粗糙表面纳米颗粒的体积计算模型.doc

2009河南科技大学第六届大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。所选择的题号： A 参赛队员(打印并签名) ： 1. 2. 3. 组长联系方式： 粗糙表面纳米颗粒的体积计算模型摘要 本文通过建立数学模型研究了有关在粗糙表面上的纳米颗粒体积的估算的问题。本文主要解决了一下几个问题：1. 设计计算机自动识别纳米颗粒的方法的问题；针对这一问题本文依据纳米颗粒的判别方法（在突起部分中高度大于或等于5nm的是纳米颗粒），在MATLAB软件中编制了一套能判别某个突起是否为纳米颗粒的程序。只要输入所需数据（突起高度）就能达到自动识别纳米颗粒的目的。2. 纳米颗粒体积的估算问题；在解决这个问题时，本文将纳米颗粒分别近似看作圆锥体、有抛物线旋转形成的抛物球体及椭球体（仅是其中的一半）。由此我们建立了三个估算模型，在求解过程中本文利用微积分思想分别求出了纳米颗粒的总体积。最后我们考虑到各种模型的近似程度有所不同，我们对三个模型所求得的结果进行加权并求得平均值，最终结果视为纳米颗粒的估算值，以减小不同模型体积估算的偏差。但是鉴于时间较短，不可能做到十全十美，因此我们的模型是可以接受的。例如，本文将纳米颗粒近似看作了理想的规则体，而事实上纳米颗粒的形状是不规则的，因此本文所求得的结果可能存在较大的误差。只有借助高精密仪器，再结合微积分思想才能得到更为精确的结果。本文在求解过程中，使用了MATLAB,SPASS等数学软件，并建立了自动识别纳米颗粒的流程图，使得识别过程简明易懂。从而使本文的模型具有一定的可行，且估算结果具有相当高的精确性。一、问题重述纳米粒子（nanoparticle），是一种超微粒，即至少在一个维的尺度为1-100nm (nanoscale)颗粒的集合体。纳米粒子是纳米科技中的一个极为重要的方面，因为它在生物医学、光学和电子学等许多领域有重要的潜在应用价值。原子力显微镜(AFM)是对纳米粒子进行表征的最重要工具之一。AFM具有原子级的高分辨率，可以提供纳米粒子实时、实空间的三维图像，因而可以提供纳米粒子许多物理性质的定性和定量信息，如大小、形貌、表面结构和粗糙度等，也可以得到包括粒子大小、表面积、体积分布等统计信息。为方便观察和简化计算分析，目前利用AFM观察纳米粒子和其他结构的纳米材料绝大部分在粗糙度极小（i1=jA(i,j)5b(i,j)=1b(i,j)=0YN结束i512在MATLAB中运行程序如下：for i=1:512 for j=1:512 if A(i,j)=5; b(i,j)=1; else b(i,j)=0;end endendB=b(:,:)我们这里约定：“1”代表该突起是纳米颗粒；“0” 代表该突起不是纳米颗粒。将512512的高度数据矩阵输入到程序中，我们便得到了512512 的“0-1”判别矩阵。（二）、纳米颗粒体积估算模型我们通过对纳米颗粒的二维和三维AFM图像进行观察和分析，纳米颗粒的形状具有一定的规律，它们的形状近似于一些几何体。通过比较分析我们选定了三个较为接近的几何体，即圆锥体、抛物面体以及椭球体作为纳米颗粒体积的估计计算模型。由于三个几何体对纳米颗粒的近似程度有所不同，我们采取加权求平均值的方法来确定纳米颗粒的总体积的近似值。1.纳米颗粒底面积的确定由于512512个纳米材料高度数据（单位纳米）是在2mm2mm范围内均匀分布的。我们认为每一个高度所对应的底面积是相等的，即每一个纳米颗粒的底面积是相等的。而我们所建立的模型时将纳米颗粒近似看作了回转体，因此我们认为每一个纳米颗粒的底面是圆形面且面积相等。我们设纳米颗粒的底面积为S，半径为R。由以上结论我们得到纳米颗粒的底面积S的计算值：2.纳米颗粒总体积的计算模型在对纳米颗粒总体积进行近似计算时，我们的思路是在每个模型使用微积分的方法求得单个纳米颗粒体积的计算公式。利用所得计算公式求得所有纳米颗粒的体积，再将所有得到的体积进行加和，得到各模型的纳米颗粒总体积。最后将所有模型的纳米颗粒总体积进行加权求平均值，进而得到纳米颗粒总体积的估计计算值。下面以抛物面体模型为例进行模型建立：图1抛物球体的最大截面图图1是纳米颗粒近似体抛物球体的最大截面在二维坐标的投影图，如图建立坐标系，其中表示纳米颗粒的高度；R表示纳米颗粒底面的半径；dy表示在纳米颗粒上所取得的微元体的高度。根据图1我们可以得到纳米颗粒的最大截面的抛物线方程如下：我们取y为积分变量，它的变化区间为0,。我们将旋转抛物面体中相应于0,上任一小区间的薄片的体积，近似于底半径为、高为的扁圆柱体的体积，即体积元素于是所求旋转抛物面体的体积为：由此得到纳米颗粒体积的近似值为。将所提取出N个纳米颗粒的体积进行加和可以得到纳米颗粒的总体积：至此我们就找到了以抛物面体近似纳米颗粒而计算的近似公式。同理按照以上的思想方法，我们可以求得圆锥体模型和椭球体模型的近似公式，分别为： 最后我们进行加权求平均值。我们以表示三个模型总体积的平均值，以、及表示为圆锥体模型、抛物面体模型及椭球体模型总体积的权重，得到如下公式： 最终我们计算得出的的值即为我们想要得到的。五、 模型求解 在上述模型建立之后，下面是我们模型的求解过程:1. 进入模型的高度数据确定根据题目中的要求，高度大于或等于5nm的是纳米颗粒，是需要计算的；而低于5nm的则是高分子材料自身的结晶结构，不参加计算。在我们的模型中，我们运用MATLAB确定满足要求的突起颗粒部分。其中我们的程序如下： a=; %表示512512高度数据矩阵for i=1:512 for j=1:512 if a(i,j)=5 disp (a(i,j) end end end在上面的程序中，我们把程序进行了改进，其中在操作过程中，a=输入的视具体的矩阵，而本文在写作时考虑到程序的适用范围，故稍作调整，更具有一般性，且容易理解。