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函数模型的应用实例 习题（含答案） 一、单选题1若在区间上是增函数，则的取值范围是（ ）A B C D2已知正方形的边长为4，动点从点开始沿折线向点运动，设点运动的路程为，的面积为，则函数的图像是（ ）A B C D 3如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是( ) A B .C D 4某市出租汽车的车费计算方式如下：路程在以内（含）为元；达到后，每增加加收元；达到后，每增加加收元增加不足按四舍五入计算某乘客乘坐该种出租车交了元车费，则此乘客乘该出租车行驶路程的数可以是（ ）A B C D 5已知奇函数的定义域为，当时，则函数的图象大致为（ ）6甲用1000元人民币购买了一支股票，随即他将这支股票卖给乙，甲获利10%，而后乙又将这支股票返卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格九折将这支股票卖给了乙，在上述股票交易中A甲刚好盈亏平衡 B甲盈利1元 C甲盈利9元 D甲亏本1.1元7函数的值域为（ ） 8已知函数，则下列结论正确的是( )A是偶函数B是增函数C是周期函数D的值域为9某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为()A 15 B 40C 25 D 130二、填空题10某出租车租赁公司收费标准如下：起价费10元（即里程不超过5公里，按10元收费），超过5公里，但不超过20公里的部分，每公里按1.5元收费，超过20公里的部分，每公里再加收0.3元（1）请建立租赁纲总价关于行驶里程的函数关系式；（2）某人租车行驶了30公里，应付多少钱？（写出解答过程）11经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量 (升)与速度 (千米每小时) 的关系可近似表示为：.（）该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？（）已知两地相距120公里，假定该型号汽车匀速从地驶向地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？12某商品在近30天内每件的销售价格（元）与时间（天）的函数关系是，该商品的日销售量（件）与时间（天）的函数关系是，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天13某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)n(n1)(2n1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是_年14函数是_函数。（填“奇”、“偶”）15若函数的值域是，则函数的值域是 16已知函数满足，当时， ，当时，若定义在上的函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_17某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润（万元）与机器运转时间（年数， ）的关系为，则当每台机器_年时，年平均利润最大，最大值是_万元18近年来青海玉树多次发生地震，给当地居民带来了不少灾难，其中以2010年4月1号的7.1级地震和2016年10月17号的6.2级地震带来的灾难较大；早在20世纪30年代，美国加州理工学院的地震物理学家里克特就制定了我们常说的里氏震级，其计算公式为(其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅），那么7.1级地震的最大振幅是6.2级地震的最大振幅的 倍.三、解答题19日前，扬州下达了2018年城市建设和环境提升重点工程项目计划，其中将对一块以O为圆心，R（R为常数，单位：米）为半径的半圆形荒地进行治理改造，如图所示，OBD区域用于儿童乐园出租，弓形BCD区域（阴影部分）种植草坪，其余区域用于种植观赏植物已知种植草坪和观赏植物的成本分别是每平方米5元和55元，儿童乐园出租的利润是每平方米95元（1）设BOD=（单位：弧度），用表示弓形BCD的面积S弓=f（）；（2）如果市规划局邀请你规划这块土地，如何设计BOD的大小才能使总利润最大？并求出该最大值20某公司利用APP线上、实体店线下销售产品A，产品A在上市20天内全部售完据统计，线上日销售量f(t)、线下日销售量g(t)（单位：件）与上市时间t(tN*)天的关系满足：f(t)=10t,1t10-10t+200,10t20， g(t)=-t2+20t(1t20)，产品A每件的销售利润为h(t)=40,1t1520,15t20 (单位：元)（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）（1）设该公司产品的日销售利润为F(t)，写出F(t)的函数解析式；（2）产品A上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？21（2018天津一中高三上学期第二次月考）某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告，广告总费用不超过9万元甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为03万元和02万元设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟（）用x,y列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（）该公司如何分配在甲、乙两个电视台做广告的时间使公司的收益最大，并求出最大收益是多少?22常州地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔 t（单位：分钟）满足2t20，tN经测算，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当10t20时地铁为满载状态，载客量为1200人，当2t10时，载客量会减少，减少的人数与(10-t)的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为p(t). 