大学物理学课后答案黄时中著中国科学技术大学出版.doc

习题一1.2.一质点沿轴运动，坐标与时间的变化关系为，式中分别以、为单x224ttx=tx,ms位，试计算(1)在最初内的平均速度和末的瞬时速度；s2s2(2)末到末的位移、平均速度；s1s3(3)末到末的平均加速度；此加速度是否可以s1s3用式计算？221aaaave+=(4)末的瞬时加速度。s3解：(1)最初内的平均速度为：s2)/(0200202smxxtxvtt=(2)末的瞬时速度为：s2smtdtdxvtt/44422=末到末的位移、平均速度分别为：s1s3mxxxtt82613=smtxv/428=(3)末到末的平均加速度为s1s3213=ttvvtva而smdtdxvtt/833=smdtdxvtt/011=所以2/4208sma=而该质点的瞬时加速度为222222/4)24(smdtttddtxddtdva=保持不变，因此，加速度是否可以用式计算，221aaaave+=事实上，该质点做匀加速直线运动。1.3.路灯距地面的高度为，一个身高为的人在路上匀速运动，速度为，如图T1.3。求hl0v(1)人影中头顶的移动速度；(2)影子长度增长的速率。解：(1)人影中头顶位置应该在地面上做一维直线运动，设路灯的正下方为坐标原点，人O影中头顶位置坐标为，根据三角形相似的原理，人影P中头顶的移动速度为：0vlhhdtdOPv=(2)由于影子长度等于人影中头顶位置和人位置的水平距离，所以影子长度增长的速率为：00vlhlvvv=1.4.一质点的运动方程为，式中，分别以、为单位。试求：ktjtitr+=24)(rtms(1)它的速度与加速度；(2)它的轨迹方程。解：(1)速度和加速度分别为和kjtdtrdv+=8jdtvda8=(2)令，与所给条件比较可知kzjyixtr+=)(，1=x24ty=tz=所以轨迹方程为21,4xyz=1.5.在坡度为的山脚用步枪朝山上射击，如图T1.5所示。如果子弹出枪口的速度值30=为，方向与水平面成角，求子弹落地点到山脚的距离。10150vms=60=l解：取发射点为坐标原点，直接用矢量进行计算，tgvv+=02021tgtvr+=当子弹落地时，有（*）3=ctgrryx而ttvrxx750=2209.49.1299.4ttttvryy=代入*式，可得st7.1739.4150=mtvlx1530cos0=1.6.一抛体以初速沿与水平方向成角的方向发射。计算：10.600=smv060(1)抛体可达到的最大水平距离和最大高度；(2)射出30后的速度和高度；s(3)当抛体高度达到时的速度和时间。km10解：(1)抛体的射程和射高分别为kmgvR8.318.9866.06002sin220=kmgvH8.138.9275.06002sin2220=，tgvv+=02021tgtvr+=(2)由，*tgvv+=02021tgtvr+=将，代入，可得)866.05.0(6000jiv+=jg8.9=，4.375=vkmry2.11=(3)取代入*式，得kmry10=，（计算略）st3.25=smv/7.404=1.8.在500米的高度内一般步枪可以打下未配备装甲的飞机。设枪弹的速度为800米/秒，飞机的高度为200米，速度为1440千米/时。某一时刻射击者距离飞机300米(图T1.8)。(1).此时应瞄准飞机A的前方B点开枪方能击中飞机(BA称为“提前量”)，试问B距A多少米？(2)实际经验要求“提前量”为射击者到飞机距离的一半(即)，试定性说明为什么这一要求与(1)中计12ABAC=算结果有偏离？解：(1)设B距离A为r，飞机速度，子弹速度，子1v2v弹发射t秒后，击中飞机。直角顶点处为O。则22)(ABOAOCBC+=将，代入上式，可得tvBC2=hOC=22hACOA=tvAB1=，st285.0=mtvAB114400285.01=1.9.一物体从静止开始，先以大小的切向加速度运动一段时间后紧接着就以大小的切向加速度运动直至停止。若物体整个运动的时间为，证明物体运动的总路程为：t22st=（+）证：该物体做直线运动，设加速后最高速为，加速时间，减速时间v1t2t则，又21ttv=ttt=+21易知，+=tt1+=tt2所以22221)(22121ttts+=+=1.18.(1)低速炮弹以仰角射出。出膛速度为，打中了4100处高度与04010220vms=m炮身相等的物体，问空气阻力使炮弹的射程减少了多少？(2)若出膛速度为，仰角仍为，一般实际射程只有几十千米。问此时101000vms=40空气阻力使炮弹的射程减少了多少？(3)从以上两种情况可以知道，当炮弹出膛速度超过音速时，阻力大大增加，这就是所谓的“音障”。为克服这个困难应当怎么办？解：(1)理论射程为mgvR48648.9985.02202sin220=射程减少了764米。