通过MATLAB软件我们共筛选出来的突起部分一共有2498个，详细数据见本文附表。2. 圆锥体模型体积求解过程圆锥体模型的求解过程，我们的程序如下：A=a; %a表示2498个纳米颗粒所组成的行向量S=;v=1/3*S*sum(A) %v表示总体积圆锥体模型的总体积为=1.388420258941648e+0053. 抛物面体模型体积求解过程和圆锥体模型类似，抛物面模型求解过程如下：A=a; %a表示2498个纳米颗粒所组成的行向量S=;v=1/2*S*sum(A) %v表示总体积抛物面体模型的总体积为=2.082630388412472e+0054椭球体模型体积求解过程第三个模型的程序：A=a; %a表示2498个纳米颗粒所组成的行向量S=;v=1/2*S*sum(A) %v表示总体积计算结果为：椭球体模型的总体积为 =2.776840517883295e+0055. 总体积确定过程以上三个模型的结果结果明显存在差异，因此本文考虑采用一种加权平均法来减小这种差异的存在。对于三种模型的各自权重，我们根据纳米颗粒的高度案范围统计结果进行分析，通过SPASS软件得到的高度个数统计表为：其中“1”表示高度在5 10nm之间； “2”表示高度在10 15nm之间； “3”表示高度在15 20nm之间； “4”表示高度在20 25nm之间； “5”表示高度在25nm以上；经过分析得到，当高度越低时，纳米颗粒的突起就越接近于抛物线型，即更适用于抛物面模型；当高度越高时，纳米颗粒的突起就越接近于圆锥型，即此时更适用于圆锥模型。根据统计结果我们作如下的的权重分配，抛物面模型的权重给定为0.5，椭球体模型的权重给定为0.3，圆锥体模型给定为0.2，然后通过加权平均得到加权平均后的总体积。=0.2*+0.5*+0.3*加权平均后的总体积为=2.152051401359554e+005。六、模型评价对于一般物体来说，求解物体的体积，尺寸和形状参数的过程，是获取方案中一道常见的工序，体积是一个重要的颗粒三维参数，为人类了解地球资源等十分重要。本文中的纳米粒子（nanoparticle），是一种超微粒，即至少在一个维的尺度为1-100nm 的投入较多，其次由于其自身的数量及限制，手工的测量方法毫无办法。因此我们选用了精确性、可行性，适应性及实用性较好的计算机识别和计算的模型，这种模型具有更好的可操作性。我们在建立模型的时候，充分考虑了纳米级的颗粒的表面特点，对于题目问题中所涉及的几点说明进行了详尽的分析，然后设计了一种算法来估算在粗糙的高分子材料表面形成的纳米颗粒的体积。纳米颗粒的高度、形状等的不确定性给问题的处理有相当的影响。因此我们通过MATLAB软件得到需要进行计算的颗粒数目为2498个，并得到了它们的大致高度范围。在本文的模型中我们考虑把单个颗粒的的形状视为抛物线旋转体结构，再以一到广，在操作过程中本文使用了抛物线旋转体型、圆锥型或者椭圆旋转体型三种模型。在颗粒体积计算时使用了微积分原理的思想，并给出了模型假设中的各种假设。本文的优点就在于对纳米颗粒的数学图形化，并建立了纳米颗粒的计算机自动识别流程图。本文的模型的简单、可行，且估算结果具有相当高的精确性。同时本文的模型存在显著的缺点：一、模型假设的绝对性；二、模型建立的主观性较强。模型存在的问题在显示应用中是要给与考虑分析的，但是限于时间紧迫，因此我们模型的对问题进行了简化。七、参考文献1 同济大学应用数学系，高等数学（第五版），北京：高等教育出版社 ，20072 赵静 但琦， 数学建模与数学实验M， 北京：高等教育出版社 ， 20032 江世宏， MATLAB语言与数学实验， 北京：科技出版社 ， 2007附录：筛选出来的纳米颗粒的高度数据6.790608 6.265961 5.07358 5.210704 9.872913 12.85386 14.40992 15.28632 15.07169 14.18337 12.71078 10.38564 8.489751 7.774323 6.79657 6.242113 7.112551 7.649123 7.511999 6.367313 6.790608 9.556932 11.23223 10.8924 9.378075 6.933694 5.812856 6.552132 6.444818 5.675732 5.270323 6.665408 7.04697 6.850228 5.973828 5.818818 8.209542 9.753675 10.29025 10.40352 9.92657 8.865351 7.29737 5.061656 5.72939 11.29185 15.00611 16.94969 17.89167 17.82013 17.16432 15.66192 13.31889 10.47507 6.534247 5.914209 9.455579 12.15036 13.66468 14.51127 15.44133 15.78712 15.70962 14.86899 13.11023 11.0951 9.157484 9.413846 9.497313 9.413846 9.497313 9.741751 9.825218 10.15908 10.65392 10.56449 9.968303 8.620913 6.766761 6.581942 7.643161 7.619313 6.754837 5.300133 5.019923 5.580342 5.717466 6.337504 6.880037 6.337504 5.723428 