物理量的数量级估算.pdf

3 6卷第 1 O期 2 0 1 4年 1 O月 物理教学 PHYSI CS TEACHI NG Vo l 3 6 No 1 0 0c t 2 O 1 4 物理量的数量级估算 朱浩 江苏省苏州中学江苏2 1 5 0 0 7 摘 要 物理量 的大小决定 了问题的性质 数量级 的估算 是选择 和建 立模 型 的基础 本 文精选 的范例 涉及 从 宇宙恒 星 到微观 世界的原子核 对关键物理量进行 了数 量级估算 数量级估算 的方法 是一个值得重视 的教 学问题 关 键 词 物 理 量数 量 级估 算 方 法 文章编号1 0 0 2 0 7 4 8 2 0 1 4 1 0 0 0 1 1 中图分类号G 6 3 3 7 文献标识码B 一 数量 级 估算 的 意义 物理学是一 门定量学科 它不仅使我们能够定 性地理解和解释许 多 自然现象 和 自然界 发生 的过 程 更重要的是能够给出定量关系 使人们在实践 中 把握定量结果 量渗透在物理学 中 没有量就没有 严 密 的物理 学 物理 量 的大 小 常 常决 定 了 问题 的性 质 从 而 也 就决 定 了研究 物 理 问题 的领 域 和方 法 例 如 速 度 远 小 于光 速 C时 机 械运 动 可 以用 牛 顿 力 学 的 方 法 来处理 而速度接近光速 C 时 物体 的运动问题必须 用相对论的方 法来处理 又譬 如 人类 已经研究 的 领域 空间尺度 即 长度 物理量 跨越了 4 2个数量 级 时间和速度也跨越了几十个数量级 1 物理量 的值是可以根据 已知的物理原理计算出 来的 一般而言 越要计算得精确 考虑的因素就越 多 相应的计算就越繁难 通常 在物理实验和理论 工作中 在进行详细计算之前 为了选择和建立合理 的模型 需要先估算各量的大小和种种可能效应 的 相对重要性 以判 断什么是决定 现象 的主要 因素 1 例如 在常温下分子热运动能量量 级 忌 丁 e V 远 士U 小 于分 子 内部 的 能量 因 此 分 子 的 碰撞 不 可 能激 发 分子内部运动 这表明理想气体模 型考 虑气体分子 弹性碰撞是合理 的 对物理量 的估算正确 也显示 了人 们处 理 物理 问题 的 深厚 功力 和对 物理 问题 的深 刻理 解力 费米 是一 位理 论 和实 验都 非常 杰 出 的物 理学家 也是一位用简单方法作数量级估算的高手 1 9 4 5年 7月 1 6日凌晨 世界上第一枚原 子弹在美 国新墨西哥州荒无人烟 的阿拉莫戈沙漠里试爆 身 在基地的费米把预先从笔记本上撕下的碎纸片举到 头顶撒下来 碎纸片飘到身后的 2米处 经过一番计 算 他宣称 那枚原 子弹 的威 力相 当于 1万 吨 TNT 级 这一估算为后来精密仪器的测量所证实 一时传 为佳话 誉 为神 奇 同样 在物 理教 学 中 学生 对物 理量数 量 观念 的 建 立 不够重 视 做 题 多半 是 为 了巩 固和 加深 理 解 概 念 对重要物理量的数量级不能清楚地了解 这 自然 有碍于对物理问题的进一步理解 在教学 中 要引 导学生对具体物理现象做到 心中有数 即使一时 得不到由理论计算得 出的精确结果 不妨作一番数 量级的估算 避免盲 目性 二 数量 级估算 举例 例 1 旋转的地球可以看成惯性系吗 我们知道 地球作为太阳的一颗行星 不停地进 行着 自转和公转 这就给我们提出了一个问题 旋转 着 的地球 可 以看成 一个 惯性 系吗 已知物 理常 数地 球半径 日地平均距离 地球 自转和公转周期等 很 容易 估 算 地 球 公 转 的 角 速 度 约 为 c u 2 1 0 r a d s 自转 角速度 u 2 2 1 0 r a d s 而公 转 线速 度 约为 一 3 1 0 m s 可见 每 秒钟 内 地 球质 心绕太阳前进 3 1 0 m 转 过 的圆 心角 只有 2 1 0 r a d 自转也仅转 过 7 1 0 r a d 因此 在一般情况 下研究地面上运动的物体时 可以忽略地球的转动建 立 匀速直线 运动 的简化模 型 把地 球看 成惯 性 系 例 2 在 口叼 自行车 的杂 技中 杂技演员 通过带有双沟的夹具 用 口咬住 自行车货架的后部 