结构力学图乘法

1 图乘法原理 建立方程 逐杆积分 在杆件数量多的情况下不方便 梁 刚架等弯曲变形为主的构件位移计算公式 称莫尔积分 图乘法的思想 利用图形静矩的概念将图形积分变为图形相乘 4 4图乘法 2 图乘法的适用条件 1 杆件轴线是直线 2 杆段的弯曲刚度EI为常数 3 图图中至少有一个是直线图形 3 图乘法公式 杆轴为直线 杆段EI为常数 图乘法是Vereshagin于1925年提出的 他当时为莫斯科铁路运输学院的学生 Mp dx 4 注意事项 1 必须符合图乘法的适用条件 3 同侧弯矩图相乘为正 反之为负 还记得吗 4 拱 曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积分的方式求解 5 应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心位置 b 几中常见图形的面积和形心的计算公式 a l h 三角形 C C l h 顶点 二次抛物线 l h 顶点 c N次抛物线 l h 顶点 c 二次抛物线 3l 4 l 4 3 图形相乘的几种情况 1 常见图形面积和形心 矩形 三角形 标准二次抛物线 2 梯形相乘 bc取负值 3 一般形式的二次抛物线图形相乘 4 曲线图形与折线图形相乘 5 阶形杆件图形相乘 M x x l x C 对于等直杆有 当M图为正弯矩时 应代以正号 当M图为负弯矩时 应代以负号 b 几中常见图形的面积和形心的计算公式 a l h 三角形 C C l h 顶点 二次抛物线 l h 顶点 c N次抛物线 l h 顶点 c 二次抛物线 3l 4 l 4 例1求 EI等于常数 解 作图图 如右图所示 分段 分为AC CB两段 分块 图的AC段分为两块 如果将AC段的图如下图那样分块 就比较麻烦 图 例2求 EI等于常数 作图图 如下页图所示 解 1 2 1 y1 2 y3 8 12 4 4 MP图 1 3 y2 图 1 A C B B A C kN m 例3求 EI等于常数 解 作图及图 如右所示 分段 分为AB BC两段 分块 图的BC段分为两块 例5 5求 CH EI等于常数 解 作MP图和图见下页图 分块 MP图的AB段分为两块 作业 4 3 a c 4 5互等定理 互等定理适用于线性变形体系 即体系产生的是小变形 且杆件材料服从虎克定律 一 功的互等定理 功的互等本质上是虚功互等 下图给出状态I和状态II 令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功 得到 同样 令状态II的平衡力系在状态I的位移上做虚功 得到 所以 即 在任一线性变形体系中 第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功W12等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21 二 位移互等定理 在任一线性变形体系中 由荷载FP1引起的与荷载FP2相应的位移影响系数 21等于由荷载FP2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数 12 即 12 21 由功的互等定理可得 在线性变形体系中 位移 ij与力FPj的比值是一个常数 记作 ij 即 或 例1验证位移互等定理 例2验证位移互等定理 解 三 反力互等定理 反力互等定理只适用于超静定结构 因为静定结构在支座移动时只产生刚体位移 其内力和支座反力均等于零 根据功的互等定理有 在线性变形体系中 反力FRij与Cj的比值为一常数 记作rij 即 或 所以 得 例6 3验证反力互等定理 可见 r12 r21 在任一线性变形体系中 位移C1引起的与位移C2相应的反力影响系数r21等于由位移C2引起的与位移C1相应的反力影响系数r12 四 位移反力互等定理 根据功的互等定理有 令 上述支座可以是其它种类的支座 则支座位移 支座反力应与支座种类相应 位移反力互等定理在混合法中得到应用 在任一线性变