5.878437 5.622075 6.248075 7.058894 7.207942 6.754837 5.550532 5.264361 5.419371 5.168971 8.859389 12.25767 14.06413 14.85706 14.64244 14.01047 12.53192 10.38564 8.913046 8.525522 7.971065 7.750475 8.45398 9.157484 8.769961 7.708742 6.063256 5.395523 9.008437 11.27396 12.61539 12.10863 10.67181 8.233389 5.866513 6.355389 6.254037 5.645923 5.562456 5.783047 5.663809 5.043771 5.496875 8.221465 9.682132 10.30217 10.24851 9.944456 8.966703 7.655085 5.747275 5.180894 10.48699 13.95085 16.06733 17.09278 17.27164 16.61583 14.94649 12.85983 9.759637 5.82478 6.862151 10.06966 12.34114 13.78392 14.71398 15.39364 15.81693 15.65596 14.98823 13.56929 11.38127 9.038246 8.364551 8.531484 8.614951 8.531484 8.781884 8.865351 9.115751 9.700018 9.694056 8.847465 7.756437 5.818818 6.194418 8.269161 9.759637 10.40352 10.12927 8.930932 7.643161 7.619313 7.756437 7.225827 5.771123 6.927732 8.316856 8.358589 7.559694 6.259999 5.109352 5.192818 5.568418 5.872475 5.347828 6.009599 7.005237 6.999275 6.146723 8.143961 11.37531 13.43217 14.40396 14.18933 13.55141 12.16825 10.43929 9.723865 9.503275 9.115751 8.984589 9.688094 9.974265 9.67617 8.614951 6.880037 7.362951 10.3916 12.49019 13.40832 12.81809 11.22626 9.032284 5.920171 5.848628 6.331542 6.063256 5.377637 5.031847 7.589504 9.217103 9.843103 9.872913 9.568856 8.847465 7.70278 6.051332 9.384037 12.50807 14.87495 15.98983 16.17465 15.34594 13.68257 11.42301 8.412246 7.267561 10.38564 12.65712 13.92105 14.76764 15.44729 15.70365 15.54268 14.78552 13.61699 11.7688 8.996513 7.565656 7.738551 7.822018 7.738551 7.899523 7.899523 8.227427 8.728227 8.805732 8.209542 6.862151 5.258399 7.792208 10.20678 11.94766 13.01484 13.07446 11.87611 9.741751 8.626875 8.513599 8.233389 7.279485 5.568418 5.365713 7.595465 8.728227 8.686494 8.054532 6.67137 5.246475 7.17217 7.92337 7.583542 6.736951 5.389561 6.999275 10.40352 12.54981 13.5216 13.65276 13.11023 11.80457 10.67181 10.46314 10.08158 9.705979 9.658284 10.03985 10.24255 9.944456 8.889199 7.249675 5.180894 8.221465 11.17261 13.02676 13.70046 13.28908 11.94766 9.598665 6.659447 5.007999 5.920171 5.741313 7.160247 8.793808 9.598665 9.640399 9.342303 8.626875 7.494113 6.188456 7.631237 11.18453 13.31293 14.67821 14.95842 14.13567 12.40076 10.23659 7.231789 7.154285 10.27236 12.21594 13.66468 14.68417 15.28036 15.54268 15.29825 14.64244 13.64084 11.88207 9.455579 6.856189 6.778685 6.868113 6.95158 6.874075 6.790608 7.213904 