信号的采样与恢复.doc

中北大学课 程 设 计 说 明 书学生姓名： 学 号： 学 院： 信息与通信工程学院 专 业： 题 目： 信号的采样与恢复 指导教师： 职称: 2013年 月 日中北大学课程设计任务书 2012/2013 学年第 二 学期学 院： 信息与通信工程学院 专 业： 学 生 学 号： 课程设计题目： 信号的采样与恢复 起 迄 课程设计地点： 中北大学 指 导 教 师： 系 主 任： 下达任务书日期: 年 月 日课 程 设 计 任 务 书1设计目的：通过本课程设计, 主要训练和培养学生综合应用所学过的信号及信息处理等课程的相关知识，独立完成信号仿真以及信号处理的能力。包括：查阅资料、合理性的设计、分析和解决实际问题的能力，数学仿真软件Matlab和C语言程序设计的学习与应用，培养规范化书写说明书的能力。2设计内容和要求（包括原始数据、技术参数、条件、设计要求等）：设有一信号Xa(t)=EXP-1000|t|,计算傅立叶变换，分析其频谱，并在精度为1/1000的条件下，分别取采样频率为F=5000Hz,F=1000Hz,绘出对应的采样信号的时域信号波形频谱图。3设计工作任务及工作量的要求包括课程设计计算说明书(论文)、图纸、实物样品等：1、实现信号时域分析和频谱分析以及滤波器等有关Matlab函数。2、写总结报告及基本原理，有关程序，得出图表，结果分析，总结。 课 程 设 计 任 务 书4主要参考文献：1 桂志国等编著.数字信号处理.北京:科学出版社，2010.2 高西全、丁玉美编著.数字信号处理.西安:西安电子科技大学出版社，2008.3 郑君里等编.信号与系统.北京:高等教育出版社，2000.4 刘树棠译.数字信号处理使用MATLAB.西安:西安交通大学出版社，2002.5 导向科技编著.MATLAB程序设计与实例应用.北京：中国铁道出版社，2001.6 罗军辉等编著.MATLAB7.0在数字信号处理中的应用.北京：机械工业出版社，2005.7 陈怀琛等编著.MATLAB及在电子信息课中的应用.北京：电子工业出版社，2002.8 胡广书编著.数字信号处理理论、算法与实现.北京：清华大学出版社，2002.9 梁虹等编.信号与线性系统分析基于MATLAB的方法与实现.北京：高等教育出版社，2006.10 刘卫国主编.MATLAB程序设计与应用（第二版）. 北京：高等教育出版社，2006.5设计成果形式及要求：毕业设计说明书仿真结果6工作计划及进度：课 程 设 计 任 务 书系主任审查意见： 签字： 年 月 日 目录一 摘要.2二 关键词.2三 设计目的、意义.2四 正文.3 1.设计内容和要求.3 2.设计原理及任务分析.3 2.1设计原理.3 2.2 设计任务分析.5 3.程序的设计与分析.6 3.1信号采样的程序设计.6 3.2滤波器的设计.8 3.3信号恢复的程序设计.11 4.采样与恢复的总体实现 .13 4.1程序总代码.13 4.2采样前与恢复后的对比分析.16五 结果分析.17六 设计心得.18七 参考文献.19 一 摘要 数字信号处理是一门理论与实践紧密结合的课程。做大量的习题和上机实验， 有助于进一步理解和巩固理论知识，还有助于提高分析和解决实际问题的能力。过去用其他算法语言，实验程序复杂，在有限的实验课时内所做的实验内容少。MATLAB强大的运算和图形显示功能，可使数字信号处理上机实验效率大大提高。特别是它的频谱分析和滤波器分析与设计功能很强，使数字信号处理工作变得十分简单、直观。本实验设计的题目是：信号的采样与恢复。通过产生一个连续时间信号并生成其频谱，然后对该连续信号抽样，并对采样后的频谱进行分析，实验中，原连续信号的频谱由于无法实现真正的连续，所以通过扩大采样点的数目来代替，理论上当采样点数无穷多的时候即可实现连续，基于此尽可能增加采样点数并以此来产生连续信号的频谱。信号采样过程中，通过采样点的不同控制采样频率实现大于或小于二倍最高连续信号的频率，从而可以很好的验证采样定理。 二 关键词：信号 采样MATLAB傅里叶变换三 设计目的、意义 1、设计目的 通过本课程设计，主要训练和培养学生综合应用所学过的信号及信息处理等课程的相关知识，独立完成信号仿真及信号处理的能力。包括：查阅资料、合理性的设计、分析和解决实际问题的能力，数学仿真软件Matlab和C语言程序设计的学习和应用，培养规范化书写说明书的能力。 