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3逐次超松弛迭代法 SOR方法 Byalex 1 2 3 例1方程组 4 图表6 1 图表6 2 5 从表6 2得到 算法6 3应用SOR方法解方程组 6 3 2SOR方法的收敛性 现在 我们来讨论逐次超松弛迭代法的收敛性问题 证明由 3 5 式 有 7 证明 8 9 3 3相容次序 性质A和最佳松弛因子 10 注意 例3 定义3 11 例4 图6 1 12 在每一个内部结点上 我们用二阶中心差代替问题 3 7 中的二阶导数 则有 13 3 9 图6 2 14 由于边界结点上问题 3 7 的解的值已知为 3 10 因此方程组 3 10 可写成 15 3 11 或写成 3 12 方程组 3 12 的系数矩阵是强优对角的 因而是非奇异的 因此方程组 3 12 有唯一解 我们可以将它的分量作为问题 3 7 的数值解 即问题 3 7 的解在内部结点处的近似值 16 3 9 是常用的所谓五点格式 参见图6 3 注意 图6 3 17 例如 图6 4 18 定理4若矩阵且具有相容次序 则它必具有性质A 19 20 定理6 证明 21 充分性 在例4中 如果将图6 2的结点编号2与5对调 那么得到的方程组的系数矩阵是 22 它具有 3 13 的形式 这个矩阵实际上又是交换方程组 3 12 的系数矩阵 具有性质A 的 第2行与第5行 第2列与第5列得到的 因此排列矩阵 定理7 定理8 23 证明 24 定理9 证明 25 据定理8有 26 引理 3 20 27 的根的模小于l的充分必要条件是 3 21 证明 28 定理10 29 证明 30 定理11 3 23 那么 3 24 证明 31 3 25 32 现在证明 3 27 33 34 从而 由 3 25 和 3 27 式 有 故 3 24 式成立 35 3 29 而且 以及 3 30 而且 由 3 24 式 显然有 3 31 36 因子为 例5方程组 的系数矩阵 37 表一 表二 38 3 4SOR方法的收敛速度 定理12 3 35 39 证明 1 在定理12的假设下 据定理11显然有 3 36 因此 40 3 34 左边不等式得证 另一方面
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