高等代数论文.doc

莆田学院数学与应用数学系“高等代数选讲”课程论文题目： 小论矩阵的对角化姓名： 刘文娟学号：410401210莆田学院数学与应用数学系数学与应用数学专业2004级 2007年6 月 22 日小论矩阵的对角化刘文娟 042数本 410401210摘要：对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种，这里讨论阶矩阵对角化的一些判定条件（充要条件）及几种常用矩阵的对角化问题。关键词：可对角化 特征值 特征向量 不变因子 初等因子 最小多项式 矩阵的秩 特征多项式 循环矩阵定义：数域上方阵，如果能与一个上的对角方阵相似，则在可对角化。判定1：可对角化的充要条件是：有个线性无关的特征向量。判定2：设方阵的全部不同的特征根为而为的一个基础解系（从而是属于的一极大无关特征向量组），可对角化的充要条件是： 判定3：设为方阵的全部不同的特征根，且分别为重根，可对角化的充要条件是：对每个都有： 证明：充分性 设， 则齐次线性方程组的基础解系含个向量，但由于分别为重根，从而故可对角化。必要性 设必有个线性无关的特征向量，但由于，故每个次线性方程组的基础解系必含个向量，从而， 判定4：数域上方阵与对角矩阵相似的充要条件是：的最小多项式是上互素的一次因式的乘积。判定5：复数域上矩阵与对角矩阵相似的充要条件是：的最小多项式没有重根。即的最后一个不变因子无重根。证明： 假设相似与对角矩阵，因为相似矩阵具有相同的最小多项式，我们只要证明对角矩阵的最小多项式无重根即可。由于分块对角矩阵的最小多项式等于各块最小多项式的公倍式，对于对角矩阵而言，等于主对角线上一次式的最小公倍式，显然，这个多项式无重根子。 反之，设的最小多项式无重根，因为最小多项式是矩阵的最后一个不变因子，故前面的不变因子无重根（它们都是最后一个不变因子的因子），于是的初等因子全是一次式，即的若当块都是一阶的。这就证明了相似与对角矩阵。判定6：复数域上矩阵与对角矩阵相似的充要条件是：的初等因子是一次的。即的每一个若当尔块皆是一级的。判定7：为复数域，与对角矩阵相似的充要条件是：对于任意的，与有相同的秩。证明：设与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵，使 所以任意，有因此与等秩，由可逆知：与有相同的秩。反之，设对每个，与有相同的秩，由于，故可与若当形矩阵相似，即存在可逆矩阵，使 其中为若当块，若某个不是对角形（即不是一级的），不妨设为，即 故由此可知的秩小于的秩，因而的秩小于的秩，进而的秩小于的秩，与已知矛盾。故每个是对角形，从而为对角形判定8：矩阵=（杨：数量矩阵吗）的充要条件是的不变因子组（杨：这种称呼的来源？）中无常数。证明： 必要性显然 下证充分性 若的不变因子无常数，则只能为， 因此相似于对角矩阵，且主对角线上的元素全是，即存在可逆矩阵， 判定9：设 为方阵，是的特征多项式，并令 则与一对角矩阵相似的充要条件是：证明：必要性 由与对角矩阵相似，其最小多项式无重根，且取的所有根，又无重根且与的根相同，故因而充分性 由知从而无重根，与对角矩阵相似。性质1：一个矩阵是否可对角化（即与一个对角矩阵相似）同数域的大小有关。 例如：二阶方阵 在实数域不可对角化，但在复数域上却可以对角化，因此此时它与对角矩阵 相似 事实上，取 即有判定10：设为一个复矩阵，是的特征多项式，可对角化的充要条件是：若是的重根，则秩证明：必要性 由条件可知，存在可逆矩阵，使 而是的重根，因而在中有个，故矩阵 的主对角线上有个零，从而秩充分性 由是的根，即是的特征值，由条件知，存在可逆矩阵，使 ，设的对角线元素为，而不以为特征值，则 故秩从而由于是任意的，故为对角矩阵。性质2：设是数域上的阶可逆矩阵，则以下条件等价： 与对角矩阵相似 与对角矩阵相似 与对角矩阵相似证明： 设，且与相似，则存在可逆矩阵，使得，即也与对角矩阵相似。，设，且与相似，则存在可逆矩阵，使于是有：进而有：即也与对角矩阵相似。，设，且与相似，设可逆矩阵，使，可逆，而，因此，即与对角矩阵相似。性质3：任何循环矩阵在复数域上都可对角化。证明： 令，且 ，其中为全部的次方根。则由于可逆，从而可与对角矩阵相似，即可对角化。判定11：设为任意一阶方阵，在复数域上可与对角化的充要条件是： 与某个循环矩阵相似。证明： 充分性由性质3可知。 下证必要性。 设可对角化，则存在满秩矩阵，使 现在令如上性质3中证明所设的，且令，则由于可逆，故线性方程组有唯一解，设为从而由此可得； 其中 再令，于是由上 知，有 从而，即与循环矩阵相似 。几种常用矩阵的对角化问题。1设 不是零方阵 ，若，则可对角化（杨：结论正确吗？）。 证明：设 相似于对角矩阵，即存在可逆矩阵，使，但由于，从而有 于是，从而与矛盾。2若矩阵适合，则必可对角化。（杨：更一般：？）证明：的特征值，因此为1或-1，现在来证明有个线性无关的特征向量，已知，知，因此对特征值1，齐次线性方程组有个线性无关的解，而对特征值-1，同理有个线性无关的解，再由于属于不同特征值的特征向量线性无关。所以有个线性无关的特征向量，因此可对角化。3若矩阵，适合，则必可对角化。（杨：更一般：？）证明：的特征值为1或0，也有，同上2类似方法可得。4设是一个下三角矩阵，证明： 若则可对角化。 若，而至少有一个则不可对角化。 证明：设显然的特征值为，如果，即有 个互不相同的特征根，从而可对角化。证明：设，且至少有一个若与对角矩阵相似，由于相似矩阵有相同的特征根，而的特征值为（重根），故也为 且存在可逆矩阵，使这与至少有一个矛盾，故不可对角化。参考文献：1高等教育出版社，主编：李师正，高等代数解题方法与技巧2复旦大学出版社，姚慕生编，高等代数学3高等教育出版社，北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，高等代数4山东科学技术出版社，杨子胥编，高等代数习题解5复旦大学出版社，姚慕生编，高等代数杨：收