(2)速度为时，理论射程为101000vms=kmgvR5.1008.9985.010002sin220=1.19.两千多年前，埃拉托色尼就通过卓越的分析求出地球的半径。他住在尼罗河口的亚历山大城，在仲夏日的中午观察到太阳光线与当地的竖直线成角，如图T1.19所7.2示。他还知道，住在亚历山大城以南地方的居民在804.5km同一时间看见太阳正在头顶，根据这些资料他推算出地球的半径。试问他的结果是多少？解：根据上述资料，地球的周长为kmkmS402252.73605.804=因此，地球半径为kmSR64022=1.20.测量光速的方法之一是旋转齿轮法。一束光线通过轮边齿间空隙到达远处的镜面上，反射回来时刚好通过相邻的齿间空隙(见T1.20图)。假设齿轮的半径是，轮边共有5005.0cm个齿。当镜与齿之间的距离为时，测得光速为。试求：500m513.010kms(1)齿轮的角速度为多大？(2)在齿轮边缘上一点的线速率是多少？解：(1)光反射一次回到齿轮所需时间是：ssmmt6181033.3100.32500=齿轮旋转的角度是rad0126.05002=所以，齿轮旋转的角速度为13770=sradt(2)在齿轮边缘上一点的线速率是：15.18805.03770=smrv1.21.一质点沿半径为的圆周运动，其角坐标(以弧度计)可用下式表示10cmrad324t=+其中的单位是秒()试问ts(1)在时，它的法向加速度和切向加速度各是多少？2ts=(2)当等于多少时其总加速度与半径成角？45解：(1)在时，注意到不随时间变化，法向加速度和切向加速度为：2ts=r222224.230)12(1.0)(=smrtrrratr228.4)24(1.0)2(=+=smrtrrat(2)由于rrrrrar)(22=)2(rrra=+=所以要使总加速度与半径成角，必须45=2即tt24)12(22=解得613=t所以67.2423=+=t1.23.如图T1.23所示，杆以匀角速度绕点转动，ABA并带动水平杆上的质点运动。设起始时刻杆在竖直OCM位置，。OAh=(1)列出质点沿水平杆的运动方程；MOC(2)求质点沿杆滑动的速度和加速度的大MOC小。解：(1)对于三角形OAB来说)(ttghtghx=(2)质点沿杆滑动的速度和加速度的大小分别为MOCthdtdxv2cos=tthdtdva32cossin2=1.24.甲乙两船，甲以的速度向东行驶，乙以的速度向南行驶。问坐在乙船10/kmh15/kmh上的人看来，甲船的速度如何？坐在甲船上的人看来乙船的速度又如何？解：以地球为参照系，设、分别代表正东和正北方向，则甲乙两船速度分别为ij，hkmiv/101=hkmjv/152=根据伽利略变换当以乙船为参照物时，甲船速度为hkmjivvv/)1510(21+=hkmv/1.18151022=+=31.561015=arctg即在乙船上看，甲船速度为，方向为东偏北18.1/kmh31.56同理，在甲船上看，乙船速度为，方向为西偏南。18.1/kmh31.561.25有一水平飞行的飞机，速率为，在飞机上安置一门大炮，炮弹以水平速度向前射0vv击。略去空气阻力，(1)以地球为参照系，求炮弹的轨迹方程；(2)以飞机为参照系，求炮弹的轨迹方程；(3)以炮弹为参照系，飞机的轨迹如何？解：(1)以地球为参照系时，炮弹的初速度为，而，01vvv+=tvx1=25.0gty=消去时间参数，得到轨迹方程为：t（若以竖直向下为y轴正方向，则负号去掉，下同）202)(2vvgxy+=(2)以飞机为参照系时，炮弹的初速度为，同上可得轨迹方程为v222vgxy=(3)以炮弹为参照系，只需在(2)的求解过程中用代替，代替，可得xxyy222vgxy=1.26.一飞机在海上布雷，当它在水平高度为的地方，以速率沿水平方向飞行时，要想hv使鱼雷入水时不与水面发生拍击，即相对鱼雷来说，水的速度完全沿鱼雷的轴线方向。设鱼雷从投出到入水，它的轴线与水平面的夹角不变。略去空气阻力，问这飞机投下鱼雷时，应使等于多少？解：要使得鱼雷不拍击水面，必须使其在入水时，水平速度和垂直速度的比值与夹角相对应，即vghvvtg2=水平垂直所以vgharctg2=习题二答案2.1质量为的质点在平面内运动，受一恒力作用，力的分量为,16kgXOY6xfN=，当时，。求当时质点的位矢和7yfN=0t=0xy=12xvms0yv=2ts=速度。解：283166=smmfaxx2167=smmfayy(1)=+=+=+=20101200872167452832smdtavvsmdtavvyyyxxx于是质点在2s时的速度18745=smjiv(2)mtatatvyxjijijir874134)167(21)4832122(21)21(220=+=+=2.2质量为的质点受力的作用，时该质点以的速度通0.25kg()FtiN=0t=2()vjms=过坐标原点，则该质点任意时刻的位置矢量是（A）（B）222()tijm+2(23)2()titjm+（C）（D）条件不足不能确定433423()titjm+答案：B2.3用一种钳子夹住一块质量M=50kg的混凝土砌块起吊（如图示）。