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数学活动 矩形对角线穿过的小正方形数 2017 11 5 国际数学大师陈省身先生 问题 在由m n m n 1 个小正方形组成的矩形网格中 研究它的一条对角线所穿过 至少要经过小正方形内部的一个点 的小正方形个数f与m n之间的关系 1 当m n互质 m n除1外无其他公因数 时 观察下列图22 26并完成下表 6 6 2 猜想 当m n互质时 在m n的矩形网格中 一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m n的关系式是 不需要证明 请再画出几个与上面不同的图形 验证你猜想的关系式是否成立 3 如果你猜想的关系式对一般情况都是适合的 请证明它的正确性 如果你能找到反例说明你猜想的关系式不成立 请修改你的猜想 再进行证明 如果你在证明时有困难 可先观察一条对角线所穿过的小正方形个数f与该对角线被纵 横网格线分成的线段之间的对应关系 f m n 1 4 当m n不互质时 请画图验证你猜想的关系式是否依然成立 解答 当m n不互质时 上述结论不成立 如图2 4 5 画出2 4和3 6的矩形网格 分别观察它们的一条对角线所穿过的小正方形个数 并与1 2的矩形网格中它的一条对角线所穿过的小正方形个数进行比较 将2 4和3 6的情况转化为1 2的情况 求出f的值 6 当m n不互质时 说说此时你求f值的方法 活动小结通过本节课的学习 你有哪些收获 此课
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