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解析几何测试题答案（二）一、是非题（正确的打，错误的打）（1%10=10%）1. 向量可以比较大小。（ ）2. 设则。（ ）3. 当时，有。（）4. 设是不共线的向量，则与垂直的单位向量是。（）5. 向量在轴上的射影是。（）6. 方程表示旋转抛物面。（ ）7. 柱面方程是二元方程。（ ）8. 单叶双曲面为直纹曲面。（）9. 无心二次曲线没有渐近线。（ ）10. 二次曲线的任一主方向都有共轭的主直径。（ ）二、填空题（2%10=20%）1. 已知且与夹角则。2. 已知线段的端点A(2,0,1),端点B是A点关于轴的对称点， 是线段的三等分点，且离端较近，则P点的坐标是。3. 直线和平面的关系是 垂直 。4. 球面与平面的交线在面上的射影柱面方程是。5. 球心在，且与平面相切的球面方程是。6. 代表的曲面名称是 圆锥面 ，旋转轴是 轴 ，一条母线是。7. 点（2,1）是的正常点（正常点，奇异点，通过此点的切线方程是三、计算下列各题（8%4=32%）1已知是四面体的四个顶点，求四面体的体积。解：四面体的体积是以为棱的平行六面体体积六分之一，因此 .由于，故所以=。2.设一直线通过且与Z轴相交，又与平面平行，求这直线方程。解：设直线的方程是,它与已知平面平行，则有 (1)直线与Z轴相交，则利用相交的条件有即 (2)由（1）（2）得,由于，故所求直线方程是。3求通过两异面直线的公垂线且与平面成角的平面方程。 解：两异面直线的公垂线方向向量是公垂线方程是，即。所求平面过此公垂线，故可设平面方程是，其法向量是而已知平面的法向量故即 所以 所求平面方程是 4已知曲线的直径与轴平行，求它的方程，并求出这直径的共轭直径。解：，故与轴平行的直径的共轭直径为，即。设所求直径的方向是,而,由,得到,故所求直径的方程是即。四、证明（18%）无论取何非零值，直线绕轴旋转得到的曲面总为单叶旋转双曲面，并求当时，经过曲面上一点的两条直母线的夹角.解：1)设为母线上的任一点，则过的纬圆方程是（*）又在母线上，所以有，即代入（*），则消去参数，得到求得旋转曲面方程是,为单叶旋转双曲面.2)当时,曲面方程是,其两族直母线方程是与把点代入上述方程,求得和故直母线方程是和即与故故两母线夹角为五、作图题（20%）1. 画出方程所表示的图形。(5%)（方程代表的是双叶双曲面，图形省略）2化简二次曲线的方程，并画出它的图形(15%)解：因为所以曲线为非中心二次曲线，先转轴，设旋转角是，那么所以取则 故转轴公式是 （1）代入原方程整理得配方得再移轴 （2）曲线方程化为或，为抛
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