2、设计意义 通过查询各种资料，掌握了信号采样和恢复的原理及方法，进一步理解了连续时间信号的频谱与采样后频谱的关系，熟练掌握了采样定理，而在整个实验的思考设计过程中，不仅锻炼了我的思维，也让我体会到了必须以严谨与认真的科学态度对待科学研究。 正 文 1.设计内容和要求设有一信号Xa(t)=EXP-1000|t|,计算傅立叶变换，分析其频谱，并在精度为1/1000的条件下，分别取采样频率为F=5000Hz,F=1000Hz,绘出对应的采样信号的时域信号波形频谱图。（1） 实现信号时域分析和频谱分析以及滤波器等有关Matlab函数。（2） 写好总结、程序、图表、原理、结果分析。 2.设计原理及任务分析 2.1设计原理本次课程设计主要涉及采样定理、傅里叶变换、信号时域分析和频谱分析的相关内容的相关知识。 1.采样定理 设连续信号属带限信号，最高截止频率为，如果采样角频率，那么让采样性信号通过一个增益为T、截止频率为的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号。否则，会造成采样信号中的频谱混叠现象，不可能无失真地恢复原连续信号。对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，对其进行傅里叶变换可以发现采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的。对模拟信号进行采样可以看做一个模拟信号通过一个电子开关S，设电子开关每隔周期T和上一次，每次和上的时间为，在电子开关的输出端得到采样信号xa(t)。 图1-1对模拟信号进行采样2、傅里叶变换(1)对于一个非周期函数f（t），如果在（，）满足下列条件：、f（t）在任一有限区间上满足狄利克雷条件；、f（t）在（，）上绝对可积（如下积分收敛），即： （1）则有下式的傅立叶积分成立： （2）(2)f(t)满足傅立叶积分定理条件时，下图式的积分运算称为f(t)的傅立叶变换， 式的积分运算叫做F()的傅立叶逆变换。F()叫做f(t)的象函数，f(t)叫做 F()的象原函数。 (3)傅里叶变换在数字信号处理中的意义傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。本次课程设计用到的是快速傅里叶变换（FFT），快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。用matlab软件应用快速傅里叶变换（FFT）算法编一段程序可以很方便地对时域信号进行采样和频谱分析，对数字信号处理和分析提供了极大的便利，在实际应用中有广泛的指导意义。2.2 设计任务分析 根据任务的要求，整个信号的采样与恢复过程可以分成三步进行。首先是信号的采样，按照采样定理的要求从给定信号中采取N个不同的点，并在精度为1/1000的条件下，采取不同的采样频率对采样信号进行时域和频域的分析以获得相应的数据；其次，要想从采样信号中尽可能准确的恢复出原始信号，必须根据采样信号的相关参数来设计相应技术指标的滤波器，滤波器的选择和技术指标的设定影响了整个恢复过程的精度；最后，把采样信号通过设计的滤波器滤波后即可得到滤波后的频率谱，再把得到的频率谱做傅立叶反变换即可得到相应的时域信号，那么所得到的这个时域信号就是采样后经过滤波器恢复的信号。总的设计框图如下：图2-2 信号的采样与恢复原理图3.程序的设计与实现3.1信号采样的程序设计设计思路： 根据题目的要求，通过对信号Xa(t)=EXP-1000|t|进行傅立叶变换来得到其频谱，我们可以对该信号直接调用DFT（）函数即可得到其频谱，但要求精度为1/1000，并且采样频率分别为F=5000Hz和F=1000Hz，所以我们要分别设置采样频率与采样间隔。具体参数如下： F1=5000HZ（采样频率1），T1=1/F1=0.0002S（采样间隔1），F2=1000HZ（采样频率2），T2=1/F2=0.001S（采样间隔2），为使采样精度在1/1000以上，经计算可得时域采样信号的总长度L=0.007S，则相应的采样点数N1=L/T1=0.007/0.0002=35,N2=L/T2=0.007/0.001=7，进而可以得到相应的时域和频域步长t1=-L:T1:L、t2=-L:T2:L、f1=-F1:F1/N1:F1、f2=-F2:F2/N2:F2。