高中数学(必修)第4册1.doc

高中数学（必修）第4册1、3两章教学内容的分析、研究东台市教育教研室一、新、旧教材的对比分析1在新教材中，学生学了1.1任意角、弧度和1.2任意角的三角函数之后，接着就安排了“1.3三角函数的图象和性质”的内容，而将运用三角公式进行三角恒等变换的内容滞后安排.这与原教材相比，两部分内容恰好颠倒了顺序.由于三角公式要用到三角函数的周期性、奇偶性等性质导出，所以这样安排具有它的合理性.同时也相应地突出了三角函数的图象与性质广泛应用的地位.2原教材中专门安排一节“已知三角函数值求角”，在新教材中删去了.但是在新教材的“1.3三角函数图象和性质”中插入了已知三角函数值求角的题目，如：P32例2：“求下列函数的最大值及取得最大值时自变量x的集合：(1) P33练习第4题，P35练习第1题，P46习题1.3第4题，P49复习题第10题等.由于已知三角函数值求角的内容在新教材中，已经不独立成节，所以在学生学习、解答这一内容的有关问题时，希望大家注意帮助小结其中的规律与方法.3在新教材的“第三章 三角恒等变换”中，新增加了一节“3.3几个三角恒等式”，将和差化积，积化和差，万能代换，半角等几组公式均安排在该节中.原教材是将这些公式零星分散在例选、练习题、习题与复习题中.这一系列公式既然系统地安排在一节内容当中，那么今后学生在解题时就可以直接应用.也可以让学有余力的学生记熟，但不得强行一刀切地向学生提出统一熟记的要求.二、新教材第4册（必修）第1章、第3章内容的课时划分按周课时5+1（5课时+1节习题课）计算，可将这两章教学内容进行如下的课时安排：第1章19课时，第3章12课时.第一章1.1.1任意角1课时1.1.2弧度2课时1.2.1任意角的三角函数3课时1.2.2同角三角函数的关系1课时1.2.3诱导公式2课时1.3.1三角函数的周期性1课时1.3.2三角函数的图象和性质3课时1.3.3函数y=A的图象和性质2课时1.3.4三角函数的应用2课时复习与小结2课时第三章3.1.1两角和与差的余弦2课时3.1.2两角和与差的正弦2课时3.1.3两角和与差的正切2课时3.2二倍角的三角函数3课时3.3几个三角恒等式1课时复习与小结2课时三、第1章 教材分析1本册的第1章三角函数是紧接在第1册教材第2章函数之后，继续学习的一种特殊的基本初等函数.由于引进了弧度制，又将角的概念进行了推广，容易知道定义的三角函数是一种在非空实数集上，从数到数的一种“一对一”或“多对一”的映射.2在第1章中，1.3三角函数的图象与性质是重点教学内容，同时它也是本章的一个数学难点.特别是该节中，三角函数的周期性、单调性、奇偶性以及描绘y=A图象时的周期与初相变换更是教学中的重中之重，它们也是现行高考中长考不衰的内容.希望各位教者花气力指导学生学好并熟练掌握这部分内容.3该章的1.1任意角、弧度与1.2任意角的三角函数（三角函数的定义、同角三角函数关系公式、诱导公式）两节内容是后续学的基础.只有夯实基础，后面的三角函数的图象和性质与三角恒等变换才能学好.请大家务必重视这一问题.4第一章的1.1中的弧度概念是一个数学难点.大家知道弧度制与角度制是测量角大小的两种不同的单位制.学生从小学到初中一直是采用角度制来度量角的大小，学生在小学首先接触的角度制，先入为主，一提到角就知道1度为60分，1分为60秒.到高中学习弧度制，学生很不习惯，所以这是本章教材的一个教学难点.教者要突破这一教学重点，必须做到以下两点：（1）讲清弧度制的概念，让学生慢慢体会，给学生有一个转弯的过程，有一逐步地循序渐进地建立新概念的过程.只有新概念建立起来了，才能用弧度制来度量角的大小，才能建立实数到实数一对一或多对一的三角函数的概念.（II）对于0-2(周角)范围内的弧度与角度对照表格，要学生熟记，让学生人人过关，个个落实.这是学好这一新知识的重要一环.5在进行1.2任意角的三角函数的教学时，应充分做好初、高中数学教学内容的衔接工作.这一节内容做好衔接工作很有必要：（I）初中已讲了锐角三角函数，到高中学习在直角坐标系中用坐标表示任意角的三角函数值时，必须从中锐角三角函数讲到新知识，体现出衔接、过渡、循序渐进.（II）在初中学生已接触了平方关系、商式关系，倒数关系等同角三角函数的关系公式，教者必须在带领学生复习初中这些公式的基础上学习新内容，将角推广为任意角，就可得现在的新公式.这样学习学生就不会感到陌生.