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第十章微分方程习题课 一 基本内容1 基本概念 微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程 微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶 微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解 通解如果微分方程的解中含有任意常数 并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 这样的解叫做微分方程的通解 特解确定了通解中的任意常数以后得到的解 叫做微分方程的特解 初始条件用来确定任意常数的条件 初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题 叫初值问题 1 可分离变量的微分方程 解法 分离变量法 2 一阶微分方程的解法 2 齐次方程 解法 作变量代换 齐次方程 其中h和k是待定的常数 否则为非齐次方程 3 可化为齐次的方程 解法 化为齐次方程 4 一阶线性微分方程 上方程称为齐次的 上方程称为非齐次的 齐次方程的通解为 使用分离变量法 解法 非齐次微分方程的通解为 常数变易法 其中 形如 5 全微分方程 注意 解法 应用曲线积分与路径无关 用直接凑全微分的方法 通解为 6 可化为全微分方程 形如 3 可降阶的高阶微分方程的解法 解法 特点 型 接连积分n次 得通解 型 解法 代入原方程 得 特点 型 解法 代入原方程 得 线性微分方程解的结构 1 二阶齐次方程解的结构 2 二阶非齐次线性方程的解的结构 二阶常系数齐次线性方程解法 n阶常系数线性微分方程 二阶常系数齐次线性方程 二阶常系数非齐次线性方程 解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法 特征方程为 特征方程为 推广 阶常系数齐次线性方程解法 二阶常系数非齐次线性微分方程解法 二阶常系数非齐次线性方程 解法待定系数法 二 例题 例1 解 原方程可化为 代入原方程得 分离变量 两边积分 所求通解为 例2 解 方程为全微分方程 1 利用原函数法求解 故方程的通解为 2 利用分项组合法求解 原方程重新组合为 故方程的通解为 3 利用曲线积分求解 故方程的通解为 例3 解 代入方程 得 故方程的通解为 例4 解 特征方程 特征根 对应的齐次方程的通解为 设原方程的特解为 原方程的一个特解为 故原方程的通解为 解得 所以原方程满足初始条件的特解为 例5 解 特征方程 特征根 对应的齐方的通解为 设原方程的特解为 解得 故原方程的通解为 即 例6 解 由题设可得 解此方程组 得 原方程为 由解的结构定理得方程的通解为 解 例7 则由牛顿第二定律得 解此方程得 代入上式得 可解得此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为 即 亦即 分析 此等式中含有积分上限函数 因此想到利用积分 上限函数
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