程序代码如下：F1=5000;T1=1/F1;L=0.007;F2=1000;T2=1/F2;N1=L/T1;N2=L/T2;t1=-L:T1:L;x1=exp(-1000*abs(t1);t2=-L:T2:L;x2=exp(-1000*abs(t2);f1=-F1:F1/N1:F1;y1=T1*fft(x1);f2=-F2:F2/N2:F2;y2=T2*fft(x2);figure(1);subplot(2,2,1);stem(t1,x1);title(采样频率为5000HZ的采样信号);subplot(2,2,2);plot(f1,y1);title(采样频率为5000HZ的信号频谱);subplot(2,2,3);stem(t2,x2);title(采样频率为1000HZ的采样信号);subplot(2,2,4);plot(f2,y2);title(采样频率为1000HZ的信号频谱);设计结果：图3-1 采样信号时域谱与频域谱结果分析： 由程序结果图可以看到，在不同采样频率下所得到的采样信号的疏密程度不同，进而所得到的频率谱密度也不同，所以在以后的恢复中要设置相应的参数才能尽可能减少失真。3.2滤波器的设计设计思路： 根据所得采样信号的频谱特点，可以看到有用信号大多集中在高频断，而低频段的频谱幅度相比高频段的频谱幅度少很多，所以我们可以忽略一定的低频段来保留高频成分，这一特点的要求正是高通滤波器的特点，因此我们可以采用高通滤波器来滤除信号的低频段，再根据采样信号本身的特点，在无严格相位线性的要求下我们可以采用IIR高通滤波器来实现滤波要求。具体参数如下： 由频率谱曲线可得，在F1抽样频率下IIR高通滤波器技术指标，fs1=1500HZ,fp1=3500HZ，在F2抽样频率下IIR高通滤波器技术指标，fs2=1500HZ,fp2=3500HZ；通带衰减小于2dB，阻带衰减大于15dB；要由数字频率得到数字角频率需通过相应的变换，即wp=2*pi*fp/fsa, ws=2*pi*fs/fsa；再由数字角频率转换为模拟角频率需通过相应的变换，即Wp=2/T*tan(wp/2),Ws=2/T*tan(ws/2)；根据以上得到的数据，调用现成的函数就可设计出所需要的IIR高通滤波器。程序代码如下：fp1=3500;fs1=1500;Rp=2;Rs=30;Fs1=8000;Ts1=1/Fs1;fp2=700;fs2=300;Fs2=1600;Ts2=1/Fs2;wp1=2*pi*fp1/Fs1;ws1=2*pi*fs1/Fs1;Wp1=2/Ts1*tan(wp1/2);Ws1=2/Ts1*tan(ws1/2);N1,Wn1=buttord(Wp1,Ws1,Rp,Rs,s); Z1,P1,K1=buttap(N1);Bap1,Aap1=zp2tf(Z1,P1,K1);b1,a1=lp2hp(Bap1,Aap1,Wn1); bz1,az1=bilinear(b1,a1,Fs1); H1,W1=freqz(bz1,az1);wp2=2*pi*fp2/Fs2;ws2=2*pi*fs2/Fs2;Wp2=2/Ts2*tan(wp2/2);Ws2=2/Ts2*tan(ws2/2);N2,Wn2=buttord(Wp2,Ws2,Rp,Rs,s); Z2,P2,K2=buttap(N2);Bap2,Aap2=zp2tf(Z2,P2,K2);b2,a2=lp2hp(Bap2,Aap2,Wn2); bz2,az2=bilinear(b2,a2,Fs2); H2,W2=freqz(bz2,az2);figure(2);subplot(2,1,1);plot(W1*10000/(2*pi),abs(H1);grid;xlabel(频率（HZ）);ylabel(频率响应幅度);title(5000HZ采样频率高通滤波器);subplot(2,1,2);plot(W2*2000/(2*pi),abs(H2);grid;xlabel(频率（HZ）);ylabel(频率响应幅度);title(1000HZ采样频率高通滤波器);设计结果：图3-2 IIR高通滤波器频率幅度谱结果分析： 滤波器的过渡带衰减程度可由通带衰减Rp和阻带衰减Rs决定，衰减的强弱很大程度上影响了滤波器的滤波特性；IIR高通数字滤波器主要通过双线性法和冲激响应不变法得到，但这种设计中数字频率与模拟频率之间非线性，需要在设计之前进行预畸处理；总体说来IIR数字滤波器的设计步骤是：（1）按一定规则将给出的数字滤波器的技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标；（2）根据转换后的技术指标设计模拟低通滤波器Ha(s)；（3）按一定规则将Ha(s)转换为H(z)。