求p(t)的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量； 若该线路每分钟的净收益为Q=6p(t)-3360t-360（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？23某市公园内的人工湖上有一个以点C为圆心的圆形喷泉，沿湖有一条小径AB，在AB的另一侧建有控制台O，OA和OB之间均有小径连接(小径均为直路)，且AOB=34，喷泉中心C点距离B点60米，且CB连线恰与OA平行，在小径AB上有一拍照点Q，现测得OB=402米， OQ=20米，且OQOA.(I)请计算小径AB的长度；()现打算改建控制台O的位置，其离喷泉尽可能近，在点A、B、C的位置及AOB大小均不变的前提下，请计算OC距离的最小值；()一人从小径一端A处向B处匀速前进时，喷泉恰好同时开启，喷泉开启t分钟后的水幕是一个以C为圆心，半径r=10at米的圆形区域(含边界)，此人的行进速度是v=105米/分钟，在这个人行进的过程中他会被水幕沾染，试求实数a的最小值.24某代卖店代售的某种快餐，深受广大消费者喜爱，该种快餐每份进价为8元，并以每份12元的价格销售如果当天19:00之前卖不完，剩余的该种快餐每份以5元的价格作特价处理，且全部售完（1）若这个代卖店每天定制15份该种快餐，求该种类型快餐当天的利润y（单位：元）关于当天需求量x（单位：份，xN）的函数解析式；（2）该代卖点记录了一个月30天的每天19:00之前的销售数量该种快餐日需求量，统计数据如下：日需求量121314151617天数456843以30天记录的日需求量的频率作为日需求量发生的概率，假设这个代卖店在这一个月内每天都定制15份该种快餐（i）求该种快餐当天的利润不少于52元的概率（ii）求这一个月该种快餐的日利润的平均数（精确到0.1）25已知函数且（1）若函数的图象关于直线对称，求函数在区间上的值域；（2）若函数在区间上递减，求实数的取值范围26选修4-4：坐标系与参数方程某县一中计划把一块边长为20米的等边ABC的边角地开辟为植物新品种实验基地，图4中DE需要把基地分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.（1）设AD=x(x10),ED=y，使用x表示y的函数关系式；（2）如果ED是灌溉输水管道的位置，为了节约，ED的位置应该在哪里？求出最小值.27某市一家商场的新年最高促销奖设立了三种领奖方式，这三种领奖方式如下：方式一：每天到该商场领取奖品，价值为40元；方式二：第一天领取的奖品的价值为10元，以后每天比前一天多10元；方式三：第一天领取的奖品的价值为0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。(1)若商场的奖品总价值不超过1200元，要使每种领奖方式都能单独有效进行，则促销奖的领奖活动最长设置为几天；(2)在(1)的条件下，你认为哪种领奖方式让领奖者受益更多（参考数据：210=1024）试卷第7页，总7页 参考答案1B 【解析】设则，而，则；另解：为增，则2D【解析】当在点的位置时，面积为，故排除选项.当在上运动时，面积为，轨迹为直线，故选选项.3C【解析】由题,该容器为漏斗形几何体,所以水面高度随时间的变化为先慢后快,再快最后慢的情况变化，如选项C的情况。故选C。4A【解析】根据题意可得， ，解得故选5B【解析】试题分析：由已知可得,因为时,为上凸函数,所以排除C,D选项,又时,可由向右平移两个单位得到,而与关于轴对称,所以也为上凸函数,故选B.考点：对数函数的图象.6B【解析】试题分析：依题意，甲的成本为1000元第一次交易，甲收入：（1+10%）1000=1100元；第二次交易，甲收入：-（1-10%）1000=-990元；第三次交易，甲收入：9900.9=891元甲的实际收入为：-1000+1100-990+891=1元考点：有理数指数幂的化简求值7A【解析】的定义域为则，令，则因，则 8D【解析】作出函数的图象如图，由图知知：A、B、C均不对，只有D正确；故选D【命题意图】本题考查分段函数、函数的性质、值域，意在考查数形结合思想，推理能力9C【解析】由题意，当4x=60时，x=151,10)；当2x+10=60时，x=2510，100)；当1.5x=60时，x=40100，+)；故选C点睛：注意分类讨论思想在解决本题中的应用.10(1)；(2)元.【解析】试题分析：(1)不超过公里的,按元收费,即时,，不超过公里的部分,按每公里元收费,即时,，超过公里的部分,按每公里加收元,即时,；(2)把代入求值即可.试题解析：解：（1）；（2）考点：分段函数的实际应用.11() 时每小时耗油量最低；（）当速度为时，总耗油量最少.【解析】试题分析：()分析分段函数在区间上的单调性，两个区间上的较小值即为最小值；（）设总耗油量为，由题意可知，当时，；当时，为减函数，当，取得最小值,取小即可.试题解析：() 当时，有最小值当，函数单调递减，故当时，有最小值10因，故时每小时耗油量最低.（）设总耗油量为由题意可知：当时，当且仅当，即时，取得最小值16当时，为减函数当，取得最小值10，所以当速度为120时，总耗油量最少.考点：分段函数.12第天销售额最大,最大值是元.