物体的运动规律.ppt

第一篇力学 第一篇经典力学 第一章质点的运动规律 1 1质点运动的描述 一参照物和参照系 1 恒定物体运动 静止的标准 引入参照物与参照系2 参照物与参照系 二理想物理模型 1 质点模型2 刚体模型 三描述物体运动的物理参量 1 位置矢量与运动方程2 位移与路程3 速度与速率4 平均加速度与加速度5 法向加速度与切向加速度 一 描述物体运动的线参量 二 描述物体运动的角参量 1 角位移2 角速度3 角加速度4 线参量与角参量的关系 四物体匀变速运动的描述 一参照物和参照系 1 恒定物体运动 静止的标准 引入参照物与参照系 哲学论断 a 人不能两次踏入同一条河流 b 人不能同时踏入同一条河流 运动是普遍的 绝对的 但对运动的描述却是相对的 描述一个物体的运动 总得选择另一物体或几个彼此之间相对静止的物体作为参考 这就要求引入参照物或参考系 2 参照物与参照系 参照物 被选取 且能用来描述物体运动状况的物体 参照系 固定与参照物之上 用来确定待描述物体空间位置和方向而引入的数学坐标系 参照物与参照系的关系 参照系是参照物的数学抽象 必须能够建立坐标系的物体才能充当参照物 二理想物理模型 1 质点模型 当物体的线度 大小和几何形状 对所研究物体运动状态的影响可以忽略不计时 用一个集中了物体所有质量的数学点来代表物体的运动状态 该点称为质点 2 刚体模型 当物体的形变对其运动状态的影响可以忽略不计时 将物体看作为一个不发生形变的几何体 三描述物体运动的物理参量 1 位置矢量与运动方程 1 位置矢量 时刻t 由坐标原点指向质点的有向线段 一 描述物体运动的线参量 2 位置矢量的特征 相对性 参照系瞬时性 时刻t矢量性 大小 方向 运算法则 2 运动方程 位置矢量的时间函数 3 轨道方程 质点在空间运动时的轨迹方程 称为轨道方程 说明 运动方程一般应写成矢量形式B 说明 轨道方程可由运动方程消去时间参量t得到 数学表示为 f x y z 0 例 质点从如图所示位置开始做匀速圆周运动求 运动方程与轨道方程 解 运动方程 轨道方程 2 位移与路程 1 位移 在时间t内 由初始位矢指向末位矢的有向线段 直角坐标表示 说明 矢量性 大小 方向 运算法则位移函数消去时间t 得轨道方程 位移矢量通常用r矢量 而不是 r矢量表示位移与位矢的关系 2 路程 在时间t内 物体运动轨迹的长度 称时间t内物体的路程 注意 路程与位移的区别 联系 略 问题 A 什么情形下物体路程与位移相等 B 判断 物体在时间t内路程为0 则物体一定保持相对静止物体在时间t内位移为0 则物体一定保持相对静止 3 速度与速率 1 平均速度 直角坐标表示 2 即时速度 直角坐标表示 平均速率 即时速率 说明 a 即时速度不一定等于平均速度 只有在匀速直线运动情形下两者相等b 平均速率不一定等于即时速率 c 即时速率与即时速度的大小相等 例 判断下列写法是否正确 解 作为特例 讨论例子 可见 两种表达式结果不同 几何意义的区别如图 例 已知一质点沿x轴作直线运动 t时刻的坐标为 x 4 5t2 2t3求 1 第二秒内的平均速度 2 第二秒末的即时速度 3 第二秒内的平均速率 解 1 第二秒内的平均速度 如何理解平均速度前的负号 2 第二秒末的即时速度 当t 2s时 3 第二秒内的平均速率 解得 t 1 5s 说明 求解平均速率前 一定考虑物体运动方向是否有改变 4 平均加速度与加速度 1 平均加速度 直角坐标表示 说明 平均加速度与速度改变量的方向一致 与速度本身方向没有必然联系 2 即时加速度 直角坐标表示 说明 加速度与速度改变量的方向一致 与速度本身方向无关加速度方向总指向轨迹曲线的凹侧 由高数二阶导数知识 例 描述以作匀速圆周运动的质点的运动状况 并证明其速度方向沿圆周切线方向 加速度方向指向圆心 解 如图建立坐标系 A 运动学方程 于是 B 轨道方程 C 速度 D 加速度 E 证明其速度方向沿圆周切线方向 速度方向沿圆周切线方向 F 加速度方向指向圆心 加速度方向与径向方向相反 指向圆心 说明 1 对物体运动状态的描述或分析物体的运动状态 就是给出描述物体运动状态所有参量的表达式 即 运动方程 轨道方程 速度 加速度 如P34 例3 4 自己分析 2 