第一讲：圆的要素及垂径定理.doc

圆的要素及垂径定理适用学科初中数学适用年级初中三年级适用区域人教版课时时长（分钟）120知识点1、弦、弧（优弧、劣弧、等弧）的定义2、圆的对称性3、圆的垂径定理4、垂径定理的应用教学目标1、正确理解垂径定理的题设和结论.2、掌握垂径定理及其推论.3、能运用垂径定理解决有关圆的证明和计算问题.4、理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题.5、掌握圆的相关要素6、能应用圆垂径定理解决一些简单的实际问题,培养学生应用数学分析、解决实际问题的能力.7、培养学生主动探究知识、勤于思考善于动脑的良好学习习惯，激发学习兴趣求知欲，感受运用数学知识解决实际问题的魅力.教学重点圆的垂径定理、推论的探求过程及其特点和应用. 教学难点根据具体的条件，运用垂径定理解决有关的实际问题.教学过程一、复习预习由问题引入新课：要同学们画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆都是互相重合的。如果沿着任意一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会完全重合。由以上实验，同学们发现圆是中心对称图形吗？对称中心是哪一点？圆不仅是中心对称圆形，而且还是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。二、知识讲解考点/易错点1弦、弧的定义及对称性1、什么叫弦？直径与弦的关系？弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径2、 什么叫弧？弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧3、 圆的对称性质？作为轴对称图形，其对称轴是？圆即是轴对称图形也是中心对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴4、观察并回答：（1）两条直径的位置关系（2）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定被直径CD平分？考点/易错点2垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧已知：直径CD、弦AB且CDAB垂足为M求证：，=，=.分析：要证，只要证AM、BM构成的两个三角形全等因此，只要连结OA、OB或AC、BC即可证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB在和中点A和点B关于CD对称O关于直径CD对称当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合=，=进一步，我们还可以得到结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧考点/易错点3垂径定理推论Error! No bookmark name given.1、推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧推论扩展推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。2、垂径定理及其推论可概括为三、例题精析【例题1】【题干】如右图，在RtABC中，AC=3，BC=4，以点C为圆心，AC为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（）A. B. C. D. CADB【答案】C【解析】由勾股定理得AB5，则sinA，作CEAD于E，则AEDE，在RtAEC中，sinA，即，所以，CE，AE，所以，AD【例题2】【题干】如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中，点O是的圆心，其中CD=600m，E为上一点，且OECD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径【答案】545m【解析】：如图，连接OC设弯路的半径为R，则OF=（R-90）m OECD 根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2 即R2=3002+（R-90）2 解得R=545 这段弯路的半径为545m【例题3】【题干】如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=4，弦CD=DE=4，连结OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为【答案】10【解析】根据弦AB=BC，弦CD=DE，可得BOD=90，BOD=90，过点O作OFBC于点F，OGCD于点G，在四边形OFCG中可得FCD=135，过点C作CNOF，交OG于点N，判断CNG、OMN为等腰直角三角形，分别求出NG、ON，继而得出OG，在RtOGD中求出OD，即得圆O的半径，代入扇形面积公式求解即可【规范解答】解：弦AB=BC，弦CD=DE，点B是弧AC的中点，点D是弧CE的中点，BOD=90，过点O作OFBC于点F，OGCD于点G，则BF=FG=2，CG=GD=2，FOG=45，在四边形OFCG中，FCD=135，过点C作CNOF，交OG于点N，则FCN=90，NCG=13590=45，CNG为等腰三角形，CG=NG=2，过点N作NMOF于点M，则MN=FC=2，在等腰三角形MNO中，NO=MN=4，OG=ON+NG=6，在RtOGD中，OD=2，即圆O的半径为2，故S阴影=S扇形OBD=10故答案为：10【反思与总结】本题考查了扇形的面积计算、勾股定理、垂径定理及圆心角、弧之间的关系，综合考察的知识点较多，解答本题的关键是求出圆O的半径，此题难度较大【例题4】下列语句中正确的个数为（）等弧的度数相等；等弧的弧长相等；长度相等的弧是等弧；度数相等的弧是等弧A1个 