3李雅普诺夫稳定性与正实函数.ppt

1 5 3李雅普诺夫稳定性与正实函数 针对用梯度法设计模型参考自适应控制系统稳定性得不到保证的问题 有人提出基于李雅普诺夫稳定性理论设计模型参考自适应控制系统 如Butchart 1965 Parks 1966 所以有必要回顾动态系统的稳定性概念和定理 以作为后续学习内容的准备知识 5 3 1李雅普诺夫稳定性理论概要响应运动稳定性可分为基于输入 输出描述的外部稳定性和基于状态空间描述的内部稳定性 外部稳定性是一种零初始条件下的有界输入 有界输出 Bounded input Bounded output 稳定性 内部稳定性是零输入条件下自治系统状态运动的稳定性 它等同于李雅普诺夫意义下的渐近稳定性 外部稳定性与内部稳定性之间有十分紧密的联系 一般说来 内部稳定性决定外部稳定性 1892年 李雅普诺夫 A M Lyapunov 提出了运动稳定性的一般理论 2 即稳定性分析的第一方法和第二方法 第一方法将非线性自治系统运动方程在足够小的邻域内进行泰勒展开 导出一次近似线性化系统 再根据线性系统特征值在复平面上的分布推断非线性系统在邻域内的稳定性 第二方法引入具有广义能量属性的李雅普诺夫函数 并分析其函数的定号性 建立判断系统稳定性的相应结论 它在1960年前后被引入控制理论界 并很快成为研究系统稳定性的主要工具 本节介绍李雅普诺夫第二方法 设自治系统状态方程的解为 式中 为系统初始条件 为初始时刻 为状态向量 如果系统某一状态对所有时刻均满足 5 30 则称状态为式 5 30 所示系统的平衡状态 3 定义5 3 1如果对任意一个实数 均对应存在另一依赖于 和的实数 使满足以下不等式的任一初始状态出发的所有解都满足则称式 5 30 表示的系统的平衡状态在时刻为李雅普诺夫意义下的稳定 如果与无关 则称为李雅普诺夫意义下一致稳定 几何意义 初始状态不越出平衡状态的邻域 相应解不越出平衡状态的 邻域 那么是稳定的 如图5 4所示 定义5 3 2若式 5 30 所示系统的平衡状态满足 1 在时刻为李雅普诺夫意义下稳定 2 存在 使满足 的初始状态出发的所有解均有 4 则称平衡状态是李雅普诺夫意义下渐近稳定的 假若与无关 则称其为李雅普诺夫意义下一致渐近稳定 几何意义 的领域内出发的运动轨线最终均趋于平衡状态如图5 5所示 图5 4图5 5图5 6 定义5 3 3式 5 30 表示的系统的平衡状态对于任一位于状态空间的初始状态 若满足 5 1 为李雅普诺夫意义下稳定 2 则称平衡状态是李雅普诺夫意义下全局 或大范围 渐近稳定 定义5 3 4如果不论取实数为多大 均不存在一个实数 使得满足不等式的任意初始状态出发的解满足不等式 则称式 5 30 表示的平衡状态在时刻为不稳定 其几何意义如图5 6所示 实质上 李雅普诺夫意义下渐近稳定与工程意义下的稳定是等价的 李雅普诺夫意义下不稳定等同于工程意义下的发散不稳定 有了李雅普诺夫意义下的稳定概念之后 余下的问题是如何判定一个系统在 6 平衡点的稳定性 李雅普诺夫第二方法主要定理是判定的主要工具 它借助能量的特性来研究系统稳定性 即系统运动总是随能量变化的 如果系统能量变化始终为负 运动中单调减小 那么系统受扰运动最后回到平衡状态 下面不加证明地给出系统稳定性判定定理 定理5 3 1对式 5 30 所表示的系统 若可构造一个标量函数 且对状态空间中所有非零状态点满足以下条件 1 是正定的 即 2 是非正定的 即 则系统的原点平衡状态在李雅普诺夫意义下是稳定的 除了以上条件外 如果亦满足 则是全局稳定的 定理5 3 2对式 5 30 所示的系统 若可构造一个标量函数 且对 7 状态空间中所有非零状态点满足以下条件 1 是正定的 2 是负定的 则系统的原点平衡状态是渐近稳定的 除了以上条件外 如果亦满足 则是全局渐近稳定的 定理5 3 3对式 5 30 描述的系统 若可构造一个对时间具有连续一阶偏导的标量函数 以及围绕状态空间原点的一个吸引区 使对状态有 1 正定 2 非正定 3 在任意起于的运动轨线上 使所有不恒为零 则该系统是平衡状态渐近稳定的 如果满足则是全局渐近稳定的 8 定理5 3 4设线性定常连续系统的运动方程为式中 x为维状态向量 A为非奇异矩阵 其平衡点是全局渐近稳定的充分必要条件为 对任意给定的正定对称矩阵Q 存在一个正定对称矩阵P 并满足下列李雅普诺夫矩阵方程 定理5 3 5设非线性系统的运动方程为 5 32 5 33 式中 e为n维向量 