（III）在初中学生已学习了一组诱导公式,到高中学习1.2.3三角函数的诱导公式时，应从初中的已学的一组诱导公式入手让学生学习其它诱导公式.到最后将这些公式概括为：“奇余偶同名，符号由角定”的口诀.这样做，无疑是非常有益的. 四、第1章教材在教学中应注意的问题1新教材P11习题1.1探究拓展的第13题：若扇形的周长为定值l，则该扇形的圆心角为多大时，扇形的面积最大.该题既可用“均值不等式”求最值，也可通过消元转化为二次函数求解.由于学生还未接触不等式内容，所以只能要求学生用二次函数的有关知识寻求最值.该题解答如下：设扇形半径为R，弧长为，由题设知.，当该扇形的圆心角为2弧度时，扇形面积最大，最大值为.2本章中，运用数形结合的思想方法帮助解题是新教材的一大亮点.如P18例4.求证：.本题采用了两种方法证明后，让学生按图思考.思考：右图中，隐藏了一个例4的“图形证明”，你能发现吗？该图，实际上是在单位圆中运用半圆上的圆周角为直角的定理，得到ABP，在ABP中运用射影定理；可得、的比例中项，即：.运用图形、数形结合得三角恒等式，是新教材的一个特色.3本章中，积极引导学生运用换元、转化、化归等思想方法思考、探究解决问题，是新教材激发学生创新意识的一大举措.如：P20思考由公式二、三，你能导出公式四吗？根据公式二、三、四中的任意两组公式，你能推导出另一组公式吗？这里公式二、三、四，指的是“”、“”与“”三组诱导公式.课本中的这一思考很有价值，它能激发学生的创新意识，而要实现这一思考，必须运用换元与转化、化归等思想方法.如果要用公式三、四公式二，应将角进行转化：，这样得到.这里根据公式二、三、四中任意两组，推出另外一组，共有种推法，可让学充分活动、思索，动手试试.再如：P21探索，若角的终边与角的终边关于直线对称（如右图）. （1）角与角的正弦函数和余弦函数之间有何关系？（2）角的终边与角的终边是否关于直线y=x对称？（3）由（1）、（2）你能发现什么结论？该题各小题证明，总起来看，由角终边分别在I、II、III、IV四个象限（再决定终边所在象限）分类讨论，证明两全等，然后用三角函数定义可得结论.事实上，该题证明后，容易得到两角、终边关于直线y=x对称的充要条件是：.利用这一充要条件的命题可方便得出（3）的结论：.4充分利用单位圆这一工具，数形结合解决该章的一些问题.该章例题、练习题、习题与复习题中的很多问题总是借助单位圆这一工具来解决.如：P24思考运用18（2）已知的值.与P24探究拓展第19、20等两题在解决过程中均与单位圆结下了不解之缘.以下只以P24思考运用18（2）为例，进行简单解答，说明运用单位圆解题的必要性.P24思考运用18（2）简解：将.由.再由.联立方程组：注：以上在简解过程中，将开方后进行“+”、“-”号的取舍是关键，要解决这一关键问题，现阶段只有依靠单位圆，画出（如上图）单位圆可知：角终边不能落在第1象限，.的终边只能落在范围内，这时才有.从而得到（*）式开方后取“+”号.以上根据题设条件，利用单位圆，限制角的取值范围，从而决定计算过程中“+”、“-”值的取舍，这是解决三角问题通常采用的方法.5新教材在本章中突出了三角函数图象与性质知识的应用.本章内容与原教材相比，新增了一节1.3.4三角函数的应用，这是新教材的一大亮点.该内容中，选取的三道例题以及练习题、习题1.3的第11题、14题、15题、实习作业与本章复习题的第15题等等，总是用三角函数来描述题中的周期函数.这就启发我们思考：为什么这些题均可用三角函数来描述？是不是所有的周期函数总可以用三角函数来描述？大家知道，回答这两个问题，不是一件容易的事.但学生到高中学习数学，不能光凭考察数据、描点绘图来决定选用哪种函数，也就是说不能只靠直观考察、合情推理来获得数学的结论，而应进行必要的逻辑推理.当然这里要讲选用三角函数解题的理由，条件尚未成熟，但可在题设中直接告诉学生选用何种函数，至于其中道理，可告诉学生，随着大家所学知识范围的扩大，将会弄清楚其中的道理.这样做要比直接搞合情推理好得多.6用好章头语、章头题与章头图，将学生带进呈现周期变化的三角函数的世界.章头图呈现的是碧波万顷的大海，容易联想到潮起潮落，波峰波谷，日出日落，寒来暑往这样就把学生的视线引向了现实世界广泛存在着的周期现象.接着教科书在此背景下展开了对周期现象的数学研究.首先，教科书把目光聚集在一个“最简单又最基本的”周期现象上，提出了本章的中心问题：怎样用数学模型刻画圆周上一点P的运动？