用 腹部 顶住 自行 车 的后挡 板 将 自行 车缓 缓 叼起 令 观 众拍 手称 奇 事实上 把 自行车简化成一个变形的杠杆 容易 估算出口叼夹具 的力约为 5 0 0 N 2 由于夹具 的外 面包着海绵和棉布 使夹具对 口腔和牙齿 的作用力 均匀分布 设演员有 3 2颗牙齿 每颗牙齿受力只有 1 6 N 因为 拉 断 棉线 的力 就 有 约 1 0 N 因此 正 常 人 的牙齿 是完 全可 以承 受得 住 的 1 1 3 6 卷第 1 o期 物理教学 例 3 超新星爆炸形成致密 中子星 超新星爆炸 使其外 围绝 大部 分物质被抛 射 出 去 留下很小的内核部分 这个致密的内核部分就是 中子 星 中子 星是 由 中子 构 成 的 这种 中子 物 质 的 形成是由于在引力塌缩过程 中原子壳层被压缩 电 子被挤入原子核 内与核内的质子作用 使核内核子 都变成中子的结果 我们可以从能量角度估算超新 星爆 炸 的结果 是形 成 了中子 星 令 M R分 别是爆 炸前 恒星 质 量 平 均 半径 爆 炸几乎将全部 M 抛射出去 是从质量为 M 半径为 r 2 R 的恒 星上移 走 M 需 要 G 的 能量 这 个 能量 由 恒星 内部 引力塌 缩 释 放 的 能 量 来提 供 引 力 塌 缩 形 成质 量 和半径 分别 为 和 r的新 结 构 塌 缩 过程 释 一 2 放的引力势能是 G 令 两者相等则得塌缩后致 密 内核半 径 一 m 3 m 3 M 一 R M D 一 一 4 R 3 m5 取 M 一 1 5 Ms 太 阳质 量 Ms一 2 1 0 k g D 1 5 Ms R一 2 1 0 m 得 r 一 lD 一 1 0 k g m3 1U U 10 一常数 lD 为中子星密度 可见新形成的内核部分 是 中子 星 这样可 得 3 M 一l J 若取 M 一 2 0 Ms R一 1 0 m时 则 优一 3 2 Ms r 2 5 1 0 m 可 以 预见 若 某些 特定 的超 新 星爆 炸后 形成的中子星 的质量达到一定程度 中子星也不稳 定 引力收缩又开始从而使密度继续变大 当 y n 进一步 增加时 引力超过基本粒子压力 最后塌缩成黑洞 3 例 4 估算黑洞半径 按照黑洞的定义 包括 以光速运动 的光子也不 能脱离黑洞的吸引 即不能逃离黑洞 的表面 拉普 拉斯经典黑洞模型把光看做是 以光速 c 运动的某种 粒子 我们知道 物体在引力作用下 的势能是负 的 物体恰能逃离引力作用 表示物体运动到无 限远 的 过程中 其动能恰好 全部用于克服引力做功 物体 在无限远处时 动能和势能都等于零 这意味着该物 体处在引力场表面处时 其动能与势能之和亦等于 零 物体不能逃离引力作用 表示该物体尚未 到达 无限远处 其动能已全部用于克服引力做功 但引力 势能仍是负的 这意味着它在引力场表面处 时 其 动能与势能之和小于零 若某引力场的球体质量为 1 2 M 半径 为 R 质量 为 的粒子 在 引力场 表面 的速 度 等于光速 但它仍不能逃离引力作用 则按牛顿力学 的观点应 有 下列关 系 榭 2 一 G M m 0 解 得 R 下2 G M 这就是说 对于球体质量为 M 的引力场 只有 其半径 R 叫做黑洞的引力半径 小于 时才会在 其表面产生 足够强 的引力 使得包 括光在 内的所有 物 质都不能脱离其引力作用 对光而言 人们将无法通 过光学测量 看到它 这就 是把它 叫做黑洞的原 因 谈天 自然要谈到太阳 那么太阳对人类送来多 少 能量 呢 例 5 估算太 阳通过辐射的方式传递给地球 的能量 根据斯 蒂芬 定 律 可 知 绝 对 温 度 为 T 的 黑 体 单 位 面 积上辐 射 的功 率 为 T 太 阳表 面 的 热 辐 射 发 射本领 近 于 1 可认 为它 进 行 黑体 发 射 其 表 面温 度 约 6 1 0 K 表 面积 为 4 兀 R 太 阳的总 辐射 功率 P s一 4 7 c R i a T 4 4 1 0 W 这是太 阳每秒钟 向四面八方辐射 的能量 假设 太 阳与地球之 间 的空 间没有 对太 阳辐射 造成 衰减 则有 P 一 4 兀 R F 那么太 阳给地球表面 的每秒 