B2个 C3个 D4个【答案】B【解析】根据等弧的概念，在同圆或等圆中，度数相等或长度相等的弧叫等弧解：等弧的度数、长度都相等，1、2都对；而度数相等或长度相等的弧不一定相等，3、4错误，故选B点评：考查了等弧的概念，要想保证是等弧，一定要在同圆或等圆中才成立【例题5】下列说法：半圆是弧；弧是半圆；圆中的弧分为优弧和劣弧其中正确的个数有（）A0 B1 C2 D3【答案】B【解析】利用圆的有关性质及定义判断后即可得到正确的答案解：半圆是弧，正确；弧是半圆，错误；圆中的弧分为优弧和劣弧还有半圆，故错误所以正确的有一个，故选B四、课堂运用【基础】1. 下列说法中，错误的是（）弦是直径；半圆是弧；长度相等的两条弧是等弧；能够互相重合的弧是等弧；大于半圆的弧是劣弧，小于半圆的弧是优弧A1个 B2个 C3个 D4个【答案】C【解析】根据弦、直径、弧的概念进行判断解：过圆心的弦是直径故错误；半圆半圆就是一条弧故正确；长度相等的两条弧是等弧故正确；在同圆或等圆中能够完全重合的弧叫等弧故错误；大于半圆的弧是优弧，小于半圆的弧是劣弧故错误；综上所述，错误的结论有3个故选：C点评：本题考查了圆的认识解答该题时，注意区分弦与直径的区别，劣弧与优弧的区别2. 如图，CD是O的直径，弦于点G，直线EF与O相切与点D，则下列结论中不一定正确的是( )（A）AG=BG （B）ABEF（C）ADBC （D）【答案】C【解析】由垂径定理可知：（A）一定正确。由题可知：，又因为，所以ABEF，即（B）一定正确。因为和所对的弧是劣弧AC，根据同弧所对的圆周角相等可知（D）一定正确。3. 已知O的直径CD=10cm，AB是O的弦，ABCD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）AcmBcmCcm或cmDcm或cm【答案】C 【解析】：解：连接AC，AO，O的直径CD=10cm，ABCD，AB=8cm，AM=AB=8=4cm，OD=OC=5cm，当C点位置如图1所示时，OA=5cm，AM=4cm，CDAB，OM=3cm，CM=OC+OM=5+3=8cm，AC=4cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，OC=5cm，MC=53=2cm，在RtAMC中，AC=2cm故选C【巩固】1. 绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（）A4mB5mC6mD8m【答案】D 【解析】解：连接OA，桥拱半径OC为5m，OA=5m，CD=8m，OD=85=3m，AD=4m，AB=2AD=24=8（m）；故选；D2. 已知：O的半径为10cm，弦ABCD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.【答案】14cm或2cm.【解析】解：(1)如图，当O的圆心O位于AB、CD之间时，作OMAB于点M，并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO.又ABCDONCD，即ON为弦CD的弦心距.AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm=8+6=14(cm) (2)如图所示，当O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时同理可证：MN=OM-ON=8-6=2(cm)O中，平行线AB、CD间的距离是14cm或2cm.【反思与总结】：解这类问题时，要依平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.在解圆的有关问题时经常会出现多解的情况，要特别注意。【拔高】1. 有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由【答案】不需要采取紧急措施【解析】：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m是否需要采取紧急措施，只要求出DE的长，因此只要求半径R，然后运用几何代数解求R解答： 设OA=R，在RtAOC中，AC=30，CD=18 R2=302+（R-18）2 R2=900+R2-36R+324 解得R=34（m） 连接OM，设DE=x，在RtMOE中，ME=16 342=162+（34-x）2 162+342-68x+x2=342 x2-68x+256=0 解得x1=4，x2=64（不合题意舍） DE=4 不需采取紧急措施2. 如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧图的半径的活动。小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径。