讨论矢量方向的通用方法是 证明该矢量的单位矢量与一已知矢量的单位矢量的标积 从而确定其方向 3 求质点运动方程或轨道方程 一般是首先求出各分量坐标随时间变化的函数关系式 然后求运动方程或轨道方程 例 灯距地面的高度为H 身高为h的人在灯下以匀速率v沿水平直线行走 如图3 4所示求 他的头顶在地面上的影子M点沿地面的移动速度 解 对矢径未知的问题 需先建立坐标系 找出矢径再用求导的方法处理 本题中影子M点的运动方向向左 故只需建立如图所示的一维 x 坐标 解得 由三角形MCD与三角形MAB相似 注意到 故影子M点运动速度为 例 质点沿x轴运动 加速度和速度的关系是 a kv 式中k为常量 t 0时 x x0 v v0求 质点的运动方程 完成积分得 解 完成积分就得运动方程 又由 有 5 向心加速度和切向加速度 1 自然坐标 建立在质点运动轨迹上 以其切向和法向两个方向的单位矢量作为其独立的坐标方向的坐标系 称为自然坐标系 自然坐标系在描述物体曲线运动方面有较大优越性 2 法向加速度与切向加速度 故 又 讨论A 物理意义 表沿切线方向速度大小 速率 的变化率 称切向加速度 表速度方向变化快慢 方向指向圆心 称向心加速度 C 标量 矢量的求导法则矢量的导数 矢量大小的导数 矢量方向的导数标量的导数 标量大小的导数 例 判断下列写法是否正确 错 应是 或 错 应是 因 错 因 而 显然 类似地 由an at 得 解得 2 由 解 1 由公式 例 求斜抛体在任一时刻的法向加速度an 切向加速度at和轨道曲率半径 设初速为v0 仰角为 解 设坐标x y沿水平和竖直两个方向 如图示 总加速度 重力加速度 g是已知的 所以an at只是重力加速度g沿轨道法向和切向的分量 由图可得 讨论 1 在轨道的最高点 显然 0 vy 0 故该点 an g at 0 2 因速率v可由已知公式直接写出 于是此题也可先求 例 一质点由静止开始沿半径r 3m的圆周运动 切向加速度at 3m s 求 1 第1s末加速度的大小 2 经多少时间加速度a与速度v成450 解 1 由 2 加速度a与速度v成450 意味着a与an和at都成450 即表示an at 于是有 3t2 3 求出t 1s 二 描述物体运动的角参量 1 引入描写物体运动角参量的原因 对转动问题 刚体各点线参量不同 用线参量描述刚体转动要求对刚体每点都进行描述 而刚体转动时的角参量却各点都一样 使用角参量描述刚体转动问题是方便的 2 描写物体运动的角参量 A 角位移 在t时间内 物体绕转轴转过的角度 且规定逆时针方向角位移为正 顺时针方向角位移为负 B 角速度 某一时刻t 角位移随时间变化的快慢 说明 角速度是矢量 方向按右手螺旋法则判定 下页图 C 角加速度 某一时刻t 角速度随时间变化的快慢 3 角参量与线参量之间的关系 1 条件 下述关系对圆周运动成立 2 角参量与线参量之间的关系 A 数值大小关系 B 矢量关系 四物体匀变速运动的描述 作为上述运动学规律的重要应用 我们简单回顾匀变速运动规律 包括匀变速直线运动和匀变速圆周运动 匀变速运动具有相似的物理规律 请大家从物理和数学角度仔细体会下面比较列表 附表 常见匀变速运动规律的描述 匀变速直线运动 匀变速圆周运动 状态参量 位置 位移 速度 加速度 运动规律的描述 匀速运动 右手螺旋定则 匀变速运动 例 一半径R 1m的飞轮 角坐标 2 12 t t3 SI 求 1 飞轮边缘上一点在第1s末的法向加速度和切向加速度 2 经多少时间 转几圈飞轮将停止转动 an R 2 12 3 t2 2 at R 6 t代入t 1s an 81 2 at 6 SI 2 停止转动条件 12 3 t2 0 求出 t 2s t 0 0 2 而t 2s 2 18 所以转过角度 2 0 16 8圈 解 1 例 质点由静止开始沿半径为R的圆周运动 角加速度 为常量求 1 该质点在圆上运动一周又回到出发点时 经历的时间 2 此时它的加速度的大小是多少 解 由角加速度 为常量 注意到此处 0 0 于是 2 an R 2 4 R at R 故加速度的大小为 得 例 质点在水平面内从静止开始沿半径R 2m的圆周运动 设计时起点的角位移为0 质点的运动规律表述为 kt2 k为常数 已知质点在第2s末的线速度为32m