【解析】试题分析：日销售金额等于日销售量乘以每件的销售价格,可得分段函数,在和两个区间上分别求函数的最大值,再从大中取大,为函数的最大值.试题解析：解：设日销售金额为元，则，所以当，时，元；当，时，元由，知第5天日销售额最大，最大值为1225元考点：分段函数的最值.【方法点晴】本题考查学生的是分段函数求最大值,与实际应用问题相结合,属于中档题目.题中给出的商品在近天内每件的销售价格与时间的函数关系为分段函数,因此日销售金额等于日销售量乘以每件的销售价格也为分段函数,在和两个区间上分别求函数的最大值,比较两个最大值,其中比较大的为函数的最大值,注意本题为实际应用,自变量为自然数.137【解析】由题意知第一年的产量为a1=12123=3;以后各年产量分别为an=fn-fn-1=12nn+12n+1-12nn-12n-1=3n2,令3n2150，解得1n521n7，故这条生产线拟定最长的生产期限是7年。14奇【解析】【错解分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：从而得出函数为非奇非偶函数的错误结论。【正解】由函数的解析式知x满足即函数的定义域为定义域关于原点对称，在定义域下易证即函数为奇函数。【点评】（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。（2）函数具有奇偶性，则是对定义域内x的恒等式。常常利用这一点求解函数中字母参数的值。15 【解析】可以视为以为变量的函数，令，则，所以，在上是减函数，在上是增函数，故的最大值是，最小值是216【解析】当时，则，故；当时，则，故；当时，则，又因为，所以，则。所以， ，画出函数在区间上的图像与函数的图像，由于直线是过定点斜率是的动直线，数形结合可知：当与相切时，即方程有唯一解，可求得，故结合图像可知：当时，函数在区间上的图像与直线的图像有且只有三个不同的交点，即定义在上的函数有三个不同的零点，应填答案。点睛：解答本题的关键是充分运用题设条件先将函数在区间上的解析表达式求出来，再画出其图像数形结合，从而将问题转化为方程有唯一解，可求得，通过数形结合，求得当时，函数在区间上的图像与直线的图像有且只有三个不同的交点，即定义在上的函数有三个不同的零点。17 5 8【解析】 当且仅当时，等号成立，当时， ，即机器运转年时，年平均利润最大为万元/年故答案为(1). 5 (2). 8点睛：本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，注意取等条件. 18【解析】试题分析：由题，则，则，则，即，所以.考点：对数的运算.19(1)见解析;(2)当园林公司把扇形的圆心角设计成23时，总利润取最大值12R2（503-653）.【解析】分析：根据弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积，即可求解弓形的面积；（2）由题意列出函数的关系式，利用导数判断函数的单调性，即可求解最大值详解：（1）S扇=R2，SOBD=R2sin，S弓=f（）=R2（sin），（0，）（2）设总利润为y元，儿童乐园利润为y1元，种植草坪成本为y2元，种植观赏植物成本为y3元；则y1=R2sin95，y2=R2（sin）5，y3=R2（）55，y=y1y2y3=R2（100sin+5055）， 设g（）=100sin+5055，（0，）g（）=100cos+50 g（）0，cos，g（）在（0，）上为减函数；g（）0，cos，g（）在（，）上为增函数；当=时，g（）取到最大值，此时总利润最大，此时总利润最大：y=R2（100sin+5055）=R2（50）（求最值时，如不交代单调性或者列表，扣2分）答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润取最大值R2（50）点睛：本题考查了导数在实际问题中的应用，解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值等问题，试题属于中档试题，其中正确读懂题意，列出函数关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的的能力20(1) F(t)=40(-t2+30t),1t1040(-t2+10t+200),10t1520(-t2+10t+200),15t20.(2)第5天至第15天该公司日销售利润不低于元【解析】【分析】（1）由题意分类讨论，分别求得销售量，然后与相应的利润相乘可得利润函数的解析式为 （2）结合(1)中的利润函数分类讨论求解二次不等式可得第5天至第15天给该公司带来的日销售利润不低于元【详解】（1）由题意可得：当时，销售量为，销售利润为：；当时，销售量为，销售利润为：；当时，销售量为，销售利润为：；综上可得： （2）当时，由，解得；当时，由，解得；当时，由，无解故第5天至第15天给该公司带来的日销售利润不低于元【点睛】本题主要考查了实际问题中函数的应用，及分段函数的意义，最值的求法等，属于难题.处理此类题目要点是先根据题意正确写出分段函数解析式，然后分别求每段的最值，最后比较一下那个是函数的最值.21(1)详见解析(2) 该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告使公司的收益最大，最大收益是70万元【解析】试题分析：（I）根据广告费用和收益列出约束条件，作出可行域；（II）列出目标函数z=3000x+2000y，根据可行域判断最优解的位置，列方程组解出最优解得出最大收益试题解析：（I）设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，则x，y满足的数学关系式为x+y300,500x+200y90000,x0,y0,该二次元不等式组等价于x+y300,5x+2y900,x0,y0,做出二元一次不等式组所表示的平面区域（II）设公司的收益为z元，则目标函数为：z=3000x+2000y考虑z=3000x+2000y，将它变形为y=-32x+12000z.