2016年高考理科数学全国1卷-含答案.doc

*2016 年普通高等学校招生全统一考试理科数学第卷一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。2 x（1） 设集合 A 4 3 0 ， B x2x 3 0 ，则 A Bx x（A ）（ 3，32） （B）（ 3，32） （C）（1，32） （D）（32， 3）（2） 设(1 i)x 1 yi ，其中 x, y 是实数，则 x yi（A ）1 （B） 2 （C） 3 （D）2（3） 已知等差数列a 前 9 项的和为 27， a10 8，则 a100n（A ）100 （B）99 （C）98 （D）97（4） 某公司的班车在 7:30,8:00,8:30 发车， 小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车， 且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是（A ）13（B）12（C）23（D）342 2x y（5） 已知方程 1表示双曲线， 且该双曲线两焦点间的距离为 4，则m的取值范围是2 2m n 3m n（A ）（ 1，3） （B）（ 1， 3） （C）（ 0 ，3 ） （D）（0 ， 3）（6） 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是283，则它的表面积是（A ）17 （B）18 （C）20 （D）28（7） 函数yx22x e 在 2，2 的图象大致为y y y y1 1 1 1-2 O 2 -2 O 2 -2 O 2 -2 2x x x O x（A） （B） （C） （D）理科数学试卷 A 型 第 1 页（共 5 页）*（8） 若a b 1，0 c 1，则开始（A ）c bca （B）abc bac输入 x, y, n（C） a c b clogb log （D）loga c logb ca（9） 执行右图的程序框图，如果输入的 x 0, y 1, n 1，则输n n 1n 1x x ,2y ny出 x,y 的值满足否2 y 2x36（A ）y 2x （B） y 3x （C）y 4x （D）y 5x是输出 x, y（10） 以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A, B 两点，交 C 的准线于 D , E 两点已知 AB 4 2 ， DE 2 5，则 C 的焦点到准线的距离为结束（A ）2 （B）4 （C）6 （D）8（11） 平面 过正方体ABCD A1 B C D 的顶点 A ， 平面 CB1D1 ， 平面 ABCD m ， 平1 1 1面 ABB1 A n，则 m,n 所成角的正弦值为1（A ）32（B）22（C）33（D）13（12） 已知函数 f (x) sin( x ) ( 0, ) ，2x 为 f (x) 的零点，4x 为 y f ( x) 图象45的对称轴，且 f (x) 在 ( , ) 单调，则 的最大值为18 36（A ）11 （B）9 （C）7 （D）5第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第 (13) (21) 题为必考题，每个试题都必须作答。第 (22) (24) 题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。（13） 设向量 a ( m,1) ，b (1, 2) ，且2 2 2a ，则 m b a b（14）5(2x x) 的展开式中，3x 的系数是 （用数字填写答案）（15） 设等比数列a 满足 a1 a3 10，a2 a4 5，则 a1a2 an 的最大值为 n（16） 某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、 乙两种新型材料 . 生产一件 A需要甲材料 1.5kg, 乙材料1kg，用 5 个工时； 生产一件 B 需要甲材料 0.5kg, 乙材料 0.3kg ，用 3 个工时 . 生产一件 A 产品的利理科数学试卷 A 型 第 2 页（共 5 页）润为 2100 元，生产一件 B 产品的利润为 900 元. 该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg，则在不超过 600 工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17） （本小题满分 12 分）ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，已知 2 cosC(a cos B b cos A) c .（）求 C ；3 3（）若 c 7 ，ABC 的面积为. 求ABC 的周长 .2（18） （本小题满分 12 分）如图，在以 A, B, C,D, E,F 为顶点的五面体中， 面 ABEF 为正方形， AF 2FD ， AFD 90 ，且二面角 D AF E 与二面角 C BE F 都是 60 .CD（）证明：平面 ABEF 平面 EFDC ；EA（）求二面角 E BC A的余弦值 .FB（19） （本小题满分 12 分）某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后被淘汰 . 机器有一易损零件，在购买机器时，可以额外购买这种零件为备件， 每个 200 元. 在机器使用期间， 如果备件不足再购买， 则每个 500 元.