每 平方 米 的热辐 射 能 量 Fo一 l 6 1 0 3 w m 地球 的有 效 面积 为 兀 R 一昼夜 太 阳给 地球 的能量 E d 8 6 4 1 0 兀 R F 1 7 x 1 0 J 一 年送 给地 球 的能 量为 3 6 5 E 6 5 1 0 J 1 吨碳水 化合 物储 能 是 1 7 1 0 J 因此一 年 内太 阳给地球 的能量 相 当于 3 9 0万亿吨碳水化合物 精粮 所含 的能量 这 些能量并非全部被地球所 吸收 一部分被地球反射 掉 了 另一部 分被 地球 再辐 射损失 掉 了 例 6 在水平放置 的洁净 的玻 璃板 上有 一 些水银 水银近似呈半径 很 大 圆饼 形 状 估 算 厚 度 如 附 图 所示 在 圆饼 的侧面处 取 宽度 为 A x 高度 为 h的面积元 A S 重力 产生 的水银 对 S的 附图 3 6卷第 1 O期 物理教学 侧压力为 1 1 F P A S一寺P g h A x一寺P g A x 一 1 式中P 一 寺lD g 为水银对侧面的平均压强 在水银 与空气接触 的表面层中 表面张力使水银 表面有收 缩到最小的趋势 令上表面处 的表面张力 F 的方向 与水 平 方 向夹 角为 则 F1 C O S 0 F2一 F 代 人 数 据 解 得 0 O 0 2 7 m P g 式中 取 值 0 水 银 的 表 面 张 力 系 数 0 4 9 N m h的取值 范 围是 3 1 0 m h 4 1 0 一 r n 例 7 一天中人体应补充多少含能食物 人体一天所需能量因人而异 2 4 h静卧所需能 量大约 为 1 0 1 8 1 0 k c a l 1 c a l 4 1 8 J 维持 中等强度的劳动需要能量约 1 0 3 k c a l 碳水化合物 脂 肪 蛋白质都是含能食物 每克上述物质在氧化分解 时产生 的热量分别 是 4 c a l 9 c a l 和 4 c a l 设 人每 天 吃进 M g碳水化合物 Mz g脂肪 Md g蛋白质 则有 3 1 0 4 Mt 9 M2 4 Md 取 Mz 一 2 0 g Md 7 0 g 则可求出人每天需要碳水 化合物的克数 即 Mt 一 6 3 5 g 若每天人食用的 Mt 超过这一值 则 补充过量 应当指出 人体除应补充 含能食物外 还应补充矿物质 维生素和水等 要减肥 还是控制食量最有效 通过 以下简单计算 即可 明白 一 个重 2 两 的馒头含 能是 1 0 0 4 k c a l 1 7 1 0 J 相 当于把 1吨物体提升到 1 7 0 m 高处做 的功 人 体是 由大约 1亿 亿 个 细 胞 构 成 其 直 径 大 约 在 1 2 0 0 m 范 围 细胞是一个极其灵 巧的微型 化 学 反 应池 也 是一 个 充 放 电极 快 的微 型 电池 细 胞 内外维持有 7 5 mV左右的电势差 这么小的电势 差为什么能完成快速信息传递呢 例 8 横过细胞壁的电场可达 1 0 Vm 细胞内外存在 U 7 5 mV 是由于细胞膜具有 半 通透 性 造 成 的 膜 有 选 择 地 让 K Na C 1 一及 其他正负离子通过它 使细胞 内外 电解质浓度分布 有不连续性 于是维持细胞内外的电势差 并维持 内 外的渗透压 细胞膜厚度 L只有 7 5埃左右 因此 横过细胞膜 的场强 E 一 1 0 v AL 细胞充电过程是信息传递过程 神经细胞休息时 细 胞内 K 浓度很高 细胞外 Na 浓度很高 细胞 内外 维持着电势差 U 和渗透压 刺激一发 生 由于存 在高电场 膜很快被击穿 放 电 K 陕速通过击穿 的膜向外 Na 则快速 向内 电势 差迅速变 为零 刺 激一 过 膜 快速 地 让 K 进入 细胞 内 让 Na 迅 速 运 动 到 细胞外 于 是恢 复细 胞 内外 电势差 和渗 透压 充 电 正是靠这种细胞快速充放电过程 刺激信号才 能迅速地传到脑 脑下达的命令才能快速地传到人 体各处 使人体能动地完成快动作 例 9 影响原子结构的电场强度应是多少 原子 可 以认 为是 由原子 核及 在核外 一 系列 特定 轨道上做环绕运动的电子组成 原子核 由Z个质子 和 N 个 中子 组成 在 核外 