立体几何及空间向量法.doc

立体几何及空间向量法解决立体几何问题一、 知识点（一）、空间点线面的位置1、 直线与直线的位置（1） （2） （3） 2、直线与平面的位置（1） （2） （3） 3、平面与平面的位置（1） （2） （二）空间点线面的证明1、平行线线 线面 面面2、 垂直线线 线面 面面（三）空间向量1、空间直角坐标系的建立：3、 空间直角坐标的读取：4、 空间向量坐标的运算：（1） （2）= （3）= （4） （5），则 5、 平面法向量的求法：nba如图,设=( x1,y1,z1)、=(x2,y2,z2)是平面内的两个不共线的非零向量，则步骤如下：第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据na = 0且nb = 0可列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐标. 例1：在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量. AAABCDOA1B1C1D1zxy6、 空间向量法解决证明问题（1）线线平行： （2）线线垂直： （3）线面平行： （4）线面垂直： （5）面面平行： （6）面面垂直： 7、 空间向量法解决空间角问题线线角：线面角：面面角：8、 空间向量法解决空间距离问题：点面距离：线面距离：面面距离：二、 典例剖析（一）考点一 点线面的证明DD1C1A1EFABCB1例1、【2015高考新课标2，理19】如图，长方体中,，点，分别在，上，过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（）详见解析；（）【考点定位】1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角ABCDEA1B1C1变式训练1、【2015江苏高考，16】如图，在直三棱柱中，已知，设的中点为，.求证：（1）；（2）.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析（1）由三棱锥性质知侧面为平行四边形,因此点为的中点，从而由三角形中位线性又因为，平面，平面，所以平面又因为平面，所以因为，所以矩形是正方形，因此因为，平面，所以平面又因为平面，所以变式训练2、【2015高考安徽，理19】如图所示，在多面体，四边形，均为正方形，为的中点，过的平面交于F. （）证明：； （）求二面角余弦值.【答案】（）；（）.【解析】试题分析：（）证明：依据正方形的性质可知，且，从而为平行四边形，则，根据线面平行的判定定理知面，再由线面平行的性质定理知.（）因为四边形，均为正方形，所以，且，可以建以为原点，分别以为轴，轴，轴单位正向量的平面直角坐标系，写出相关的点的坐标，设出面的法向量.由得应满足的方程组，为其一组解，所以可取.同理的法向量.所以结合图形知二面角的余弦值为.试题解析：（）证明：由正方形的性质可知，且，所以四边形为平行四边形，从而，又面，面，于是面，又.设面的法向量，而该面上向量，由此同理可得.所以结合图形知二面角的余弦值为.（二）考点二 线线角（异面直线所成角）例2、（1）(2013沈阳调研)在直三棱柱A1B1C1 ABC中，BCA90，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是()A.B. C. D.（2）如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为_变式训练1：2014新课标全国卷 直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A. B. C. D.变式训练2：如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_. BC A MxzyB1C1D1A1CDMA（三）考点三 直线与平面所成的角例3、(2013湖南高考)如图，在直棱柱ABCD A1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13. (1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值zxyC1A1B1ACBO变式训练1、正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为，求AC1与侧面ABB1A1所成角的余弦值。变式训练2 、(2013福建高考)如图，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，ABDC，AA11，AB3k，AD4k，BC5k，DC6k(k0)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值变式训练3 、2014福建卷 在平面四边形ABCD中，ABBDCD1，ABBD，CDBD.将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图15所示(1)求证：ABCD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值（四）考点三 二面角例4、(2013新课标卷)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1ACCBAB.(1)证明：BC1/平面A1CD；(2) 求二面角DA1CE的正弦值变式训练1、（2014年杭州二模）如图，在直三棱柱中，,点分别是, 的中点. （I）求证：平面； （II）求二面角的余弦值.变式训练2、2014新课标全国卷 如图，三棱柱ABC -A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C.(1)证明：ACAB1；(2)若ACAB1，CBB160，ABBC，求二面角A-A1B1 -C1的余弦值（五）考点五 点面距离zxyCC1A1B1AB例5、在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=,AC=BC=1,ACB=90,求B1到面A1BC的距离.ABCDC1D1A1B1第3题变式训练：已知正方体的棱长为a(1)求点到平面的距离；(2)求平面与平面所成的二面角余弦值解 (1)按如图3-1所示建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为、，向量，ABCDC1D1A1B1(O)xy3-1z设是平面的法向量，于是，有，即令得于是平面的一个法向量是 因此，到平面的距离(也可用等积法求得) (2) 由(1)知，平面的一个法向量是又因，故平面的一个法向量是 设所求二面角的平面角为(结合图形可知二面角是锐角，即为锐角)，则 （六）强化训练1、2014中山期末 如图J124所示，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PAAB2，BC4，E是PD的中点(1)求证：平面PDC平面PAD；(2)求二面角EACD的余弦值；(3)求直线CD与平面AEC所成角的正弦值图J1242、2011四川理如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA11，延长A1C1至点P，使C1PA1C1，连结AP交棱CC1于点D.(1)求证：PB1平面BDA1；(2)求二面角AA1DB的平面角的余弦值第1题解：如图171，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A1xyz，则A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，P(0,2,0)(1)在PAA1中有C1DAA1，即D.(1,0,1)，(1,2,0)设平面BA1D的一个法向量为n1(a，b，c)，则令c1，则n1.图17n11(1)2(1)00，PB1平面BDA1，(2)由(1)知，平面BA1D的一个法向量n1.又n2(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量，cosn1，n2.故二面角AA1DB的平面角的余弦值为.3、已