而模拟低通滤波器有巴特沃斯模拟低通、切比雪夫模拟低通、椭圆模拟低通、贝塞尔模拟低通等；在Matlab中，经典法设计IIR数字滤波器主要采用以下步骤： 图3-2 IIR数字滤波器设计步骤3.3信号恢复的程序设计设计思路： 采样后的信号既含有高频成分又含有低频成分，但根据采样信号频谱的特点可选择性地保留高频成分还是低频成分，在时域中可以与对应高通或者低通滤波器做乘积即可得经过滤波器后的采样信号，根据卷积定理的基本性质，两信号在时域的乘积经过傅立叶变换后正比于两信号各自频域的卷积，进而我们可以先采取在频域范围内对有用频谱进行滤波然后把得到滤波后的频谱进行傅立叶反变换，此时，经过反变换后所得到的信号即为采样后所恢复出的原始信号。具体参数如下：Y = filter(bz,az,X)，其中bz，az分别为数字滤波器传递函数分子和分母的多项式系数，X为输入信号，Y为输出信号，假设在实验中以x(n)作为输入序列x(n)=-4,-2,0,-4,-6,-4,-2,-4,-6,-6,-4,-4,-6,-6,-2,6,12,8,0,-16,-38,-60,-84,-90,-66,-32,-4,-2,-4,8,12,12,10,6,6,6,4,0,0,0,0,0,-2,-4,0,0,0,-2,-2,0,0,-2,-2,-2,-2,0，可直接调用filter()函数即可滤除其中的干扰成分。程序代码如下：Y1=filter(bz1,az1,y1);Y2=filter(bz2,az2,y2);figure(3);subplot(2,1,1);plot(f1,Y1);xlabel(频率（HZ）);ylabel(频率响应幅度);title(5000HZ采样频率滤波后的频谱);subplot(2,1,2);plot(f2,Y2);xlabel(频率（HZ）);ylabel(频率响应幅度);title(1000HZ采样频率滤波后的频谱);X1=abs(1/T1*ifft(Y1);X2=abs(1/T2*ifft(Y2);figure(4);subplot(2,1,1);stem(t1,X1);xlabel(时间（S）);ylabel(信号幅度);title(经滤波器滤波后的采样信号（F1=5000HZ);subplot(2,1,2);stem(t2,X2);xlabel(时间（S）);ylabel(信号幅度);title(经滤波器滤波后的采样信号（F2=1000HZ);设计结果：图3-4 滤波后采样信号的频谱结果分析： 将滤波后的频谱与滤波前的频谱进行对比可以看到，信号的高频成分被很好的保留而低频成分被有效的保留了下来，但经过滤波后的输出频谱波形产生了一定的相位延迟，这是因为采用双线性变换法IIR滤波器设计中相位非线性所带来的，但这种相位非线性并不影响信号的幅频特性，输出的波形基本与原始波形保持一致，最后把滤波后采样信号的频谱进行傅立叶反变换，调用IDFT（）函数就可以恢复出相应的时域信号。4.采样与恢复的总体实现4.1程序总代码F1=5000;T1=1/F1;L=0.007;F2=1000;T2=1/F2;N1=L/T1;N2=L/T2;t1=-L:T1:L;x1=exp(-1000*abs(t1);t2=-L:T2:L;x2=exp(-1000*abs(t2);f1=-F1:F1/N1:F1;y1=T1*fft(x1);f2=-F2:F2/N2:F2;y2=T2*fft(x2);figure(1);subplot(2,2,1);stem(t1,x1);title(采样频率为5000HZ的采样信号);subplot(2,2,2);plot(f1,y1);title(采样频率为5000HZ的信号频谱);subplot(2,2,3);stem(t2,x2);title(采样频率为1000HZ的采样信号);subplot(2,2,4);plot(f2,y2);title(采样频率为1000HZ的信号频谱);fp1=3500;fs1=1500;Rp=2;Rs=30;Fs1=8000;Ts1=1/Fs1;fp2=700;fs2=300;Fs2=1600;Ts2=1/Fs2;wp1=2*pi*fp1/Fs1;ws1=2*pi*fs1/Fs1;Wp1=2/Ts1