chapt7-4_参数的区间估计.ppt

一 置信区间和置信度 二 单个正态总体均值和方差的置信区间 三 两个正态总体均值差的置信区间 四 两个正态总体方差比的置信区间 五 大样本场合下p和 的区间估计 不讲 第四节参数的区间估计 为了解估计值的精确度 需要对 的取值估计出一个范围 为了解其可靠性 需要知道这个范围包含参数 的真值的可靠程度 这样的范围通常以区间的形式给出 这就是所谓区间估计问题 一 置信区间和置信度P170 X1 X2 Xn为X的样本 对于事先给定的 0 1 1 定义 为1 的置信区间的置信下限和置信上限 1 称为置 信度 真值的概率为1 2 关于区间估计的几点说明 是统计量 即是随机区间 而 是一个客观存 在的未知数 所以确切的理解是随机区间包含 内的概率为1 这种理解不够确切 因为和都 例如 对总体取100个容量为n的样本观察值 可得到100个 0 05 应理解为 数 的真值 还有大约5 个不包含 的真值 1 置信区间的长度反映了估计的精确度 置信区间长度越小 估计的精确度越高 2 置信度1 反映了估计的可靠度 1 越大越可靠 但是 若提高可靠度就会降低精确度 提高精确度就会降低可靠度 先保证可靠度 置信度 1 再选置信区间中长度最小的那个以提高精确度 处理原则 注 求置信区间的步骤 1 明确问题 确定要求的是哪一个参数的置信区间 置信度是多少 2 构造一个有确定分布的样本的函数 它含有待估参数但不含其它未知参数 3 根据随机变量的分布 对给定的置信度1 定出常数a b 使得 得到如下形式 得置信区间 一个正态总体时 回顾 二 单个正态总体均值和方差的置信区间 1 方差 2已知 的置信度为1 的置信区间是 设总体X N 2 X1 X2 Xn是取自X的样本 样本均值样本方差S2 P171 2 方差 2未知 的置信度为1 的置信区间是 P172 1 总体均值的估计 从而得 于是得 的置信区间为 也可简记为 1 推导 N 0 1 对给定的置信水平1 查正态分布表得则 2 推导 从而得 于是得 的置信区间为 也可简记为 对给定的置信水平1 查t分布表得则 1 当 已知时 方差 2的置信度为1 的置信区间是 2 总体方差的估计 2 当 未知时 方差 2的置信度为1 的置信区间是 P173 P173 注 标准差 的置信度为1 的置信区间只要再开根号即可 1 推导 所以 2的置信度为1 的置信区间为 2 推导 所以 方差 2的置信度为1 的置信区间是 总结 单个正态总体X N 2 1 方差 2已知 一 总体均值的估计 2 方差 2未知 二 总体方差的估计 2 未知 1 已知 例1 已知幼儿身高服从正态分布 现从5 6岁的幼儿中随机地抽查了9人 其高度分别为 115 120 131 115 109 115 115 105 110cm 假设标准差 7 试求总体均值 的置信度为0 95的置信区间 解 又 由给定数据算得 所以 总体均值 的置信度为0 95的置信区间是 已知时 的置信度为的置信区间是 例1 作业13 解 已知时 的置信度为0 99的置信区间是 又 由给定数据算得 所以 总体均值 的置信度为0 99的置信区间是 同理可计算 的置信度为0 90的置信区间 又 得 的置信度为0 95的置信区间为 例2 作业14 解 1 2未知 的置信度为0 95的置信区间是 查表得 2 未知 方差 2的置信度为0 95的置信区间为 所以 方差 2的置信度为0 95的置信区间是 计算 例2 某工厂生产一批滚珠 其直径X服从正态分布 解 N 2 现从某天的产品中随机抽取6件 测得 1 求 的置信区间 2 求方差 2的置信区间 置信度均为0 95 直径为 15 1 14 8 15 2 14 9 14 6 15 1 1 因为 2未知时 的置信度为0 95的置信区间是 由给定数据算得 又查表得 计算 得 的置信度为0 95的置信区间为 查表得 2 未知 方差 2的置信度为0 95的置信区间为 又 所以 方差 2的置信度为0 95的置信区间是 两个正态总体时 其中 三 两个正态总体期望差的置信区间 1 方差 12 22已知时 1 2的置信度为1 的置信区间是 且两总体相互独立 两正态总体 2 未知但时 1 2的置信度 为1 的置信区间是 其中 P175 P176 1 推导 N 0 1 由 解得 从而得 1 2的置信度为1 的置信区间是 解得 1 2的置信度为1 的置信区间是 由 2 推导 已知 四 两个正态总体方差比 的置信区间 1 2未知 的置信度为1 的置信区间是 P177 由 解得 从而得的置信度为1 的置信区间是 推导 例3 某食品加工厂有甲 乙两条加工猪肉罐头的生产线 设罐头质量服从正态分布 从甲生产线抽取10只罐头 测得平均质量 已知标准差 1 5 g 从乙生产线抽取20只罐头 测得平均质量 已知标准差 2 4 g 求甲 乙生产线的罐头的平均质量差 1 2的置信度为0 99的置信区间 解 故 1 2的置信度为1 的置信 由 1 5 g 2 4 g 又 已知 区间是 所以 1 2的置信度为0 99的置信区间是 1 2的置信度为1 的置信区间是 例4 作业16 解 由未知 但 可知 由给定数据算得 其中 所以 1 2的置信度为0 95的置信区间是 计算 又 计算 例5 作业17 解 的置信度为1 的置信区间是 例5 某食品处理前取样分析其含脂率为 0 19 0 12 0 18 0 30 0 21 0 27 0 30 0 42 0 66 0 08 处理后取样分析其含脂率为 0 15 0 04 0 13 0 08 0 00 0 20 0 07 0 12 0 24 0 13 0 24 假如处理前后的含脂率均服从正态分布 且方差不变 试求处理前后的含脂率期望之差 1 2的置信度为0 95的置信区间 1 2的置信度为1 的置信区间是 解 由未知 但 可知 由给定数据算得 所以 1 2的置信度为0 95的置信区间是 计算 又 解 例5 设X N 1 12 Y N 2 22 且X和Y相互独立 分别在X Y中取容量为n1 13 n2 10的样本 测得样本方差分别为S12 8 41 S22 5 29 求方差比的置信度为0 90的置信区间 的置信度为1 的置信区间是 计算 五 大样本场合下p和 的区间估计 1 大样本场合下概率p的置信度为1 的置信区间为 考虑非正态总体情况下的区间估计问题 大样本场合要求样本容量 指n次独立试验中 事件A发生的次数 其中 p指事件A发生的概率 2 大样本场合下总体均值 的置信度为1 的置信区间为 1推导 由中心极限定理知 当n充分大时 统计量 近似 将p的估计值代入 得p的置信度为1 的置信