平行线的折线问题.doc

平行线的折线问题淮南实验中学 刘树龙 【教学目标】理解平行线的性质，掌握三角形内角和定理和三角形外角；关注平行线折线的系列图形,体会知识间的联系与区别，构建知识体系，优化知识结构【学情分析】七年级下册已经学习平行线的做法和性质、判定，我们基于平行线的知识，探究几何问题的自然解法，倡导一种方法解很多题,要好过很多方法解一个题。同时，通过对比与联系，借助三角形内角和和外角，强化学生自然解法的生成，积累数学活动经验，锻炼学生思维能力【重点难点】重点：平行线的做法（辅助线的添法）、性质应用，几何语言的描述。一种方法解很多题。难点：辅助线的自然添法，思维的形成过程，几何语言的描述。【教学过程】题源 已知直线ABCD，点P是平面内任一点（不在直线AB和CD上），连接PA和PC，如图，从中任选一个图形探究P与A，C的关系，并加以证明. 师生活动：选一个图形探究P与A，C的关系，并加以证明.以图3、4为例加以探究并证明.【一种方法解很多题】解法自然生成一：过P作PMCD,构造出两组同旁内角.一方面，平行公理的推论启发我们可以借助第三条直线判断另外两条直线互相平行，即由PMCD（作辅助线）和ABCD（已知条件）得到PMAB.另一方面，两次利用两直线平行，同旁内角互补.结论得证. 解：图4中有A+P+C=，理由：过P作PMCDPMCD，ABCDPMABM （两直线平行，同旁内角互补） （两直线平行，同旁内角互补） +，得解：图3中有P =A+C，理由：过P作PMCDPMCD，ABCDPMAB （两直线平行，内错角相等） （两直线平行，内错角相等） M+，得其他类型的图形证明方法类似，同学们课后自己练习解法自然生成二：连接AC, .一方面构造出一组同旁内角，利用两直线平行，同旁内角互补；另一方面，构造一个三角形，利用三角形内角和180.结论得证. 解：图4中有A+P+C=，理由：连接AC，则 （三角形内角和是1800） ABCD（两直线平行，同旁内角互补） +，得 即解：图3中有A+C=P，理由：连接AC，则 （三角形内角和是1800） ABCD（两直线平行，同旁内角互补） 所以PAC+PCA=P其他类型的图形证明方法类似，同学们课后自己练习解法自然生成三：借助外角，图4中延长AP，DC交点为M；图3中延长AP交CD与MMM具体过程由学生分组完成，小组交流，请代表上黑板展示【解法自然生成应用】图4同类拓展变式题（平行线间两个折点） 1+2+3+4=？同类拓展推广（平行线间n个折点） 1+2+3+n+2=？ 图3同类拓展变式题（平行线间两个折点） 1,2,3,4之间的关系？同类拓展推广（平行线间n个折点） 1,2,n+2之间的关系？图3、图4 同类逆向变式题如图11所示，已知A+ C=P，求证ABCD.如图12所示，已知A+P+C=，求证ABCD 【课堂小结】 通过对图3、4自然解法的探寻过程，尽管方法多样，精彩纷呈，但最终问题的实质就是一个数学模型解决一类问题，添加平行线，构造三角形、借助三角形外角，图3、4的自然解法对于其他几