r为维向量 A B和 分别为 和满秩矩阵 R P分别为 正定对称矩阵 假若正定对称矩阵Q和P满足下列方程则该系统平衡点 是稳定的 若r是个或更多不同频率的分量组成 9 那么平衡点是渐近稳定的 证明 选取李雅普诺夫函数为式中 tr x 是矩阵 x 的迹 trace 它表示矩阵对角元之和 R P为正定对称矩阵 5 34 将式 5 32 代入并整理 有根据矩阵迹的性质 和 有以及 10 将式 5 33 代入上式变为由定理5 3 1知 平衡点 是稳定的 考察沿运动轨线上的情况 令 由式 5 35 知代入式 5 32 有 由于B为满秩 从而应有 若r是由个不同频率的分量构成的 则各分量是线性无关的 这里从而由式 5 36 应有即只有在平衡点 处 才有 由定理5 3 3知 系统在平衡点 5 35 5 36 11 处渐近稳定 Barbalat定理 若为一致连续函数 并且 有界 则有推论 如果 有界 并且 即平方可积 则有证明 令 由于 则是一致连续的 又由于 所以 由Barbalat定理有该定理及其推论的意义 依据函数或信号本身的特征来判断其终值的收敛性 而不用构造李雅普诺夫函数并验证其导数的负定性 由于下一章将涉及李雅普诺夫稳定性定理的离散形式 所以在此也将离散时间系统的李雅普诺夫稳定定理和判据不加证明地给出 以方便讨论 12 设有离散时间非线性时不变系统 自治状态方程为式中 为n维状态 表示状态空间原点为系统平衡状态 离散时间系统全局渐进稳定判据 对离散时间非线性时不变自治系统式 5 37 若存在一个相对于离散状态的标量函数 使对任意满足 1 为正定 2 为负定 3 时 有 则原点平衡状态为全局渐进稳定 如果上述第 2 条为负半定 其他条件不变 则加上下面一条后 原点平衡状态为全局渐进稳定 对由任意非零初始状态确定的所有自由运动 即式 5 37 所有 5 37 13 解的轨线 不恒为零 设有离散时间线性时不变系统 自治状态方程为若矩阵G为奇异 则除了原点平衡状态外 还有非零平衡状态 若G为非奇异 则只有唯一平衡状态 特征值判据 对离散时间线性时不变自治系统式 5 38 原点平衡状态是渐进稳定的充分必要条件是 G的全部特征值的幅值均小于1 离散时间系统李雅普诺夫判据 对n维离散时间线性时不变自治系统式 5 38 原点平衡状态渐进稳定 当且仅当对任一给定正定对称矩阵Q 离散型李雅普诺夫方程有唯一正定对称解矩阵P 5 38 14 5 3 2正实函数正实函数的概念起源于网络理论 它是自适应控制系统稳定性和收敛性证明的重要工具 下面介绍相关定义和定理 它们在后续内容中将被用到 定义5 3 5假若以复变量为自变量的有理函数满足以下条件 1 s为实数时 也为实数 2 在的域内解析 无极点 3 在s平面的虚轴上只有单极点 且相应的留数大于或等于零 4 在虚轴上除极点外 都有 那么称有理函数为正实函数 PositiveRealFunction 定义5 3 6假如以复变量为自变量的有理函数满足以下条件 1 当s为实数时 亦为实数 2 在的域内解析 3 在s平面的虚轴上对应的 则称有理函数为严格正实函数 StrictlyPositiveRealFunction 15 例5 3 1考察下列有理函数的正实性 解 1 当s为实数时 也为实数 在域内解析 令 则有 从而 有 由定义5 3 6知 它为严格正实函数 2 当s为实数时 为实数 且它在域解析 令 则有 从而有 16 很明显 当时 所以为非正实函数 定理5 3 6若为互质的正实函数 则 1 和是实系数多项式 2 和的所有零点在域内 3 也是正实函数 4 和的阶数之差不超过1 注意该定理为必要条件 定理5 3 7线性连续时间系统 式中 x为n维状态向量 y和u分别为输出和输入量 b和为n维向量 A为非奇异矩阵 且 为A的特征根 完全能控 则为正实传递函数的充分必要条件为 存在正定对称矩阵P和半正定对称矩阵Q 使得下式成立 17 5 39 5 40 证明 1 必要性 即由正实传递函数式 5 39 和式 5 40 令 由的正实性有 再令 则 从而 5 14 由于 再由式 5 41 可分解为 18 式中 为实系数多项式 所以由于完全能控 故存在 使 5 42 这里 对单输入单输出系统有 将上两式代入式 5 42 有 5 43 由于A为非奇异矩阵 且 则存在正定对称矩阵P 使李雅普诺夫方程成立 所以式 5 43 可写为 19 与原有正实函数相比较有 2 充分性 即由式 5 39 和式 5 40 正实传递函