7.720665 7.887599 7.303332 6.206342 6.599828 10.36775 13.12215 15.36979 16.10906 15.83482 14.80341 12.93733 10.98183 10.03388 9.419808 8.471865 7.106589 6.623675 8.436094 9.074018 8.948818 8.155884 6.856189 5.997675 7.339104 7.839904 7.667008 6.897923 5.633999 5.741313 7.07678 7.058894 6.206342 5.622075 9.115751 11.26204 12.38884 12.60346 11.9715 11.25607 11.04741 10.91625 10.53468 9.89676 9.598665 9.890798 10.08754 9.705979 8.811694 7.255637 6.45078 9.986189 12.42461 13.68257 13.93893 13.43217 12.16825 10.06369 7.035047 5.622075 5.532647 5.180894 6.587904 8.388399 9.181332 9.378075 9.074018 8.436094 7.541808 6.570018 5.508799 5.711504 9.509237 11.88207 12.99099 13.00887 12.43057 10.68373 8.597065 5.920171 6.748875 9.855027 11.79861 13.2235 14.23106 14.98823 15.15516 15.07169 14.39204 13.30101 11.69726 9.509237 6.736951 5.973828 6.218266 6.122875 5.94998 5.693618 5.932094 6.516361 6.754837 6.32558 5.216666 8.090304 12.18613 15.09554 17.33125 18.30901 18.2792 17.66512 16.03752 13.56929 11.68533 10.06369 9.014399 7.553732 5.592266 6.707142 8.686494 9.39596 9.354227 8.632837 7.404685 5.508799 5.759199 7.356989 8.024723 7.935294 7.345066 6.164609 5.031847 7.720665 9.05017 8.95478 8.108189 6.331542 7.786246 10.01004 11.32166 11.70918 11.41705 11.20838 11.08914 10.96394 10.58834 10.03388 9.407884 9.533084 9.658284 9.449618 8.728227 7.17217 5.019923 5.657847 5.944018 5.049733 7.154285 10.18889 12.54981 13.73623 14.08202 13.49775 12.15632 10.14716 7.380837 5.502837 7.404685 8.537446 8.758037 8.54937 8.090304 7.458342 6.832342 5.94998 7.708742 10.01004 11.4707 11.58398 10.77316 8.781884 7.04697 6.927732 9.866951 11.70918 13.12811 14.04625 14.63051 14.70205 14.36223 13.67661 12.49019 10.96394 8.513599 5.645923 5.013961 5.097428 5.049733 10.47507 14.81533 17.71878 19.36426 20.41952 20.55068 19.76371 18.46402 16.32369 13.93297 11.70918 10.15908 8.519561 6.713104 6.838304 8.388399 9.258837 9.294608 8.740151 7.506037 5.60419 5.467066 6.808494 7.309294 7.219866 6.707142 5.526685 7.339104 9.598665 10.34987 10.08754 9.229027 7.625275 5.508799 6.027485 7.273523 7.42257 6.391161 7.583542 9.39596 10.62411 10.91625 10.96394 11.01164 10.8924 10.68373 10.30813 9.67617 8.883237 8.501675 8.632837 8.507637 7.70278 6.236151 6.42097 8.137999 9.348265 9.55097 8.746113 7.100627 8.310894 10.76124 12.28152 13.14004 13.40236 12.82406 11.65552 9.64636 6.880037 6.456742 7.684894 7.988951 8.036646 7.750475 7.29737 6.927732 