第 n个 轨 道 处形 成 的静 电 场为 E 一 其 中 E 0 是真空介电常数 是第 个轨道 到核 中心的距离 这个 静 电场 对第 个 轨道上 电子的作用力就作为电子做环绕运动的向心力 即 Ze 一 磬 一 hm eV nr n 1 2 3 一 一 一 z 解得 n 2 e o h 2 7 2 n一 Ze z 一 其中 口 一 一 5 3 x 1 0 1 T I 是氢原子的玻尔 轨 道 半 径 一 南 c 是 真 空 中 的 光 速 它 是 氢原 子玻 尔轨 道 上 电子 环 绕速度 对 于 氢 原 子 Z 一 1 El 5 1 0 V m E 5一 一 2 1 0 V m 上面 已确 定 了原 子 核 外 各 稳定 轨 道处 的 电场 因此可以求出原子 的结合力 以氢原子为例 玻尔 轨 道 上 的电子 受力 为 F e E 一 8 1 0 N 这是原 子 结合 力 的数量 级 现在 要 问 核 子是 以多 大 的力结 合 成 原子 核 的 例 1 0 核密度有多大 核力有多强 实验发现 核力作 用范 围约为 1 0 1 m 核半径 的经 验公式 为 R R A寺 这 里 R以 I I 1 为单 位 R 见 上文 A是核 内质子数与中子数之和 作为估算认为 中子 和 质 子 质 量 相 等 而 中子 质 量 m 一 1 6 7 1 O k g 核密度为 3 6卷第 1 O期 物理教学 P 一 1 0 k m1 0 kg m P 一 可 见核 密度 就是 中子 星的平均 密度 核力有多大 以琵F e 原子核为例 其核 内两个 一2 质子间 的 库仑 力为 1 4 N 这 是原 子 7 ce 0 0 一 结合力的 倍 大约 2亿倍 显然核力要大于 这个值 否则质子就会因斥力作用而分开 从而不 能 形 成原 子核 核 和原 子结合 力 的大小 上文 已给 出 了数量 级 把 它们 与引力 比较 一下 是有益 的 玻尔 轨道 上 的 电 子受氢 原 子核 中质子 的引力 为 一 3 7 口 O 1 O N 可见作为原子结合力的电力是 引力 的 1 O 倍 由上文知核力约是电力亿倍 因此核力约是引力 的 1 O 倍 顺便指 出 分子 的结合力从本质上讲 也 是电力 但对多电子原子形成的分子而言 其结合力 远小于原子结合力 这是 由于一方面形成分子的原 子 间 的距离 大 于原 子 的 尺 寸 另一 方 面原 子形 成 分 子是通过原子最外层电子的相互作用 因此可以说 分子的结合力是静 电屏蔽后的剩余 电力 三 数量级估算的方法 物理量数量级的估算本无一定之规 具体 问题 可 能涉 及物 理 的各 个 领 域 估 算 的 问题 可 能 是 多 种 多样的 全凭人们的灵活运用和创造性发挥 可 以 借鉴的方法通常有 1 要记住基本物理常数和典型数据 心 中无 数 是无法作 出数量级的估算 的 最基本的物理 常 数有光速 c 普朗克常数 电子电荷 e 引力常数 G 电子质 量 质子 质 量 阿伏 加 德 罗 常数 N 和 波尔兹曼常数 k等等 c出现在狭义相对论 中 是 标 志 时 空关 系 的 基本 常数 h是 支 配 量 子 现象 的基 上接 第 4 6页 四 制作材 料 旧 电脑 中 的小 型 散 热 风 扇 9 V 叠层电池 电池扣 单刀开关 导线 布条 铁丝 长木 条 轴承 支杆 底座等 五 制作方 法 1 把 电池 扣 固定在 长木 条 的一端 引 出正 负 极 导 线 2 在长木条另一端 安装散 热风扇 旧电脑 拆 下 用细铁丝做成方框状 缝上小布条做成小旗 3 在电池上面的木条上装上开关 把 电池和风 1 4 本常数 e 和 G分别是标志 电磁力和引力作用 的特 征 常数 N 是 联 系微 观 单位 与 宏 观 单位 最 重 要 的 换算系数 是是温度与能量间的换算系数 也是衡量 热运动的特征常数 2 要有 清晰的物理 概念 和明晰 的物理 图像 清晰的物理概念和明晰的物理图像是认识和理解物 理问题的基础 也是对物理量的数量级估算的前提 3 要能够分析发 生的物理过程 抓住其 中的主 要因素 实际的物理过程是相当复杂的 总是多种因 素在其中起作用 一定要分析清楚其中各种因素作用 的