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文档简介
习题课 1 定积分的应用 几何方面 面积 体积 弧长 表面积 物理方面 质量 作功 侧压力 引力 2 基本方法 元素法 元素形状 条 段 带 片 扇 环 壳等 定积分的应用 第六章 表示为 一 什么问题可以用定积分解决 1 所求量U是与区间 a b 上的某分布f x 有关的 2 U对区间 a b 具有可加性 即可通过 大化小 常代变 近似和 取极限 定积分定义 一个整体量 二 如何应用定积分解决问题 第一步利用 化整为零 以常代变 求出局部量的 微分表达式 第二步利用 积零为整 无限累加 求出整体量的 积分表达式 这种分析方法称为元素法 或微元分析法 元素的几何形状常取为 条 带 段 环 扇 片 壳等 近似值 精确值 一 平面图形的面积 1 直角坐标情形 设曲线 与直线 及x轴所围曲 则 边梯形面积为A 2 极坐标情形 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 在区间 上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 所求曲边扇形的面积为 二 平面曲线的弧长 当折线段的最大 边长 0时 折线的长度趋向于一个确定的极限 即 并称此曲线弧为可求长的 则称 1 曲线弧由直角坐标方程给出 弧长元素 弧微分 因此所求弧长 2 曲线弧由参数方程给出 弧长元素 弧微分 因此所求弧长 3 曲线弧由极坐标方程给出 因此所求弧长 则得 弧长元素 弧微分 三 已知平行截面面积函数的立体体积 设所给立体垂直于x轴的截面面积为A x 则对应于小区间 的体积元素为 因此所求立体体积为 上连续 例1 求抛物线 在 0 1 内的一条切线 与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小 解 设抛物线上切点为 则该点处的切线方程为 它与x y轴的交点分别
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