素材：高中数学备课参考数学通报数学问题解答0207.doc

2002年第 7期数学通报46 数学问题解答 2002年 6月号问题解答 |P1 P3 | 2 (解答由问题提供人给出 ) =| AP1 | 2 +| AP3 | 2 -2 | AP1 | | AP3 | 1376若实数 a、b、x、y满足 ax+by = 3 , ax 2 + cos P1 AP3 2 33 44by = 7 ,ax +by = 16 ,ax +by = 4222 21 2 a 求 ax 5 + by 5的值= 1 + a+ 1 + a-2 1 + 出自于郭要红、戴普庆编著的中学数学研1 cos60 究 ,安徽大学出版社 ,1998年 11月 P96第 17题解因为 ax 3 + by3 = 16所以 ( ax 3 + by3)( x+y) = 16 (x + y)所以 ( ax 4 + by4) + xy (ax 16 (x + y)设正 ABC ,正 P1 P2 P3的外接圆半径分即 42 + 7 xy = 别为 r1 ,r2 ,则 因为 ax 所以 ( ax 7 (x+y)r12 = 33 a 2 = 31 a 2 ,r22 所以 (ax = 7 (x + y)2 | | 即 16 + 3 xy = 7 (x + y) = 31 a 2 (+ 11 +-) 2 .把 联立起来组成方程组 建立如图所示的直角坐标系 ,设 POx = ,16 (x+y) -7 xy = 42 则 7 (x+y) -3 xy = 1622 解得 x+y =-14. xy =-38| PP1 |= r1 +r2 -2 r1 r2cos (90-), 22 又因为 ax 4 + by4 = 42| PP2 |= r1 +r2 -2 r1 r2cos (210-) 所以 ( ax 4 + by4)( x+y) = 42 (x+y)= r12 +r22 + 2 r1 r2cos(30-), 所以 ( ax 5 + by5) + xy (ax 3 + by3) |PP3 |= r12 +r22 -2 r1 r2cos (30+ ).= 42 (x + y)所以 ax 5 + by5 = 42 (x+y) -16 xy 由海伦公式知 = 42 (-14)-16 (-38)S = P(P-a)( P-b)( P-c) P= 1 (a+ b+c)2 =-588 + 608 = 20 1377设 P1、P2、P3分别= 41 (a+b+c)( a+b -c)( c+a -b)( b+c -a) 是边长为 a的正 AB C三= 1 (a + b) 2 -c 2c 2 -(a-b) 2边 AB、BC、CA所在直线上4的点 ,且 P1、P2、P3分别分= 14(a+ b) 2 +(a-b) 2c 2 -(a 2 -b2) 2 -c 4 线段 AB、BC、CA之比为 ( -1). P为正 ABC= 12 (a 2 +b2)c 2 -(a 2 -b2) 2 -c 4 外接圆 O上任一点 .问 :以 4 | PP1 | 2 +| PP2 | 2 = 2 (r12 +r22)-PP1、PP2、PP3为边的三角形的面积是否是定值 ? cos(90-)-cos(30-)(湖北黄石二中杨志明 435000)2 =r12 r2(r12 +r2 + 4 r1 r2sin (60-) sin30 解依题意知 22) + )= 2 (r12 +r2 + 2 r1 r2cos(30 | AP1 | =| BP2 | =| CP3 |= a. |PP1 | 2 -| PP2 | 2 = 2 r1 r2cos(90-)+ 1 1 + a.cos (30-)= 4 r1 r2cos(60-) cos30 | BP1 | =| CP2 | =| AP3 |= 1 + = 23 r1 r2sin (30+ )由平面几何知识知 AP1 P3 BP1 P2 2 (| PP1 | 2 +| PP2 | 2)| PP3 | 2 -(| PP1 | 2 CP2 P3所以 P1 P2 =P2 P3 =P3 P1 .所以 P1 P2 P3| PP2 | 2) 2 -| PP3 | 4 = 4r12 +r22 +r1 r2cos(30+ 是正三角形 .) r12 +r22 -2 r1 r2cos (30 + ) 在 AP1 P3中 ,由余弦定理知 12 r12 r22sin2 (30+)-r12 +r22 -2 r1 r2cos(30+ 2002年第 7期数学通报)2 = 3r12 +r22 -2 r1 r2cos(30+ )2 + 12 r1 r2cos(30+)r12 +r22 -2 r1 r2cos (30+) 2 222) 2 -12 r1 r22sin2 (30+)= 3 (r1 +r2 -12 (r1 + 22 r22)r1 r2cos (30+ )+ 12 r1 r2 cos 2 (30+ )+ 2 2212 (r1 +r22)r1 r2cos (30+)-24 r1 r2 cos 2 (30+ 22 2) 2)-12 r1 r22sin2 (30+ )= 3 (r1 +r2 12 r12 r22cos 2 (30+)+ sin2 (30+)= 3 (r12 + 2) 22) 222 2 r2 -12 r1 r2 = 3 (r1 -r2 . 