频数 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜40 集并整理了 100 台这种三年使用期内更换的易损零件，得下面柱状图：20以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器O8 9 10 11更换的易损零件数更换的易损零件数发生的频率， 记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数， n表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数 .（）求 X 的分布列；（）若要求 P（X n） 0.5，确定 n的最小值；（）以购买易损零件所需要的期望值为决策依据，在 n 19 与 n 20 之中选其一，应选用哪个？理科数学试卷 A 型 第 3 页（共 5 页）（20） （本小题满分 12 分）2 y2 x设圆 x 2 15 0的圆心为 A ，直线 l 过点 B (1,0) 且与 x轴不重合， l 交圆 A 于C, D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E .（）证明 EA EB 为定值，并写出点 E 的轨迹方程；（）设点 E 的轨迹为曲线C ，直线 l 交 C1于 M , N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q1两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围 .（21） （本小题满分 12 分）已知函数fx 有两个零点 .2(x) (x 2)e a( x 1)（）求 a的取值范围；（）设x1,x 是 f (x) 的两个零点，证明： x1 x 2 .2 2请考生在第（ 22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。（22） （本小题满分 10 分）选修 4-1 ：几何证明选讲1如图， OAB 是等腰三角形， AOB 120 . 以O 为圆心， OA2为半径作圆 .（）证明：直线 AB 与 O 相切；D CO（）点 C, D 在 O 上，且 A, B,C, D 四点共圆，证明：AB CD .A B（23） （本小题满分 10 分）选修 4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为1xya1cost,a sint,( t 为参数， a 0 ). 在以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ： 4 cos .2理科数学试卷 A 型 第 4 页（共 5 页）（）说明 C1 是哪一种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程；（） 直线C 的极坐标方程为 0 ，其中 0 满足 tan 0 2，若曲线 C1 与C2 的公共点都在3C 上，求 a.3（24） （本小题满分 10 分）选修 4-5 ：不等式选讲已知函数 f (x) x 1 2x 3 .（）在答题卡第（ 24）题图中画出 y f (x)的图像；（）求不等式 f (x) 1的解集 .y1 o x1理科数学试卷 A 型 第 5 页（共 5 页）2016 年全国卷高考数学（理科）答案与解析一、选择题【答案】（1）D （2）B （3）C （4）B （5）A （6）A （7）D （8）C （9）C （10）B（11）A （12） B【解析】2 x x x（1） A x x 4 3 0 1 3 ，3B x2x 3 0 x x ，23A B x x 3 2（2） (1 i)x 1 yi 即 x xi 1 yi x 1x y，解得：xy1 1， x yi x2 y2 2 9(a a ) 9 2a a10 a1 9 5 5（3） S 9 27 a5 3， a10 8 19 a d ，52 2 10 5a100 a 90d 9810（4）如图所示，画出时间轴：7:30 7:40 7:50 8:00 8:10 8:20 8:30A C D B小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB 中，而当他的到达时间落在线段 AC 或 DB 时，才能保证他等车的时间不超过 10 分钟，根据几何概型，所求概率 10 10 1p 40 22 2x y2 n m n2（5） 1表示双曲线，则 ( )(3 ) 0m ，2 2m n 3m n2 n 3m2m ，2c 4c2 ( 2 ) (3 ) 4 22m n m n m2解得 m 1， 1 n 3（6）原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的 1/8 后的三视图，表面积是7/8 的球面面积和三个扇形面积之和，理科数学试卷 A 型 第 6 页（共 5 页） 7 2 1 2 S 4 2 3 2 17 8 42 2 2 2（7） f (2) 8 e 8 2.8 0，排除 A； f (2) 8 e 8 2.7 1，排除 B；x 0时， f2 x(x) 2x e ，1 1x 0f (x) 4x e ，当 x (0, ) 时， f (x) 4 e 04 41f (x) 在 (0, ) 单调递减，排除 C；4故选 Dc c（8）对 A：由于 0 c 1 ，函数 y xc 在R 上单调递增，因此 a b 1 a b ，A 错误；对 B：由于 1 c 1 0 ，函数 y xc 1 在 1, 上单调递减，c 1 c 1 c ca b a b ba ab ，B 错误1b c ，只需比较 lna c ln b对 C：要比较 a log c和 logb a和 aln a和blnclna，只需比较ln