2019_2020学年高中数学第一章集合与函数概念1.3.1单调性与最大（小）值第1课时函数的单调性教案新人教A版.docx

第1课时函数的单调性目标 1.记住函数的单调性及其几何意义，会证明简单函数的单调性；2.会用函数的单调性解答有关问题；3.记住常见函数的单调性重点 函数的单调性定义及其应用；常见函数的单调性及应用；函数单调性的证明难点 函数单调性定义的理解及函数单调性的证明.知识点一增函数与减函数的定义填一填设函数f(x)的定义域是I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数设函数f(x)的定义域是I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数答一答1在增函数与减函数的定义中，能否把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”？提示：不能，如图所示：虽然f(1)f(2)，但原函数在1，2上不是增函数2设x1、x2是f(x)定义域某一个子区间M上的两个变量，如果f(x)满足以下条件，该函数f(x)是否为增函数？(1)对任意x1x2，都有f(x1)0；(3)对任意x1、x2都有0.提示：是增函数，它们只不过是增函数的几种等价命题3由2推广，能否写出减函数的几个等价命题？提示：减函数(x1，x2M)任意x1f(x2)0f(x1)f(x2)(x1x2)x2，这时f(x1)f(1)1，f(x2)f(1)1，故有f(x1)f(x2)这样与函数f(x)在(，0)(0，)上单调递减矛盾事实上，f(x)的单调减区间应为(，0)和(0，)知识点三常见函数的单调性填一填1设一次函数的解析式为ykxb(k0)，当k0时，函数ykxb在R上是增函数；当k0，则该函数在(，上是减函数，在，)上是增函数若a0，则函数y在(，0)上是减函数，在(0，)上也是减函数；若k0，则函数y在(，0)上是增函数，在(0，)上也是增函数答一答6函数yx2x2的单调区间如何划分？提示：函数在(，上是减函数，在，)上是增函数类型一判断或证明函数的单调性例1证明函数yx在(0,3上递减证明设0x1x23，则有y1y2(x1)(x2)(x1x2)(x1x2)(1)0x1x23，x1x21，即10，即y1y2.函数yx在(0,3上递减函数单调性的判断或证明是最基本的题型，最基本的方法是定义法，整个过程可分为五个步骤：第一步：取值.即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1x2.第二步：作差.准确作出差值f(x1)f(x2)或f(x2)f(x1).第三步：变形.通过因式分解、配方、分子(分母)有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形.第四步：确定f(x1)f(x2)或f(x2)f(x1)的符号.当符号不能直接确定时，可通过分类讨论、等价转化，然后作差，作商等思路进行.第五步：判断.根据定义作出结论.,以上五个步骤可以简记为“取值作差变形定号判断”. 变式训练1判断并证明函数f(x)1在(0，)上的单调性解：设x1，x2是(0，)上的任意两个实数，且x10.又由x1x2，得x1x20.于是f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(2a)Bf(a2)f(a)Cf(a2a)f(a) Df(a21)a，f(x)是(，)上的减函数，f(a21)f(a)而其他选项中，当a0时，自变量均是0，应取等号故选D.命题视角2：利用函数的单调性解不等式例4已知f(x)是定义在1,1上的增函数，且f(x2)f(1x)，求x的取值范围解f(x)在1,1上为增函数，且f(x2)f(1x)，解得1x.x的取值范围是1x.对于x1x2f(x1)f(118a)，则实数a的取值范围是.解析：由题意3a7118a，解得a22；函数h(x)x22ax3a3在a,1上递增，且h(1)4a，故若函数f(x)在7，)上为增函数，则即a7，a的取值范围为7，)1下列函数在区间(0，)上不是增函数的是(C)Ay2x1Byx21Cy3xDyx22x1解析：函数y3x在区间(0，)上是减函数2函数y(2k1)xb在(，)上是减函数，则(D)AkBkDk解析：当2k10，即kf(56a)，则实数a的取值范围是(，4)解析：由题意，知4a356a，a4.5求证：函数f(x)在(0，)上是减函数证明：对于任意的x1，x2(0，)，且x1x2.有f(x1)f(x2).0x10，x2x10，xx0.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)在(0，)上是减函数本课须掌握的两大问题1对函数单调性的理解(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1、x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1x2；三是属于同一个单调区间(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1)f(x2)x1x2)(4)并不是所有函数都具有单调性若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性2单调