数学2.2二次函数的性质与图象新人教B版必修ppt课件.ppt

2 2 2二次函数的性质与图象 知识整合 1 定义函数 叫做二次函数 它的定义域为 2 性质 1 函数的图象是一条 它的顶点坐标为 它的对称轴为 2 当 时 抛物线开口向上 函数在 处取得最小值 在区间 上是减函数 在区间 上是增函数 3 当 时 抛物线开口向下 函数在 处取得最大值 在区间 上是减函数 在区间 上是增函数 4 当二次函数图象的 时 二次函数为偶函数 否则既不是奇函数也不是偶函数 5 在y ax2 a 0 中 若a 0 a越大 抛物线的开口越 a越小 抛物线的开口越 反之 若a 0 a越大 抛物线的开口越 a越小 抛物线的开口越 总之 y ax2 a 0 中 若 a 越大 抛物线的开口越 a 越小 抛物线的开口越 3 三种形式 1 一般式 其中 是开口方向与大小 是y轴上的截距 而 是对称轴 2 顶点式 配方式 其中 是抛物线的顶点坐标 h k 3 两根式 因式分解 其中x1 x2是抛物线与x轴 名师解答 二次函数性质常见的有哪些综合应用 1 关于对称轴问题 若二次函数f x 满足f t x f t x 则f x 关于直线x t对称 这一性质 对于一般函数也适用 2 关于二次函数在闭区间上的最值问题 求二次函数f x ax2 bx c a 0 在闭区间 p q 上的最值时 易错认为最大值是f q 最小值是f p 总是一错再错 其突破方法是结合二次函数f x 在闭区间 p q 上的图象 依据函数的单调性求出 如 求函数f x x2 2x x 2 3 的最大值和最小值 解 画出函数f x x2 2x x 2 3 的图象 如右图所示 观察图象 得函数f x x2 2x在区间 2 1 上是减函数 则此时最大值是f 2 8 最小值是f 1 1 函数f x x2 2x在区间 1 3 上是增函数 则此时最大值是f 3 3 最小值是f 1 1 则函数f x x2 2x x 2 3 的最大值是8 最小值是 1 深入学习 题型一求二次函数的解析式 例1 已知二次函数f x 满足f 2 1 f 1 1 且f x 的最大值为8 试确定此二次函数 分析 由题目条件知二次函数过 2 1 1 1 点 且知其最大值 所以可应用一般式 交点式和顶点式待定系数法解题 评析 求二次函数的解析式的关键是待定系数法 由题目条件 合理地选择二次函数解析式的表达形式 最简地求出解析式是关键之关键 变式训练1已知二次函数f x 同时满足条件 1 f 1 x f 1 x 2 f x 的最大值为15 3 f x 0的两根的立方和等于17 求f x 的解析式 评析 求二次函数解析式的问题一般用待定系数法 其关键在于根据题设合理选用二次函数的解析式的形式 本题解答中 注意合理使用a与x1 x2之间的关系 分析 利用配方法或公式法求得抛物线的顶点坐标为 6 3 对称轴为x 6 令x 0 求得y 21 它与y轴交点为 0 21 此交点距顶点太远 画图时利用不上 令y 0 x2 6x 21 0 0 方程无实数解 抛物线与x轴没有交点 因此 画此函数图象 应利用函数的对称性列表 在顶点的两侧适当地选取两对对称点 然后描点 画图即可 评析 有些二次函数与y轴的交点距离顶点太远 画图时利用不上 这时需利用函数的对称性列表 以顶点为中心 对称地选取两对点 每对对称点的横坐标与顶点横坐标的差的绝对值相等 纵坐标相等 然后描出这五个点 顺次连接并延伸 就得到该函数的图象 变式训练2作出函数y x2 2x 的图象并写出其值域 分析 先化简 再作图 根据图象写值域 这是函数图象的一个重要作用 解 由x2 2x 0得x 0 或x 2 由x2 2x 0得0 x 2 其函数图象见下图 y 0 评析 讨论二次函数的性质一定要结合二次函数的图象 为了方便 通常画草图 有时可以省去y轴 利用单调性比较两个数值的大小 关键是利用对称性将它们转化到同一单调区间上 这里体现了数形结合及化归等重要思想方法 题型四二次函数图象对称性的应用 例4 如果f x x2 bx c对任意x都有f 2 x f 2 x 那么 A f 2 f 1 f 4 B f 1 f 2 f 4 C f 2 f 4 f 1 D f 4 f 2 f 1 答案 A解析 由f 2 x f 2 x 知图象关于x 2对称 故在 2 上为减函数 在 2 上为增函数 故f 2 f 3 f 1 f 4 故选A 变式训练4将函数y 3x2 6x 1配方 确定其对称轴和顶点的坐标 求出它的单调区间及最大值或最小值 并画出它的图象 分析 配方后 利用二次函数的性质解决 解 y 3x2 6x 1 3 x 1 2 4 由于x2项的系数为负数 所以函数图象开口向下 整体探究解读 题型一二次函数的最值问题 例1 已知f x 4x2 4ax 4a a2在区间 0 1 内有最大值 5 求a的值 题型二一元二次方程根的分布问题 例2 若方程2ax2 x 1 0有两个不等实根 在 0 1 内恰有一解 则a的取值范围是 A a1C 1 a 1D 0 a 1 答案 B解析 设f x 2ax2 x 1 由题意知 此函数为二次函数 其图象为抛物线 此抛物线与x轴有一个交点且这个交点在 0 1 内 故f 0 f 1 1 选B 题型三二次函数的应用 例3 绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料 根据以前的统计数据 若零售价定为每瓶4元 每月可销售400瓶 若每瓶售价每降低0 05元 则可多销售40瓶 在每月的进货量当月销售完的前提下 请你给该商店设计一个方案 销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时 才可获得最大的利润 分析 构建二次函数模型 转化为二次函数的最值问题 评析 解应用题应注意应用题的实际意义 例4 如图 二次函数y mx2 4m的顶点坐标为 0 2 矩形ABCD的顶点B C在x轴上 A D在抛物线上 矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内 1 求二次函数的解析式 2 设点A的坐标为 x y 试求矩形ABCD的周长P关于x的函数关系 并求x的取值范围 3 是否存在这样的矩形ABCD 使它的周长为9 试证明你的结论 分析 1 抛物线的顶点为 0 4m 易求m 2 A点坐标为 x mx2 4m x的范围受交点的横坐标限制 3 先假设存在 看能否推出矛盾 题型四数形结合思想的应用 例5 已知f x