6.04537 5.455142 8.263199 9.312494 10.09947 9.038246 8.233389 5.580342 5.723428 8.650722 10.65392 12.15632 13.31889 13.80777 13.87931 13.53352 12.84194 11.81649 9.789446 7.750475 6.492513 12.24575 16.74699 19.82333 21.71325 22.76851 22.97718 22.35118 21.04552 18.98866 16.25811 13.35466 10.87451 9.234989 7.511999 5.443218 7.166208 8.632837 9.413846 9.443656 9.133637 8.072418 6.164609 5.681694 6.182494 6.182494 5.592266 7.571618 9.670208 10.41545 10.24255 9.556932 8.036646 6.593866 5.997675 5.818818 6.218266 7.386799 8.889199 9.795408 9.610589 8.418208 6.802532 7.684894 10.08754 11.57206 11.78668 11.08318 10.45718 10.42737 10.22467 10.02196 9.729827 9.354227 8.483789 7.768361 7.649123 7.356989 6.474628 5.091466 6.605789 8.573218 10.12331 11.17261 11.29781 10.57642 9.187294 6.444818 5.276285 6.397123 5.759199 6.605789 7.977027 8.000875 7.100627 5.443218 5.628037 9.181332 11.29185 12.23383 12.75251 12.5975 12.19209 10.86259 8.692456 6.099028 5.174933 6.57598 7.04697 7.106589 7.07678 7.04697 6.766761 5.902285 6.128837 7.184094 7.476227 7.094666 5.455142 7.816056 9.89676 11.30973 12.63327 13.37255 13.18773 12.83598 11.894 10.68969 9.163446 6.617713 8.090304 14.43377 18.42228 21.57613 23.46605 24.42592 24.80152 24.34245 23.03083 21.13495 18.4044 14.91668 12.0967 10.02792 8.293008 6.146723 6.570018 8.114151 9.062094 9.17537 9.115751 8.215503 6.391161 5.216666 5.216666 5.192818 7.792208 9.467503 10.38564 10.29025 9.527122 8.42417 7.911446 8.149923 8.644761 8.889199 9.545008 10.63007 11.12491 11.10703 10.16505 8.137999 7.988951 11.23819 13.22946 14.20722 13.58122 12.54981 10.74931 9.878875 9.759637 9.473465 9.354227 9.234989 8.781884 8.495713 8.120113 6.993313 5.860551 7.762399 9.992151 11.63167 12.50807 12.54981 11.57802 9.944456 7.374875 5.258399 6.975427 7.511999 6.957542 5.312056 8.137999 10.68969 11.4707 11.08318 10.09947 8.781884 7.124475 6.224228 8.847465 10.71354 11.66148 11.8463 11.87015 10.79105 9.545008 7.54777 5.270323 6.087104 6.224228 6.540209 6.605789 6.409047 5.711504 5.151085 5.371675 6.880037 8.960741 10.61815 11.68533 12.57962 12.4723 12.10266 11.23223 9.777522 8.316856 5.938056 8.000875 14.59474 19.50139 22.64331 24.69421 25.64811 25.93428 25.29636 23.89531 21.83249 19.25695 15.92425 12.84194 10.77316 9.038246 6.540209 6.391161 8.090304 9.121713 9.39596 9.240951 8.167808 6.593866 7.613351 9.455579 10.12331 10.02792 9.437694 8.501675 8.155884 8.734189 9.562894 9.968303 10.54661 