清北学堂数学联赛考前练习题一套.doc

2012年高中数学奥林匹克模拟真题（六）一、填空题（每题8分，共8题）1若，则 . 2、在平面直角坐标系内，将适合且使方程没有实数根的点所成的集合记为，则由点集N所成区域的面积为 。 3设函数，且对任意，则=_； 4若集合中的每个元素都可表为中两个不同的数之积，则集中元素个数的最大值为 ； 5、在四面体ABCD中则AD与BC所成的角为 。6、若为锐角，且则的最大值为 。 7已知、是三棱锥内的四点，且、分别是线段、的中点，若用表示三棱锥的体积，其余的类推则 8、已知双曲线以两坐标轴为对称轴，焦点在轴上，实轴长为，又双曲线上任一点到点的最短距离为，则该双曲线的离心率的取值范围是 二：解答题：（第9题16分。20，21题20分）。9对于正整数，定义为集合中元素个数的最小值，集合满足最小的元素，最大的元素，且对于异于1的每个元素都是中两个元素的和（可以相同）证明： 有无穷多个，使得 10、椭圆（为锐角）的焦点在轴上，A是它的右顶点，这个椭圆与射线的交点为B，以A为焦点，且过点B，开口向左的抛物线的顶点为，当椭圆的离心率时，求m的取值范围。 11、用表示非空整数集S中所有元素的和，设是正整数集，且，若对每个正整数，存在A的子集S，使得，试求满足上述要求的的最小值。二试一、 （满分40分）以锐角ABC的两边AB、AC为直径向ABC外各作一个半圆，AHBC交BC于H，点D是BC边上任意一点 (不是端点)，过点D作DEAC, DFAB，分别交两个半圆于点E、F求证：D、E、F、H四点共圆二、（满分40分）设a1, a2, a3, a4是一个四边形的四条边的长, 该四边形的周长为2s. 证明: 三、（满分50分）试求最小的正整数使得对于任何个连续正整数中，必有一数，其各位数字之和是7的倍数. 四数列定义如下：求所有的整数，使得数列中的每一项都是完全平方数.2012年高中数学奥林匹克模拟真题（六）答案1.答： .解：由条件得，则.2.解答：令，原方程化为 所给方程没有实根等价于方程无实根或有实根但均为负根，所以，或点集N所成区域为图中阴影部分，其面积为3.解：=即。4. 答：.解：从中每次取一对作乘积，共得个值，但其中有重复，重复的情况为，共种，因此集合中至多有 个数 .5.解答：60，可证为直角三角形且，又AB=AC=AD=1，故A在面BCD内的射影即为之外心，而为直角三角形，故其射影即为BD中点O，在面BCD内作它们交于，则且故为正三角形，于是AD与BC所成之角即为AD与所成的角等于。6.解答：由故同理：故 故7. 解：记为点到平面的距离其余类推设 ， ， 设延长后交平面于则 ，又， 同理， 8.解答： 设双曲线方程为则因，故又因从而而及解不等式得又因令则因在上是递增函数，故9. 证明：（1）对于，设，则中有个元素，且故或。于是，或，即假设，则所以，故（2）由（1）可知，若中有个元素，则所以，当时，对于集合和集合均有个元素，且满足条件，所以，10.解答：如图所示，椭圆的焦点在轴上，故于是， 即设抛物线方程为由得，因B在抛物线上，故。整理后有：设得，在有解，因对称轴故11.解答：令若则不存在，使所以 （1）又由题设得 ，于是由（1）及归纳法易得若，则（否则750无法用表示出），所以又于是，所以另一方面，令当时，可找到，使当时，存在，使当时，存在，使当时，存在，使于是，的最小值为248。二试答案一、 证明 设DE与AB交于点P，DF与AC交于Q将以AC为直径的半圆补成圆，并设DF和它的另一个交点为F1，连结AF1、BE、CF = = ， P、Q是半圆AEB和半圆CF1A中处于相同位置的点又 APE = A = CQF1， PE、QF1是上述两个半圆中处于相同位置的线段 BPECQF1， BEP = AF1Q由此 A = APE = ABE + BEP = ABE + AF1Q = ABE + ACF，即 A = ABE + ACF 另一方面，由A、E、B、H四点共圆及A、F、C、H四点共圆知EHF = EHA + AHF = ABE + ACF 由、 便得 EDF = A = EHF从而D、E、F、H 四点共圆证2：延长EA交DF于F，连结FH FEH = FEH = ABC E、D、H、F 四点共圆 EDB = EFH = AFH又 EDB = ACH， AFH = ACH A、H、C、F 共圆又 A、H、C、F 共圆，D、F、F 共线， F = F D、E、H、F 四点共圆二、证明：设，则又 原式 (1)令，则(1)又只须证：上式显然成立。三解：首先，我们可以指出12个连续正整数，例如994，995，999，1000，1001，1005，其中任一数的各位数字之和都不是7的倍数，因此，。再证，任何连续13个正整数中，必有一数，其各位数字之和是7的倍数.对每个非负整数，称如下10个数所构成的集合:为一个“基本段”，13个连续正整数，要么属于两个基本段，要么属于三个基本段。当13个数属于两个基本段时，据抽屉原理，其中必有连续的7个数，属于同一个基本段；当13个连续数属于三个基本段时，其中必有连续10个数同属于.现在设 是属于同一个基本段的7个数，它们的各位数字之和分别是显然，这7个和数被7除的余数互不相同，其中必有一个是7的倍数.因此，所求的最小值为四解：从特殊情形入手，设是满足条件的整数.令，则，若，则；若，则，令，由于，所以为一组本原勾股数组，即存在，使得，两边模2和4可知，为偶数，为奇数，且.结合，令，则，即，因此必为，(1)若c-2d=1，则d+2d+1=d+c，(d+1)=(d)+c不定方程x+y=z没有 xyz0的整数解，d+1，d，c中必有一个为零，d+10， d=0，c=1， u=0 t=0 n=0 a=0，与a0矛盾 .(2) 若c-2d=-1，则：d-2d+1+c=d，即(d-1)=(d)-c 不定方程x-y=z没有 xyz0的整数解， d-1，d，c至少中有一个为零，若d=0，或 c=0，则式不成立，故只有d-1=0. d=1，c=1 u与u+1必为c和2d， u=1 t=1 n=2 (n+m)-2n=1， m=1由知a=1，k=2a213，综上可知，k=1或k=3即k=1或3时y3，y4是平方数。下面证明k=1或3时任意y均是平方数：当k=1时，yn2=y-y+2y：1,1,0,1,1,0,各项都是完全平方数。当k=3时，y=7y-y-2.方法一：利用三阶递推，求出y，再用数学归纳法证明它们都是完全平方数。方法二，构造数列：f=f=1，f=f+f，n=1,2,性质1：当n为奇数时，ff(f)=1。简证：左边。性质2：f=3f-f.：1,1,2,3,