cbln b和ln caln a，只需 bln b构造函数f x xln x x 1，则f x ln x 1 1 0 f x，在1,上单调递增，因此f a f b 0 aln a blnb 01 1aln a bln b又由 0 c 1 得 ln c 0 ， ln ln log logc cb c a ca baln a blnb，C 正确对 D：要比较 loga c 和logb c ，只需比较 lnlnca和lnlncb而函数 y ln x在 1, 上单调递增，故 1 ln ln 0 1 1a b a blna ln b又由 0 c 1 得 ln c 0 ， ln ln log logc cc ca blna lnb，D 错误故选 C【2 用特殊值法，令1 1 1 11a 3,b c 得32 2 ，排除 A； 22, 22 3 2 2 3 ，排除 B；213 log 2 2 log 3 2 ，C 正确；21 1log3 log 2 ，排除 D；选 C】 2 2（9）如下表：循环节运行次数n 1x x x y y ny2判断2 2 36x y是否输出n n n 1运行前 0 1 / / 1第一次 0 1 否 否 2第二次122 否 否 3第三次326 是 是理科数学试卷 A 型 第 7 页（共 5 页）3输出x ， y 6 ，满足y 4x，故选C2（10）以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为2 2y px p 0 ，设圆的方程为2 2 2x y r ，题目条件翻译如图：F设A x0 ,2 2p， D , 5 ，2A x0 ,2 2点 在抛物线2 2y px 上， 8 2 px0 p2, 5在圆2 2 2x y r 上，5p222D r点 A x0 ,2 2点 在圆2 2 2x y r 上，2 2x0 8 r 联立解得： p 4 ，焦点到准线的距离为 p 4 2【如图，设抛物线方程为2 2y px ，圆的半径为 r,AB, DE 交 x 轴于C,F 点，则AC 2 2 ，即 A 点纵坐标为 2 2 ，则A 点横坐标为4p，即OC4p，由勾股定理知2 2 2 2DF OF DO r ，2 2 2 2AC OC AO r ，即2 p 2 2 4 2( 5) ( ) (2 2) ( )2 p，解得 p 4 ，即 C 的焦点到准线的距离为 4】（11）如图所示： 平面 CB1D1 ，若设平面CB D 平面1 1ABCD m ，则mm1 1又平面 ABCD 平面ABC D ，结合平面 B1D1C 平面 A1B1C1D1 B1D11 1 1 1 B1D1m1 ，故B Dm1 1D CBA同理可得： CD1n故 m 、 n 的所成角的大小与B D 、CD 所成角的大小1 1 1相等，即CD B 的大小1 1A1D1B1C1理科数学试卷A 型 第 8 页（共5 页）而 B1C B1D1 CD1 （均为面对交线） ，因此3CD B ，即 sin CD1B1 1 1 32（12）由题意知：4+ k 1 + k +24 2则 2k 1，其中 k Zf x 在 , 5( )18 36单调，5 T36 18 12 2, 12接下来用排除法若11, 4 ，此时 ( ) sin 11f x x f (x) ， 在4 3 ,18 44递增，在35 ,44 36递减，不满足 f (x) 在 5,18 36单调；若9,4 ，此时f (x) sin 9x ，满足 f (x) 在4 5 ,18 36单调递减理科数学试卷 A 型 第 9 页（共 5 页）二、填空题【答案】（13）-2 （ 14）10 （15）64 （16）216 000【解析】（13） 由已知得 a b (m 1,3) , 2 222 2 2 2 2 2a b a b (m 1) 3 m 1 1 2 ，解得 m 2 22 2 2a b a b 得 a b ， m 1 1 2 0，解得 m 2 （14）5(2 x x) 的展开式的通项为rr5 r x 5 r x r 5 r r x 2 ( r 0 ，1，2， ，5)，令 5 3C (2 ) ( ) 2 C5 52得 r 4，所以 x3 的系数是 42C 105（15） 设等比数列a 的公比为 q(q 0) ，na1a2a3a4105a1a q12a q13a q1105，解得a1q812，n 41a ，n2a a1 2an12( 3) ( 2)（n4）1212n( n 7)112n722494故 当26n 3或 4时， a1a2 an 取得最大值2 64（16） 设生产 A 产品x 件， B 产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规则约束为1.5 x 0.5 y 150x 0.3 y 905x 3 y 600x 0y 0*x N*y N目标函数 z 2100 x 900 y作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为 (60,100) (0,200) (0,0) (90,0)理科数学试卷A 型 第 10 页（共5 页）在 (60,100) 处取得最大值， z 2100 60 900 100 216000三、解答题（17）解：（I）由已知及正弦定理的，2 cosC (sin Acos B sin B cos A) sin C ，即 2 cosC sin( A B) sin C ，故 2 sin C cos C sin C ，可得 1cos C ， 2C 3（II）由已知，123 3ab sin C ，2又C ， ab 6，32 b ab C2由已知及余弦定理得， a 2 cos 7 ，2 b2 2故 13 a b ，a ，从而 ( ) 25ABC 的周长为 5 