为了解决这个问题，首先就要将点P表示出来.接着，章头语与章头题引言列举了表示点P的三种方法：（1）用角度表示；（2）用弧长表示；（3）用坐标来表示.进而提出了更深入的问题：（角）,(弧长), x,y(坐标)之间存在着怎样的内在联系? 容易看出，本章开卷语提出了一个研究的纲领.例如，为了用角度表示点P，就需要引入任意角；为了用弧长表示点P，就需要引进弧度制；为了用坐标表示点P，就需要建立三角函数的概念事实上，本章的内容正是根据这个纲领展开的.五、第3章教材分析1本章学习内容是第一章学习内容的延续，也是以前两章内容作为根与支干开花结果之处.如：开始两角差的余弦公式的推导既涉及向量数量积的运算公式，又要运用余弦函数是周期函数和偶函数等知识.前两章是该章的基础，从章头图就可以看出：第一章是大海，这一章仍是大海，图中有两条撞击的浪花，这都表明了该章与前面所学知识有联系，密不可分，是前面所学知识延伸与发展.本章同时也是后读学习第五册第一章解三角形的基础.解三角形这一章中揭示了三角形中正弦、余弦两个定理，无疑又是本章知识的延续与发展.综上所述，本章的知识内容，在整个高一学年度起了承上起下的作用.2本章内容的核心是运用一系列的公式进行计算.所涉及的公式较多，基本上有：和角公式、倍角公式、降次公式，还有些不要求记忆，但记了能方便运算的公式：和差化积公式、积化和差公式、万能公式、半角公式等，该章是培养与训练学生运算及恒变形能力的大好场所.希望大家抓好这一时机充分培养，努力提高学生的运算能力.3本章的重点是3.1.1两角和与差的余弦.特别是运用向量数量积的知识推出的是后面一系列公式的根本与基础，由可引申推出、等等，接着就可得其它二倍角、半角、和差化积、积化和差，万能代换公式等等.可以说是该章一切公式之母.推出与运用和角公式解决问题是本章的教学重点.六、在第3章教学中应注意的一些问题1在教学中要注意三角公式成立的条件.如：中；又如=中成立的条件：.等等；这说穿了是不要忘记函数的定义域.公式成立的条件绝不能忘记，忘记了就是忘记了“祖宗”.2注意降次公式的运用即，它们实际上是由二倍角公式推得的，也是半角公式的变形.这两个公式应用比较广，希望引起大家的重视.如：P108例3化简.又如：P117复习题思考运用，第13题已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的最大值.等等题目均要用到上述的降次公式.3P106探究拓展第10题已知两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2（0k1k2），设l1、l2的夹角（锐角）为.（1）求证：；（2）求直线.该题，因学生解几未学，要向学生介绍解几中倾斜角与斜率的概念.4P94探索 如图，在直角坐标系xoy中，单位圆o与x轴交于Po，以ox为始边分别作出角，其终边分别和单位圆交于P1、P2、P3，由，你能否导出两角差的余弦公式？该题与第3点所述的一样，解答时运用到学生未学的解析几何知识两点间距离公式，可引导学生运用直角三角形的勾股定理推出.5该章与第一章一样突出数形结合、转化、化归等数学思想与运算、变形方法的应用.这是新教材的一大特色.如：P95例2 利用两角和（差）的余弦公式，求cos75, cos15,sin15,tan15.在解答该题旁的小注中注明：画出图形，可用图形验证计算结果.这种用直角三角形边长比值求三角函数值的方法，在初中是经常采用的，这样做既体现了数形结合思想的运用，又注意了高、初中教学内容、方法的衔接，是一种很好的做法.又如：在P98-P100的例2、例4、例5、例6以及其后的一些练习题、习题与复习题，总运用转化、化归的数学思想方法来化角、化名、降次达到解决问题的根本目的.学生在解决大量的运算、化简、恒等变形的题目后，应引导他们认真小结、归纳运算、变形技巧.以使学生能够迅速、准确地掌握解决三角问题的方法.如：P117思考运用第11题已知的值.该题欲求的值，只要将与平方相加即可得：.这种平方相加减得三角函数值的方法是三角运算过程中经常运用的技巧.如若将题改为求的值,那就要改变运算的方法.首先得将与和差化积，然后相除进行运算，才可得.6课本P97思考：能不能利用同角三角函数关系，从推导出？这样做有什么困难？现以从推导出为例，说明选择这样的问题留给学生思考的弊端.由同角三角函数关系公式中的平方关系公式可得：由以上推导可知，要得到必须