这是斜率为-32，随z变化的一族平行直线，当截距12000z最大，即z最大.又因为x,y满足约束条件，所以由图可知，当直线y=-32x+12000z经过可行域上的点A时，截距12000z最大，即z最大.解方程组x+y=300,5y+2y=900，得A(100，200),代入目标函数得zmin=3000100+2000200=700000.答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告使公司的收益最大，最大收益是70万元.22（1）1040；（2）120【解析】【分析】（1）根据题意得到p(t)的解析式即可，然后根据解析式可得当发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量；（2）由题意得到净收益为Q的表达式，然后根据求分段函数最值的方法得到所求的最值【详解】（1）由题意知p(t)=1200-k10-t2,2t101200,10t20，tN，（k为常数），p2=1200-k10-22=1200-64k=560，k=10，p(t)=1200-1010-t2,2t101200,10t20=-10t2+200t+200,2t101200,10t20， p(6)=1200-1010-62=1040，故当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量1040人（2）由Q=6p(t)-3360t-360，可得Q=6(-10t2+200t+200)-3360t-360,2t103840t-360,10t20=840-60t+36t,2t103840t-360,10t20，当2t10时，Q=840-60t+36t840-6012=120，当且仅当t=6时等号成立； 当10t20时，Q=7200-3360t-360384-360=24，当t=10时等号成立， 当发车时间间隔为t=6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元答：当发车时间间隔为t=6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元.【点睛】（1）本题考查分段函数模型在实际中的应用，对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小后可得分段函数的最值（2）在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值23()AB=405千米；()2010-20；()4.【解析】分析：(I) 以O为坐标原点， AO所在直线为x轴，过O且垂直于AO的直线为y轴，建立平面直角坐标系，由题意可知B(40,40)，Q(0,20)，则AB所在直线即可表示，即可求出A点坐标，从而得出答案；()O、A、B三点共圆，可求圆的方程为(x+20)2+(y-60)2=4000， C(-20,40)，则OC距离最小值为圆心与C之间的距离减去半径；() 因为C在B的正西方向，且CB=60千米，所以C(-20,40). 假设在t(0t4)时刻人所在的位置为M，所以M(20t-40,10t)，则可表示CM2，又在t(0t4)时， r2=100at，欲使这个人行进的过程中会被水幕沾染，则存在t(0,4)，使得r2CM2，化简即可得出答案.解析：(I)以O为坐标原点， AO所在直线为x轴，过O且垂直于AO的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由OB=402千米， AOB=34，可知B(40,40)，直线OB的方程为y=x，Q(0,20).所以直线AB的方程为y=12x+20，令y=0，得A(-40,0)，所以，AB=405千米；() O、A、B三点共圆，可求圆的方程为(x+20)2+(y-60)2=4000，C(-20,40)，则OC距离最小值为2010-20 (此时点O为直线x=-20与点A及坐标原点之间劣弧的交点)；()因为C在B的正西方向，且CB=60千米，所以C(-20,40).人从A行驶到B所需要的时间为405105=4 (分钟)，假设在t(0t4)时刻人所在的位置为M，则AM=105t千米，所以M(20t-40,10t)，则CM2=(20t-20)2+ (10t-40)2=100 (5t2-16t+20).又在t(0t15,xN；（2）（i）0.7；（ii）53.5【解析】分析：（1）根据题意结合分段函数的知识可得结论（2）由（1）及题意先得到利润及对应的天数的统计表（i）由表可得利润不少于52元包括利润为53元、60元两种情况，然后根据古典概型求解（ii）根据平均数的定义求解详解：（1）由题意得当x15时，y=415=60；当x15,xN （2）由题意可得该种快餐的利润情况如下表：天数45615利润39465360（i）该种快餐当天的利润不少于52元的概率为P=6+1530=0.7（ii）这一个月该种快餐的日利润的平均数为439+546+653+15603053.5（元）点睛：本题以实际问题为载体考查概率统计的有关问题，难度中等，解题的难点是对题意的理解，因此解答类似问题时要认真读懂、理解题意，然后按照要求结合相关知识进行求解25(1)；(2).【解析】试题分析：(1)因为对称轴为,所以,解得,又因为,解得,所以,在处取到最大值,在处取到最小值；(2)因为在单调递增,在上单调递减,所以,即,再由,可得,可视为关于的一次函数,求得.试题解析：解：（1），函数在区间上的值域为（2）函数在区间上递减，又，考点：1.二次函数的值域；2.二次函数的单调性.【方法点晴】本题考查学生的是二次函数的图象和性质,属于中档题目.首先函数的开口方向向下,由对称轴为求出值,再根据求出值,从而得出函数