九年级上数学《24.1.2 垂直于弦的直径》课件.ppt

回顾 圆 1 填空 1 圆的定义是什么 根据圆的定义 圆 指的是 是线 而不是 圆面 2 圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件 圆心决定圆的 半径决定圆的 二者缺一不可 3 同一个圆的半径相等 圆周 曲 位置 大小 处处 2 回忆弦的概念 过圆上一固定点可以作圆的最长弦有 条 A 1B 2C 3D 无数条 A 3 回忆弧的概念 问题情境 你知道赵州桥吗 它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶 它的主桥是圆弧形 它的跨度 弧所对的弦的长 为37 4m 拱高 弧的中点到弦的距离 为7 2m 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗 新课导入 把一个圆沿着它的任意一条直径对折 重复几次 你发现了什么 由此你能得到什么结论 活动一 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 O A B C D E 是轴对称图形 直径CD所在的直线是它的对称轴 大胆猜想 已知 在 O中 CD是直径 AB是弦 CD AB 垂足为E 下图是轴对称图形吗 活动二 为什么 你能发现图中有那些相等的线段和弧 为什么 O A B C D E 线段 AE BE 活动二 为什么 大胆猜想 连接OA OB 则OA OB 在Rt OAM和Rt OBM中 OA OB OM OM Rt OAM Rt OBM AM BM 点A和点B关于CD对称 O关于直径CD对称 当圆沿着直径CD对折时 点A与点B重合 验证猜想 叠合法 看一看 AE BE AE BE CD AB CD是直径 AE BE O A B C D E 老师提示 垂径定理是圆中一个重要的定理 三种语言要相互转化 形成整体 才能运用自如 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 下列图形是否具备垂径定理的条件 是 不是 是 不是 深化 1 在 O中 弦AB的长为8cm 圆心O到AB的距离为3cm 求 O的半径 O A B E 解 答 O的半径为5cm 练习 2 如图 在 O中 AB AC为互相垂直且相等的两条弦 OD AB于D OE AC于E 求证四边形ADOE是正方形 证明 四边形ADOE为矩形 又 AC AB AE AD 四边形ADOE为正方形 练习 你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗 实践应用 37 4m 7 2m A B O C D 关于弦的问题 常常需要过圆心作弦的垂线段 这是一条非常重要的辅助线 圆心到弦的距离 半径 弦构成直角三角形 便将问题转化为直角三角形的问题 解 如图 用AB表示主桥拱 设AB所在的圆的圆心为O 半径为r 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D 与AB交于点C 则D是AB的中点 C是AB的中点 CD就是拱高 AB 37 4m CD 7 2m AD 1 2AB 18 7m OD OC CD r 7 2 解得r 27 9 m 即主桥拱半径约为27 9m 弓形的弦长为6cm 弓形的高为2cm 则这弓形所在的圆的半径为 cm 练习 在以O为圆心的两个同心圆中 大圆的弦AB交小圆于C D两点 求证 AC BD 证明 过O作OE AB 垂足为E 则AE BE CE DE AE CE BE DE 所以 AC BD E 随堂练习 CD是直径 AB是弦 CD AB 直径过圆心 垂直于弦 平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 垂径定理 将题设与结论调换过来 还成立吗 这五条进行排列组合 会出现多少个命题 直径过圆心 平分弦 垂直于弦 平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的推论1 1 如何证明 探究 已知 如图 CD是 O的直径 AB为弦 且AE BE 证明 连接OA OB 则OA OB AE BE CD AB 一个圆的任意两条直径总是互相平分 但它们不一定互相垂直 因此这里的弦如果是直径 结论不一定成立 O A B M N C D 注意 为什么强调这里的弦不是直径 直径过圆心 平分弦所对优弧 平分弦 垂直于弦 平分弦所对的劣弧 垂径定理的推论1 2 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 直径过圆心 平分弦所对的劣弧 平分弦 平分弦所对优弧 垂直于弦 垂径定理的推论1 2 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 垂直于弦 平分弦 直径过圆心 平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧 3 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的推论1 垂直于弦 平分弦所对优弧 直径过圆心 平分弦 平分弦所对的劣弧 推论1的其他命题 垂直于弦 平分弦所对的劣弧 直径过圆心 平分弦 平分弦所对优弧 4 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心 并且平分弦和所对的另一条弧 平分弦 平分弦所对优弧 直径过圆心 垂直于弦 平分弦所对的劣弧 5 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心 垂直于弦 并且平分弦所对的另一条弧 平分弦 平分弦所对的劣弧 直径过圆心 垂直于弦 平分弦所对优弧 平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧 直径过圆心 垂直于弦 平分弦 6 平分弦所对的两条弧的直径过圆心 并且垂直平分弦 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说 如果具备 1 过圆心 2 垂直于弦 3 平分弦 4 平分弦所对的优弧 5 平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论 结论 C D A B E 作法 1 连结AB 小练习 A B C D E 作法 1 连结AB 3 连结AC 5 点G同理 A B C 作AC的垂直平分线 作BC的垂直平分线 这种方法对吗 等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线 C A B O 作法 1 连结AB 3 作AC BC的垂直平分线 4 三条垂直平分线交于一点O 你能破镜重圆吗 A B C m n O 作弦AB AC及它们的垂直平分线m n 交于O点 以O为圆心 OA为半径作圆 作法 依据 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 你能用一句话概括一下吗 垂径定理的推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 两条弦在圆心的同侧 两条弦在圆心的两侧 垂径定理的推论2有这两种情况 垂径定理三角形 d h r r 有哪些等量关系 在a d r h中 已知其中任意两个量 可以求出其它两个量 课堂小结 1 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 2 垂径定理 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分这条弦所对的两条弧 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 并且平分弦和所对的另一条弧 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 垂直于弦 并且平分弦所对的另一条弧 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心 并且垂直平分弦 3 垂径定理的推论 经常是过圆心作弦的垂线 或作垂直于弦的直径 连结半径等辅助线 为应用垂径定理创造条件 4 解决有关弦的问题 1 判断 1 垂直于弦的直线平分这条弦 并且平分弦所对的两弧 2 平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧 3 经过弦的中点的直径一定垂直于弦 4 圆的两条弦所夹的弧相等 则这两条弦平行 5 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧 随堂练习 2 已知P为 O内一点 且OP 2cm 如果 O的半径是3cm 那么过P点的最短的弦等于 cm 3 一条公路的转变处是一段圆弧 即图中弧CD 点O是弧CD的圆心 其中CD 600m E为弧