11.29185 11.69726 11.5184 10.65988 8.632837 5.842666 8.919008 12.00131 14.15356 14.97034 14.68417 13.65276 11.5959 9.807332 9.348265 9.068056 8.948818 8.919008 8.966703 9.097865 8.895161 8.275123 7.482189 6.349428 7.541808 9.938494 11.66148 12.54981 12.59154 12.03708 10.48699 7.92337 5.192818 5.562456 7.112551 7.988951 7.690856 6.462704 5.57438 9.556932 12.19209 13.40236 13.43217 12.53788 11.30377 9.485389 6.820418 6.42097 9.044208 10.66585 11.35743 11.46474 10.98183 10.24851 8.668608 6.504437 5.133199 5.789009 6.361351 6.593866 6.242113 5.461104 5.735351 7.553732 9.288646 10.42737 11.32166 11.20838 10.66585 9.795408 8.251275 6.95158 9.014399 16.1031 20.83685 23.89531 25.85678 26.89415 27.09089 26.61394 25.04596 22.88775 20.30624 16.9795 13.4739 11.05933 9.401922 7.160247 5.532647 7.565656 8.847465 9.449618 9.294608 8.29897 6.725028 6.874075 8.626875 9.461541 9.533084 8.769961 8.090304 8.07838 9.074018 10.15908 10.73739 11.30973 11.80457 12.29345 12.19806 11.25607 9.39596 6.605789 6.939656 10.69566 13.52756 15.34594 16.07329 15.87655 14.92265 13.12215 10.40948 8.191656 7.822018 7.959142 8.346665 8.817656 9.455579 9.670208 9.974265 9.938494 9.312494 7.762399 5.031847 5.002037 7.899523 9.878875 11.43493 12.32326 12.44846 11.98939 10.85066 8.45398 6.564056 6.265961 6.057294 6.599828 7.392761 8.018761 8.143961 7.839904 7.374875 7.07678 6.444818 5.633999 5.335904 8.221465 11.36339 13.66468 14.70802 14.91072 14.3503 13.37255 11.88804 9.652322 6.23019 7.070818 9.533084 11.06529 11.76284 11.45282 10.46314 9.062094 7.398723 5.318018 5.163009 5.902285 6.051332 5.866513 5.097428 6.355389 8.17377 9.39596 9.956379 10.08754 9.127675 8.167808 6.874075 10.70758 18.04668 22.19021 25.07577 26.78683 27.65727 27.84805 27.20417 25.63619 23.47202 21.06937 17.7307 13.80777 11.1428 9.151522 6.897923 5.35379 7.213904 8.57918 9.264799 9.199218 8.370513 6.70118 6.695218 8.370513 9.20518 9.115751 8.436094 7.756437 7.917408 9.252875 10.5943 11.42301 11.82842 12.32326 12.74059 12.7227 11.70322 9.843103 7.058894 7.45238 11.54821 14.29068 16.19849 17.00931 16.81853 15.87059 13.90912 10.94009 8.054532 6.850228 7.32718 7.965104 8.859389 9.843103 10.73143 11.29185 11.42301 10.88644 9.509237 7.458342 5.914209 7.643161 9.872913 11.26204 11.89996 12.03112 11.57206 10.43929 8.29897 6.999275 6.880037 7.094666 7.130437 7.762399 8.561294 9.109789 9.312494 9.187294 8.805732 8.257237 7.625275 7.07678 9.467503 12.27556 14.40992 15.45325