s求 t 0 5s时 质点的线速度 加速度 角位移 解 1 质点的线速度 由题意 运动常数k应是确定的 2 质点的加速度 质点的加速度包含切向加速度和向心加速度 3 质点的角位移 说明 A 熟悉角参量与线参量的关系 用角参量和线参量对物体运动规律描述的对应关系 B 物体作曲线运动时 加速度包含切向加速度和向心加速度 求矢量时 应给出大小 方向 C 运动学的应用包含两类问题 一是由运动学方程通过求导计算速度 加速度 一是由运动参量加速度 或速度 通过积分计算运动学方程 参见书P33 P36 1 2相对运动问题 内容结构 一相对运动问题的提出 二惯性系下的相对运动理论 三惯性系下相对运动理论的应用 一相对运动问题的提出 参照系的选择是任意的 因此 对物体运动的描述问题 不仅在于用同一参照系对物体运动状态的描述 还必须解决用不同参照系对同一运动物体运动描述所得的结果之间的转化问题 变换问题 物理规律在不同坐标系之间的变换是任何物理领域中的重要和关键问题 二惯性系下的相对运动理论 惯性系 牛顿定律严格成立的参照系 称为惯性系 说明 对非惯性系 牛顿定律是不成立的 我们现在只限于讨论惯性系问题 1 惯性系 2 惯性系下的相对运动理论 基本模型 假定参考系S和S 之间只有相对平移而无相对转动 且各对应坐标轴在运动中始终保持平行 上式两边同时对时间求导 讨论 1 上述理论的适用条件 A 只对惯性参考系成立 B 建立理论的基础是宏观 低速的牛顿时空观 在上述推理过程中 用到两个前提假设 一是认为在不同参照系下测得的位矢长度都相同 在k系和k 系测得的rk 相同 否则 就不能应用平行四边形法则 平行四边形法则只能对同一参照系适用 二是认为在不同坐标系下测得的时间都相同 否则就不能在等式两边同时对时间求导 这两个前提假设称牛顿绝对时空观 相对论时空观则否认这两个基本假设 2 物理意义 A 绝对速度 绝对加速度 将物体相对于静止参考系的速度 加速度 称为绝对速度 绝对加速度 B 相对速度 相对加速度 将物体相对于运动参考系的速度 加速度 称为相对速度 相对加速度 C 牵连速度 运动参照系相对于静止参考系的速度 于是 相对运动的物理意义可以理解为 绝对速度 相对速度 牵连速度 绝对加速度 相对加速度 牵连加速度 3 应用方法 A 确定描述对象 选择静止系和运动参照系B 确定绝对速度 相对速度 牵连速度C 利用 2 4 或物理意义列方程并求解 例 飞机罗盘显示飞机机头以速度215km h向正东飞行 风速为65km h 风速方向向正北求 1 飞机相对地面的速度 2 飞机欲向正东飞行 机头应指向什么方位 解 1 飞机相对地面的速度A 选择描述对象 确定静止参照系和运动参照系描述对象 飞机 静止系 地面 运动系 风B 确定绝对速度 相对速度 牵连速度V绝 飞机相对于地面的速度 V相 飞机相对于风的速度 215km h正东V牵 风相对于地面的速度 65km h正北 C 利用公式物理意义列方程并求解 由绝对速度 相对速度 牵连速度 飞机相对地面的速度为 2 飞机欲向正东飞行 机头应指向什么方位 飞机欲向正东飞行 即飞机的绝对速度方向指向正 东 相对速度 牵连速度不变 则 讨论 讨论相对运动问题的关键在于正确确定静止参照系 运动参照系 并准确确定三种速度 作题时 一定按上述步骤求解 否则 很容易出错 例 当自行车向正东方向以5m s的速度行驶时 感觉风从正北向正南方向吹 当自行车速度增加2倍时 感觉风从北偏东45 方向吹来求 风相对于地面的速度 解 设研究对象为风 地面为绝对系 自行车为相对参考系 自行车向正东方向以5m s的速度行驶时 v绝 风相对于地面的速度 待求 v相 风相对于自行车的速度 v牵 自行车相对于地的速度 自行车向正东方向以15m s的速度行驶时 联立求解上述四个方程得 解 对于相对运动的问题 首先要正确写出速度合成定理 注意 上式是一个矢量关系式 求解上式的办法有两个 一是画出矢量三角形 再解这个三角形 二是建立一个直角坐标系 把每个速度矢量用单位矢量表示出来 用代数方法求解 1 矢量三角形法 按速度合成定理画出的三角形如图所示 例 一人骑自行车以速率v向正西行驶 今有风以相同速率从北偏东300方向吹来 试问 人感到的风速大小是多少 风从哪个方