已知钳子与砌块接触处的最大静摩擦系数。如果4.0=（1）钳子匀速上升，（2）钳子以0.2m/s2的加速度上升，（3）钳子在沿水平方向以4m/s的速度行驶时，上端悬挂点突然停止运动（设悬挂点到砌块重心之间的距离），为使砌块不从钳子口滑出，至少必须对砌块施加多大正压力？4lm=解：（1）水平方向，竖直方向，又21NN=Mgff=+21,2211NfNf=NMgNN5.6124.028.950221=（2）水平方向，竖直方向，21NN=MaMgff=+21NagMNN6254.02)2.08.9(502)(21=+=+=（3）物体以的速率，在半径为l的圆周上运动，水smv/4=平方向，竖直方向，21NN=lvMMgff221=+NlvgMNN5.8624.02)448.9(502)(2221=+=+=2.4一滑轮两边分别挂着和两物体，它们的质量分别为mA=20kg,mB=10kg，今用力AB将滑轮提起（如图示），当F分别等于（1）98N，（2）196N，（3）392N，F（4）784N时，求物体A和B的加速度以及两边绳中的张力（滑轮的质量与摩擦不计）。解：,02BBBAAAamgmTamgmTTF=,2,2gmFagmFaBBAA=（1）,/9.48.910298,/35.78.920298,9822smasmaNFBA=不合理，说明提不起。0,0BAaa0.,.492=BABAaagmTgmTNFT（2）,08.9102196,/9.48.9202196,1962=BAasmaNF表示仍提不起。0.,.982196=（4），22/4.298.9102784,/8.98.9202784smasmaBA=.,.3922784gmTgmTNTBA=（取竖直向上为正方向）2.5质量为质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力（为常数）作mFkv=k用，时质点的速度为，证明：0t=0v（1）时刻的速度为；t0ktmvve=（2）由0到t的时间内经过的距离为；0()1ktmxmvke=（3）停止运动前经过的距离为；0mvk（4）证明当时速度减至的。tmk=0v1e证明：(1)分离变量，得dtdvmkva=mkdtvdv=即=vvtmkdtvdv00mktevv=lnln0tmkevv=0(2)或令t,=tttmkmkekmvdtevvdtx000)1(kmvx0=(3)质点停止运动时速度为零，即t，故有=000kmvdtevxtmk(4)当t=时，其速度为，即速度减至v0的.kmevevevvkmmk0100=e12.6质量为m的物体沿斜面向下滑动。当斜面的倾角为时,物体正好匀速下滑。问：当斜面的倾角增大到时，物体从高为h处由静止滑到底部需要多少时间？解：当斜面倾角为时，物体正好匀速下滑，x方向：0sin1=fmgy方向：0cos1=mgN又11Nf=由以上几式，解得tg=当斜面倾角增大至时，x方向：mafmg=2siny方向：0cos2=mgN又22Nf=由以上几式，解得cossincossingtgggga=斜面长221sinathL=)cos(sin1sin2sin2tgghaht)sin(sincos2)sincoscos(sinsincos2=ghgh2.7把一段单位长度质量为的绳子放在平放着的光滑圆AB木上，端固定在圆木的最高点，绳子等于该圆木的周长，如A14图所示，圆木的半径为R（1）画出与之间这一小段绳子的受力图，求出绳中张力+的表达式。并证明上端的张力；TATRg=（2）写出圆木作用在与之间小段绳子上的法向力的表达式。对这个水平分量+N求积分（对整段绳子），其结果等于，试说明这个结果的物理意义。AT答案：（略）2.8一根绳子，一端被水平的拉着，另一端绕水平棒一周后竖直的吊着质量为的物体，m设绳子的质量可略去不计，绳子和棒之间的摩擦系数，如图所示，问当物体处于静14=止状态时，拉绳子的水平力是多少？F答案：0.147.12mgFmglRmm（3）若系统有向m2一边运动的趋势时，)(,222222211111xlmgmTfTxmgmTfT=+=+=xmmlmgmm)()(21221+=)(212xmmlm+若系统有向m1一边运动的趋势时，)(,222222211111xlmgmTfTxmgmTfT=+=+lmxmmgmm22121)()(+=)(221lmxmm+xmmlmgmm)()(21221+=2.14质量m为的小球沿半球形碗的光滑的内面，正以角速度在一水平面内作匀速圆周运动，碗的半径为R，求该小球作匀速圆周运动的水平面离碗底的高度。