代数综合题的解题方法.doc

代数综合题的解题方法米大毅 沈洪博中考试题中，代数综合题经久不衰代数综合题通常涉及数与式、方程与不等式、函数与图象、应用与探索等多方面的内容，所涉及的知识点多，覆盖面大，对数学素养要求很高要解决这类问题，除了要具有扎实的基础知识、基本技能外，还需要有敏锐的观察能力、深刻的理解能力、娴熟的运算能力以及较强的综合运用知识的能力解题过程中既要注意换元法（整体代入）、配方法、待定系数法等常见数学方法的娴熟运用，又要注意自觉运用数形结合、转化与化归、分类与整合、函数与方程等基本数学思想方法优化解题策略， 学会抓住问题的实质，理清问题的层次,对所给问题提供的信息能正确有效地进行分解、组合和加工，努力提高分析问题与解决问题的能力.例1将正偶数按下表排成5列: 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列第一行 2 4 6 8第二行 16 14 12 10第三行 18 20 22 24第四行 32 30 28 26 . . . . . .根据上面规律填空：（1）2008应在第_行第_列；（2）位于第100行第二列的数是 点拨： 不难发现不大于2008的正偶数有1004个，注意到每行4个另外通过仔细观察可以发现奇数行从左至右依次增大2，偶数行从右至左依次增大2，且第三列从上至下依次增大8解答： （1）200824=251 ， 5 ； （2）4+998+2=798.归纳： 数与式的规律性的探究题目是近几年来中考的热点题目，着重考查学生的观察、猜想、归纳等能力，要求学生有较强的数感，同时也是对学生数与式基础知识的一种检验感兴趣的同学还可以探索更具一般性的结论，如：位于第行第列的数是多少？例2某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图1）（1）求与之间的函数关系式；4003006070y(件)x(元)（2）设公司获得的总利润（总利润总销售额总成本）为元，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；根据题意判断：当取何值时，的值最大？最大值是多少？点拨： 本题把产品销售问题与函数问题有机的结合在一起第（1）问的解决需要利用待定系数法，第（2）问中，要注意条件“销售单价不低于成本价，又不高于每件70元”，进而正确的写出自变量的取值范围，并要注意它对二次函数最值的影响解答： 图1（1）（略解） （2） 其中 5070 ，0 函数图象开口向下，对称轴是直线x=75 5070，此时随的增大而增大，当时，归纳： 应用问题有若干类型，可以与每一个数学问题进行综合，解答的关键是耐心、认真地审题，明确题意，并把文字、图表等信息转化为我们熟悉的数学模型，再运用相关数学知识解决即可，当然，最后还要检查结论是否符合实际意义例3已知，如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式为，将抛物线平移后得到抛物线，若抛物线经过点（0，2），且其顶点A的横坐标为最小正整数（1）求抛物线的解析式；（2）说明将抛物线如何平移得到抛物线；（3）若将抛物线沿其对称轴继续上下平移，得到抛物线，设抛物线的顶点为B，直线OB与抛物线的另一个交点为C.当OB=OC时，求点C的坐标 图2 点拨： 本题第（1）问考查了待定系数法求二次函数的解析式，另外要注意二次函数图象的平移对二次项系数不产生影响；第（3）问中，通过仔细审题我们可以发现，原点是线段的中点，即两点关于原点成中心对称，若设顶点B的坐标为（1，m），则点C的坐标为（-1，-m），再运用方程的思想，可使问题迎刃而解解答：（1）设抛物线的解析式为.点（0，2）在抛物线上，. 抛物线的顶点的横坐标为1，. 的解析式为y = -x2 +2x+2. （2）y = -x2 +2x+2= -(x -1)2 +3，将抛物线：的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，可以得到抛物线.（答案不唯一） （3）设顶点B的坐标为（1，m），则抛物线的解析式为y = -(x -1)2 +m.OB=OC，且B、O、C三点在同一条直线上，点B与点C关于原点对称.点C的坐标为（-1，-m）.点C在抛物线上，-m= -(-1 -1)2 +m.m=2.点C的坐标为（-1，-2）.归纳： 注意函数图象的图形变换对函数解析式的影响（即形的变化对数的影响），其中第（3）问启示我们若能恰当运用图形变换的思想及方程的思想、数形结合的思想，往往能将问题化繁为简，化难为易例4已知：某函数的自变量时，其相应的函数值 （1）请写出一个满足条件的一次函数的解析式；（2）当二次函数的解析式为时，求的取值范围；（3）过动点C(0,n)作直线y轴,点O为坐标原点当直线与(2)中的抛物线只有一个公共点时, 求n的取值范围；当直线与(2)中的抛物线相交于A、B两点时，是否存在实数n，使得AOB的面积为定值? 如果存在，求出n的值；如果不存在，说明理由点拨： 本题给出函数的局部性质，要求构造符合要求的函数，具有一定的开放性，最好是利用图象，数形结合，便于快速解决问题；另外要注意二次函数图象的开口方向、顶点与对称轴是解决二次函数问题的重要突破口；第（3）问属于定值问题，下面的解答中给出了一种解法，你还能想出其他解法吗？解答： (1)(只要中,且即可).(2) 二次函数的顶点坐标是.解得. （3）直线与(2)中的抛物线只有一个公共点, n = ，n的取值范围是.结论：存在实数n，使得AOB的面积为定值. 理由如下： 由，整理，得.对于满足大于-4且小于0的任意的m值,上式恒成立,由4-,得 .当时, 对于符合题意的任意的m值,二次函数的图像都通过点（，9）和点（，9），即AOB的底，高为9，因此AOB的面积为定值.归纳： 本题要根据题目提供的函数性质多次反复的把数转化成形，结合图象特征，再把形转化成数，最后一问启示我们：变化中的不变量（定值）问