7（18）解：（I）由已知可得 AF DF，AFFE， AF平面 EFDC 又 AF 平面 ABEF，故平面 ABEF 平面 EFDC （II）过 D 作 DGEF，垂足为 G，由() 知 DG平面 ABEF，以 G 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 G-xyz理科数学试卷 A 型 第 11 页（共 5 页）由( ) 知 DFE 为二面角 的平面角，故 =60，则 ， ，可得 ， ， ， ，由已知， ABEF， AB平面 EFDC ，又平面 ABCD 平面 EFDC =CD，故 AB CD，CDEF，由 BEAF，可得 BE平面 EFDC ， CEF 为二面角 C- BE- F 的平面角， CEF =60，从而可得 C(-2,0, ), ， ， ， ，设 是平面 BCE 的法向量，则，即 , 可取 ，设是平面 ABCD 的法向量，则同理可取 ， ，则 ， ，故二面角 E- BC- A 的余弦值为 .（19）解：（I）由柱状图并以频率代替概率可得， 一台机器在三年内需更换的易损零件数位8,9,10,11 的概率分别为 0.2,0.4,0.2,0.2 ，从而P(X=16)=0.2 0.2=0.04 ，P( X=17)=2 0.2 0.4=0.16 ，P( X=18)=2 0.2 0.2+0.4 0.4=0.24 ，P( X=19)=2 0.2 0.2+2 0.4 0.2=0.24 ，P( X=20)=2 0.2 0.4+0.2 0.2=0.2 ，P( X=21)=2 0.2 0.2=0.08 ，P( X=22)= 0.2 0.2=0.04 ，所以 X 的分布列为X 16 17 18 19 20 21 22P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 （II ）由 ( )知 P( X18)=0.44 ，P( X 19)=0.68 ，故 n 的最小值为 19（III ）记Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元） ，当 n=19 时， EY =19 2000.68+(19 200+500) 0.2+(19 200+2 500) 0.08+(19 200+3500) 0.04=4040 当 n=20 时， EY =20 2000.88+(20 200+500) 0.08+(20 200+2500) 0.04=4080 可知当 n=19 时所需费用的期望值小于n=20 时所需费用的期望值，故应选 n=19理科数学试卷A 型 第 12 页（共5 页）（20）解：（I） ，EBAC ，故 EBD =ACD =ADC ，故 2 y2又圆 A 的标准方程为 (x 1) 16, 从而 ， 2 2x y由题设得 A (-1,0) ，B (1,0) ， ，由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为： 1（ 0）y 4 3（II ）当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 y k(x 1（) k 0）， M ( 1, y ) ， N( x2, y2 ) x1由yk(x2 y23x41)12 x k x k2 2 2，得 (4k 3) 8 4 12 0则28kx x ，1 224k 324k 12x x ；1 224k 3212( k 1)2MN 1 k x x 1 224k 31过点 B(1,0) 且与 l 垂直的直线 m： y (x 1)，A 到 m 的距离为kk221，22 4k 32 2PQ 2 4 ( ) 4 22 k 1k 1故四边形 MPNQ 的面积1 1S MP PQ 12 1 22 4k 3可得当 l 与 x 轴不垂直时，四边形 MPNQ 面积的取值范围为 (12，8 3) 当 l 与 x 轴垂直时，其方程为 x 1, MN 3, PQ 8 ，四边形 MPNQ 的面积为 12综上，四边形 MPNQ 面积的取值范围为 12，8 3）（21）解：x x（I） f ( x) (x 1)e 2a( x 1) (x 1)( e 2a)（i）设 a 0 ，则 f (x) (x 2)ex ， f (x) 只有一个零点（ii ）设 a 0 ，则当 x ( ，1) 时， f (x) 0；当 x (1， ) 时， f (x) 0 f (x) 在( ，1) 单调递减，在 (1， ) 单调递增又 f (1) e，f (2) a ，取 b 满足 b 0且 ab ln ，则 2理科数学试卷 A 型 第 13 页（共 5 页）a 32 a b b2f (b) (b 2) a(b 1) ( ) 0，2 2故 f (x) 存在两个零点（iii ）设 a 0，由 f ( x) 0 得 x 1或 x ln( 2a) 若ea ，则ln( 2a) 1，故当 x (1， ) 时， f ( x) 0 ，因此 f (x) 在(1， ) 单调2递增又当 x 1时， f (x) 0， f (x) 不存在两个零点；若ea ，则ln( 2a) 1，故当 x (1，ln( 2a ) 时， f ( x) 0 ；当 x (ln( 2a )， )2时，f (x) 0因此 f (x) 在(1，ln( 2a ) 单调递减，在(ln( 2a)， ) 单调递增 又当 x 1时， f (x) 0 ， f (x) 不存在两点零点综上， a的取值范围为 (0， ) （II ）不妨设x1 x ，由( ) 知， x1 ( ，1) ，x2 (1， ) ，2 x2 ( ，1) ， f (x) 在 ( ，1)2单调递减， x1 x 2 f (x ) f (2 x ) ，即 f (2 x2 ) 0 2 1 2f (22