解：在竖直方向：cosNmg=Nmg=cos在水平方向：sinsin2RmN=RmN2=22cosgRmmgRR=则)1(cos22RgRgRRRh=2.15一顶角为的空心光滑圆锥，底面向上倒置着，轴与地面垂直。证明：在此圆锥内表2面上绕圆锥轴作圆周运动的质点与轴的距离为。224ngctgr=其中是质点每秒钟绕轴旋转的圈数。n证明：在y方向：（1）sinNmg=在x方向：（2）rmN2cos=（3）n2=由（1）、（2）、（3）得224ngctgr=2.16一辆汽车驰入曲率半径为的弯道，弯道倾斜一角度，轮胎和路面之间的摩擦系数R为，求汽车不做倾向滑动时的最大和最小速率。解：（1）受力分析如图，此时有最小速度x方向：RvmNN2cossin=y方向：mgNN=+sincosRgvsincoscossinmin+=(2)受力分析如图，此时有最大速度x方向：RvmNN2cossin=+y方向：mgNN=sincosRgvsincoscossinmax+=2.17某物体上有一变力F作用，它随时间变化的关系如下：在0.1s内，F均匀地由0增加到20N；又在以后0.2s内，F保持不变；再经0.1s，F又从20N均匀地减少到0。（1）画出F-t图；（2）求这段时间内力的冲量及力的平均值；（3）如果物体的质量为3kg，开始速度为1m/s，与力的方向一致，问在力刚变为0时，物体速度为多大？解：（1）如图所示（2）sNFdtIt=+=620)4.02.0(210（根据定积分的定义，用计算面积的方法）NtIF154.06=（3）0mvmvI=smmmvIv/331360=+=+=2.18一颗子弹由枪口射出时速率为v0ms-1，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为F=(a-bt)N（a,b为常数），其中t以秒为单位：（1）假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；（2）求子弹所受的冲量。（3）求子弹的质量。解：(1)由题意，子弹到枪口时，有F=(a-bt)=0,得t=ba(2)子弹所受的冲量，将t=代入，得=tbtatdtbtaI0221)(babaI22=(3)由动量定理可求得子弹的质量0202bvavIm=2.19一质量为的质点在xoy平面上运动，其位置矢量为求质点的动jtbitarsincos+=量及t=0到时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量。2t=解：质点的动量为p=mv=m(-asinti+bcostj)将t=0和t=分别代入上式，得2p1=mbj,p2=-mai,则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为I=p=p2-p1=-m(ai+bj)2.20作用在质量为10kg的物体上的力为，式中的单位是。(102)FtiN=+ts（1）求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量。（2）为了使这力的冲量为200Ns，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度的物体，回答这两个问题。16jms解：(1)若物体原来静止，则p1=ikgms-1,沿x轴正向，=+=tdttdt04056)210(iF111111566.5=smkgsmmipIipv若物体原来具有-6ms-1初速，则于是+=+=ttdtmdtmmm000000)(,FvFvpvp,=tdt0102pFppp同理，v2=v1,I2=I1这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理(2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即+=+=tttdttI0210)210(亦即t2+10t-200=0解得t=10s，(t=-20s舍去)2.21水力采煤，是用高压水枪喷出的强力水柱冲击煤层，如图所示。设水柱直径D=30mm，水速v=56m/s，水柱垂直射在煤层表面上，冲击煤层后的速度为零，求水柱对煤的平均冲力。解：本题注意作用力与反作用力，以水柱为研究对象，12ppI=120mvmvdtFt=1mvtF=NvDVm32233221022.256)1030(14.3411041=所以水柱对煤的平均冲力为。N31022.22.22一辆装煤车以的速率从煤斗下面通过，煤粉通过煤斗以每秒的速率竖直注入车厢。如果车厢的速率保持不变，车厢与钢轨间摩擦忽略不计，求牵引力的大小。