*tan(wp1/2);Ws1=2/Ts1*tan(ws1/2);N1,Wn1=buttord(Wp1,Ws1,Rp,Rs,s); Z1,P1,K1=buttap(N1);Bap1,Aap1=zp2tf(Z1,P1,K1);b1,a1=lp2hp(Bap1,Aap1,Wn1); bz1,az1=bilinear(b1,a1,Fs1); H1,W1=freqz(bz1,az1);wp2=2*pi*fp2/Fs2;ws2=2*pi*fs2/Fs2;Wp2=2/Ts2*tan(wp2/2);Ws2=2/Ts2*tan(ws2/2);N2,Wn2=buttord(Wp2,Ws2,Rp,Rs,s); Z2,P2,K2=buttap(N2);Bap2,Aap2=zp2tf(Z2,P2,K2);b2,a2=lp2hp(Bap2,Aap2,Wn2); bz2,az2=bilinear(b2,a2,Fs2); H2,W2=freqz(bz2,az2);figure(2);subplot(2,1,1);plot(W1*10000/(2*pi),abs(H1);grid;xlabel(频率（HZ）);ylabel(频率响应幅度);title(5000HZ采样频率高通滤波器);subplot(2,1,2);plot(W2*2000/(2*pi),abs(H2);grid;xlabel(频率（HZ）);ylabel(频率响应幅度);title(1000HZ采样频率高通滤波器);Y1=filter(bz1,az1,y1);Y2=filter(bz2,az2,y2);figure(3);subplot(2,1,1);plot(f1,Y1);xlabel(频率（HZ）);ylabel(频率响应幅度);title(5000HZ采样频率滤波后的频谱);subplot(2,1,2);plot(f2,Y2);xlabel(频率（HZ）);ylabel(频率响应幅度);title(1000HZ采样频率滤波后的频谱);X1=abs(1/T1*ifft(Y1);X2=abs(1/T2*ifft(Y2);figure(4);subplot(2,1,1);stem(t1,X1);xlabel(时间（S）);ylabel(信号幅度);title(经滤波器滤波后的采样信号（F1=5000HZ);subplot(2,1,2);stem(t2,X2);xlabel(时间（S）);ylabel(信号幅度);title(经滤波器滤波后的采样信号（F2=1000HZ);4.2采样前与恢复后的对比分析(1)频域信号的对比图4-1 频域信号采样前后对比(2)时域信号的对比图4-2 时域信号采样前后对比五.结果分析 1.由程序结果图可以看到，在不同采样频率下所得到的采样信号的疏密程度不同，进而所得到的频率谱密度也不同，所以在以后的恢复中要设置相应的参数才能尽可能减少失真。 2.为了避免产生混叠现象，能从抽样信号无失真地恢复出原始信号，抽样频率必须大于或等于信号频谱最高频率的两倍；理想滤波器物理上是不可能实现的，实际的滤波器是物理可实现的，即在通带和阻带之间存在过渡带，且频率响应在阻带内也不完全为零，实际上是一个较小的容限内；滤波器的截至频率应大于等于采样频率的频率的一半，否则会滤掉信号的有用成分，进而恢复时产生严重的失真。 3.将滤波后的频谱与滤波前的频谱进行对比可以看到，信号的高频成分被很好的保留而低频成分被有效的保留了下来，但经过滤波后的输出频谱波形产生了一定的相位延迟，这是因为采用双线性变换法IIR滤波器设计中相位非线性所带来的，但这种相位非线性并不影响信号的幅频特性，输出的波形基本与原始波形保持一致，最后把滤波后采样信号的频谱进行傅立叶反变换，调用IDFT（）函数就可以恢复出相应的时域信号。六.设计心得本次课程设计是用matlab软件编一段程序对信号进行采样和频谱分析，经过两周的努力,我们终于完成了此次课程设计。通过本次课程设计，我们学会了很多东西。首先，通过本次的课程设计，使我们对采样定理的一些基本公式得到了进一步巩固。在整个课程设计过程中，查阅了很多相关知识，从这些书籍中我们受益良多。虽然刚开始对信号采样过程和频谱分析认识不深，但是通过这次实验对信号采样过程和频谱分析过程有了进一步掌握。在学习MATLAB知识的基础之上，我又进一步熟悉了MATLAB的各函数功能，同时学会利用MATLAB实现模拟信号的时域、频域间的变换，达到了实验的最初目的，其次，在掌