1S = b2 +c2 b+ -1 c(2) c 2 +a 2 a+ 2 -1 c(3)将 (1) +(2) +(3)得 : 2 222b2 a +b2 + +c+ c+a 2 a+ 2 b+ 2 -1 c = 2 (a+b+c) + (a-c)2 2 2 -2 (a-c) = 2 (a+b+c) + 2 ,因为 a b c,所以 2 (a-c) =(a-b)+(b-c)+(a-c) =| a-b|+| b-c|+| c-a|所以 a 2 +b2 +b2 +c2 +c 2 +a 2 2 (a+b+c) + 2 -(| a-b|+| b-c|+| c-a| ) (4)2 将 (4)式两边同除以 a+b+c得 : 2 222b2 a +b2 + +c+ c+a +a+b+c (| a-b|+| b-c|+| c-a| )2 ,2 (a + b+ c) 又由 a,b,c是 AB C的边长可知 ,当 a= = c,或 ( a, b,c) (a,a,0)时 (1) ,(2) ,(3)式时取等号 ,所以当 a= b=c,或 ( a, b,c) (a,a,0)时 ( 3 )式等号成立 .故命题得证 . 1380已知函数 f ( n)是定义在 N+上的增函数 ,且满足 ff ( n)= 3 n,求 f(2001). (浙江湖州市双林中学李建潮 313012)解由题设 ,显然有 f ( n) N+,且 f(3 n) = 3f(n) ( n N+) (1)以下分三步求 f(2001); ( a)求 f(1)与 f(2): 2002年第 7期数学通报48 显然 f(1) 1 ,假设 f(1) 3 ,则由题设可得 f(3) 3 ,且 3 1 =ff(1)f(3) 3矛盾 ,因此 ,f (1)= 2.于是在题设 ff ( n) = 3 n( n N +)中 ,令 n= 1立得 f(2)= 3. ( b)证不等式 : f(n + 1) f(n) + 3 (n N+) (2)假设 (2)式不真 ,即存在 n0 N+,使得 f(n0 + 1) f (n0)+ 3 ,则由题设 3 (n0 + 1) =ff(n0 + 1) ff(n0)+ 3 (江苏省苏州市第十中学沈建平ff(n0)+ 3 = 3 n0 + 3215006) 矛盾 ,因此 ,(2)式成立. 1383设 E是ABC内的一( c)最后 ,求 f(2001):= ACE, F由 f(1)= 2 ,f (2) = 3及 (1)、 分线的垂线的垂足 ,D是BC中= 6-18 =-72 f(2001)= 3f(667) 34 f(25) -6-72 = 34 f(33)-558 = 34 33 f(1)-558 37 = 2 -558 = 3816 (3) f(2001)= 3f(667) 3f(666)+ 3 = 3f(32 74)+ 9 = 33 f(74)+ 9 33f(72)+ 6+ 9 = 33 f(32 8)+ 171 = 35 f(8)+ 171 35f(6)+ 6+ 171 = 36 f(2)+ 6 35 + 171 = 36 3 + 1629 = 3816 (4)于是 ,由 (3) ,(4)二式 ,得知 : f(2001)= 3816 2002年 7月号问题 (来稿请注明出处编者) 1381设 P1 P2 P3是 3个相邻素数 ,(即 p1与 p2中间无素数 ,p2与 p3中间无素数)已知15 8 p1 +p2 +p3试证p3 -p1 6 (湖南吉首大学数学与计算机科学系彭明海416000) 1382求 | | x1 -x2 |-x3 |- -x2002 |的最大值 ,这里 x1 ,x2 , x2002是 1 ,2 , ,2002中的不同自然数. 点 ,延长 DF与BAC的外角平分线交于 G,证明 : EG与 BAC的外角平分线垂直. (安徽师大数学系郭要红241000) 1384如图 ,在ABC中 ,D分 BC之比为,E分 CA之比为,求 F分 BE之比 (江苏大丰高级中学刘正军224100) 1385设椭圆 C的离心率为 e, F1 ,F2为二焦点 ,P是椭圆上任一点 ,(P不在长轴顶点 ) ,r,R分别是 PF1 F2的内切圆 ,外接圆的半径.求证 Rr 2 e(1 -e) (江苏江都市大桥高级中学党庆寿225211) (上接 45页)轨迹是 y= 0 ,x 3 a.定理 3证毕.图 4综上 :当 a,