解：时，0=fNdtdmvdtmvdF43105.13105)(=2.23一小船质量为100kg，船头到船尾共长3.6m。现有一质量为50kg的人从船尾走到船头时，船头将移动多少距离？假定水的阻力不计。解：由动量守恒0=人人船船vmVM又，dtVSt=0船船船人船船人船人人SmMdtVmMdtvstt=00如图，船的长度人船sSL+=mmMLS2.15010016.31=+=+=人船船即船头相对岸边移动mS2.1=船2.24质量为的子弹以的速度击入一木块后随木块一起以的速度前进，20g500ms50ms（以子弹的速度方向为轴的正方向）在此过程中木块所受的冲量为x（A）；（B）；（C）；（D）。9Ns9Ns10Ns10Ns答案：A2.25三艘质量相等的小船鱼贯而行，速度均等于vvvv。如果从中间船上同时以速度uuuu把两个质量均为m的物体分别抛到前后两船上，速度uuuu的方向和vvvv在同一直线上。问抛掷物体后，这三艘船的速度如何变化？解：设船质量均为M，抛掷物体后，三船的速度为设船在水上的阻力为零，.,321vvv故在水平方向上动量守恒。当时，从中间船向前可抛出物体m，vu由1)(vmMmuMv+=+vmMmuMvv+=12MvmumuMv=+vv=23)(vmMmuMv+=vmMmuMvvxgMmkhmgmgMgkxkxf)(210max+=+=2.32设合力为。76Fij=N（1）当一质点从原点运动到时，求所作的功。3416rijk=+F（2）如果质点到处时需0.6s，试求平均功率。r（3）如果质点的质量为1kg，试求动能的变化。解：(1)由题知，F合为恒力，A合=Fr=(7i-6j)(-3i+4j+16k)=-21-24=-45J(2)WtAP756.045=(3)由动能定理，Ek=A=-45J2.33若用一大小不变的力将该物体从静止加速提高到同一高度，使物体最后获得的速度为5.0m/s，问提升力作功多少？平均功率为多少？又开始时和结束时的瞬时功率各为多少？答案：5025J；251.3W；0；502.5W；（条件不明！似乎同题（条件不明！似乎同题（条件不明！似乎同题（条件不明！似乎同题2.342.342.342.34）解：，mamgF=atv=JatagmFsW262521)(2=+=WtWP5.262=开始时刻，；结束时，0=v0=FvPsmv/0.5=WFvP525=2.34（1）以5m/s的速度匀速提升一质量为10kg的物体，问在10s内提升力作功若干？（2）又若以比前快1倍的速度把该物体匀速提高同样的高度，试问所作的功是否比前一种情况大？为什么？（3）在（1）、（2）两种情况下，它们的功率是否一样？解：（1）JmgvtFsW3109.41058.910=（2）JmgvtFsWW3109.41058.910=（3），vstvst=,vv2=2tt=，。,tWPtWP=PP2=2.35以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比。在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1cm，问击第二次时能击入多深。假定铁锤二次打击铁钉时的速度相同。解：以木板上界面为坐标原点，向内为y坐标正向，如题2-13图，则铁钉所受阻力为题2.35图f=-ky第一锤外力的功为A1=sskkydyfdydyfA1012式中f是铁锤作用于钉上的力，f是木板作用于钉上的力，(忽略木板与钉之间的摩擦力)在dt0时，f=-f设第二锤外力的功为A2，则同理，有=21222221ykkykydyA由题意，有2)21(212kmvAA=即222122kkky=所以，22=y于是钉子第二次能进入的深度为y=y2-y1=-1=0.414cm22.36已知一质点（质量为m）在其保守力场中位矢rrrr位点的势能为，试求质()npErkr=点所受保守力的大小和方向。解：1)()(+=nrnkdrrdErF方向与位矢r的方向相反，即指向力心2.37（1）试计算月球和地球对物体的引力相抵消的一点，距月球表面的距离是多少？地球质量，地球中心到月球中心的距离，月球质量，kg241098.5m81084.3kg221035.7月球半径。m61074.1（2）如果一个1kg的物体在距月球和地球均无限远处的势能为零，那么它在P点的势能为多少？解：(1)设在距月球中心为r处F月引=F地引，由万有引力定律，有G=G2rmM月()2rRmM地经整理，得r=RMMM月地月+=2224221035.71098.51035.7+81048.3=38.3210m6则p点处至月球表面的距离为h=r-r月=(38.32-1.74)1063.66107m(2)质量为1kg的物体在p点的引力势能为m=1Kg()月地月月rRmMGr