2