【答案】5m【解析】由相似可知设半径为OG=R，则OM=R-2在RtOMG中，OM2+MG2=OG2所以（R-2）2+16=R2解得：R=5因此小桥的半径是5m课程小结“垂直于弦的直径”是圆的重要性质之一，也是全章的基础之一，在整章中占有举足轻重的地位是今后研究圆与其他图形位置关系和数量关系的基础，这些知识在日常生活和生产中有广泛的应用，由于垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，因此，它是整节书的重点，由于垂径定理的题设和结论都较复杂，因此，理解和证明定理是本节课的难点，在教学中也是一节较难把握的课。课后作业【基础】1. 如图，O的直径AB=12，CD是O的弦，CDAB，垂足为P，且BP：AP=1:5,则CD的长为（ ）. A. B. C. D.【答案】D【解析】连接圆的半径，构造直角三角形，再利用勾股定理与垂径定理解决.关键2. 如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8cm，CD=3cm，则圆O的半径为（）AcmB5cmC4cmDcm【答案】A【解析】解：连接AO，半径OD与弦AB互相垂直，AC=AB=4cm，设半径为x，则OC=x3，在RtACO中，AO2=AC2+OC2，即x2=42+（x3）2，解得：x=，故半径为cm点评：本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、勾股定理的内容，难度一般3、如图，O的半径OD弦AB于点C，连结AO并延长交O于点E，连结EC若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A2B8C2D2【答案】D【解析】解：O的半径OD弦AB于点C，AB=8，AC=AB=4，设O的半径为r，则OC=r2，在RtAOC中，AC=4，OC=r2，OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r2）2，解得r=5，AE=2r=10，连接BE，AE是O的直径，ABE=90，在RtABE中，AE=10，AB=8，BE=6，在RtBCE中，BE=6，BC=4，CE=2【反思与总结】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键先根据垂径定理求出AC的长，设O的半径为r，则OC=r2，由勾股定理即可得出r的值，故可得出AE的长，连接BE，由圆周角定理可知ABE=90，在RtBCE中，根据勾股定理即可求出CE的长4、将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）ABCD【答案】A【解析】解：过O点作OCAB，垂足为D，交O于点C，由折叠的性质可知，OD=OC=OA，由此可得，在RtAOD中，A=30，同理可得B=30，在AOB中，由内角和定理，得AOB=180AB=120弧AB的长为=2设围成的圆锥的底面半径为r，则2r=2r=1cm圆锥的高为=2【反思与总结】本题考查了垂径定理，折叠的性质，特殊直角三角形的判断关键是由折叠的性质得出含30的直角三角形过O点作OCAB，垂足为D，交O于点C，由折叠的性质可知OD为半径的一半，而OA为半径，可求A=30，同理可得B=30，在AOB中，由内角和定理求AOB，然后求得弧AB的长，利用弧长公式求得围成的圆锥的底面半径，最后利用勾股定理求得其高即可【巩固】1. 如图，DC 是O直径，弦ABCD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）ABAF=BFCOF=CFDDBC=90【答案】C【解析】解：DC是O直径，弦ABCD于F，点D是优弧AB的中点，点C是劣弧AB的中点，A、=，正确，故本选项错误；B、AF=BF，正确，故本选项错误；C、OF=CF，不能得出，错误，故本选项错误；D、DBC=90，正确，故本选项错误；【反思与总结】本题考查了垂径定理及圆周角定理，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理的内容，难度一般2.如图在O中，弦AB=8，OCAB，垂足为C，且OC=3，则O的半径（）A5B10C8D6【答案】A【解析】解：连接OB，OCAB，AB=8，BC=AB=8=4，在RtOBC中，OB=【反思与总结】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键3、如图，AB是O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，BAC=BOD，则O的半径为（）A4B5C4D3【答案】B【解析】解：BAC=BOD，=，ABCD，AE=CD=8，DE=CD=4，设OD=r，则OE=AEr=8r，在RtODE中，OD=r，DE=4，OE=8r，OD2=DE2+OE2，即r2=42+（8r）2，解得r=5【反思与总结】本题考查的是垂径定理及圆周角定理，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键【拔高】1. 如图所示，AB是O的一条弦，ODAB，垂足为C，交O于点D，点E在O上。（1）若AOD=52，求DEB的度数；（2）若OC=3，OA=5，求AB的长EBDCAO【答案】（1）26（2）8【解析】（1）， （2），为直角三角形，由勾股定理可得2. 如图所示，已知AB为O的直径，CD是弦，且ABCD于点E。连接AC、OC、BC。（1）求证：ACO=BCD。（2）若EB=，CD=，求O的直径。EDBAOC【答案】26 cm【解析】(1)AB为O的直径，CD是弦，且ABCD于E