高等数学第12章试题.doc

高等数学院系_学号_班级_姓名_得分_题号选择题填空题计算题证明题其它题型总分题分3030303030核分人得分复查人一、选择题（共 30 小题，30 分）1、微分方程满足条件的解是（A）（B）（C）（D） 答（ ）2、微分方程的一个特解应具有形式（A）（B）（C）（D） 答：（ ）3、若方程的系数满足为非零实常数），则该方程有特解(A)(B) (C) (D) 答：（ ）4、若方程的系数满足，,则该方程有特解(A)(B) (C) (D) 答：（ ）5、微分方程的一个特解应具有形式（A）（B）（C）（D） 答：（ ）6、微分方程的一个特解应具有形式（A）（B）（C）（D） 答：（ ）7、微分方程的一个特解应具有形式（A）（B）（C）（D） 答（ ）8、微分方程的一个特解应具有形式（A）（B）（C）（D） 答：（ ）9、微分方程满足条件的解是（A）（B）（C）（D） 答（ ）10、微分方程满足条件的解是（A）（B）（C）（D） 答（ ）11、微分方程满足条件的解是（A）（B）（C）（D） 答（ ）12、设是待定常数，则微分方程的一个特解应具有形式（A） （B）（C） （D） 答：（ ）13、微分方程满足条件的解是（A）（B）（C）（D） 答（ ）14、微分方程的一个特解应具有形式（A） （B）（C） （D） 答：（ ）15、若方程的系数满足，,则该方程有特解(A)(B) (C) (D) 答：（ ）16、微分方程满足条件的解是（A）（B）（C）（D） 答（ ）17、微分方程的一个特解应具有形式（A）（B）（C）（D） 答：（ ）18、微分方程的一个特解应具有形式（A）（B）（C）（D） 答：（ ）19、微分方程的一个特解应具有形式（A）（B）（C）（D） 答：（ ）20、微分方程的一个特解应具有形式（A）（B）（C）（D） 答：（ ）21、微分方程的一个特解应具有形式（A）（B）（C）（D） 答：（ ）22、微分方程的一个特解应具有形式（A）（B）（C）（D） 答：（ ）23、若方程的系数满足，,则该方程有特解(A)(B) (C) (D) 答：（ ）24、微分方程的一个特解应具有形式（A） （B）（C） （D） 答：（ ）25、微分方程的一个特解应具有形式（A）（B）（C）（D） 答：（ ）26、微分方程满足条件的解是（A）（B）（C）（D） 答（ ）27、微分方程的一个特解应具有形式（A）（B）（C）（D） 答（ ）28、微分方程的一个特解应具有形式（A）（B）（C）（D） 答：（ ）29、微分方程的一个特解应具有形式（A）（B）（C）（D） 答：（ ）30、设为待定常数，微分方程的一个特解应具有形式（A）（B）（C）（D） 答（ ）二、填空题（共 30 小题，30 分）1、满足方程的函数是 _ 。2、曲线上任一点处的切线斜率为该点横坐标的平方，则此曲线的方程是_ 。3、微分方程的通解是 _ 。4、微分方程的通解是 _ 。5、曲线上任一点的次切线（切点到轴的一段切线在轴上的投影）均等于4，则曲线应满足的微分方程是_。6、微分方程用待定系数法确定的特解（系数值不求）形式是_ 。7、一质量为的质点作直线运动，已知其上受一个与运动方向一致，大小与时间平方成正比（比例系数为 ）的力作用，且还受一个与速度成正比（比例系数为 ）的阻力作用，则该质点运动速度与时间应满足的微分方程是_ 。8、微分方程用待定系数法确定的特解（系数值不求）形式是_ 。9、若方程均为实常数）有特解，则 等于_， 等于_ 。10、一轮船质量为m，当前进速度为时，推进器停止工作。已知轮船受水的阻力与轮船的速度的平方成正比（比例系数为），则轮船的速度与时间的函数关系是_ 。11、微分方程的一条积分曲线在点处有水平切线，此积分曲线是_ 。12、微分方程的通解是 _ 。13、微分方程的通解为 _ 。14、微分方程的通解是 _ 。15、一曲线上点的切线自切点到纵坐标轴间的切线段有定长2，则曲线应满足的微分方程_ 。16、微分方程的通解是 _ 。17、微分方程的通解是 _ 。18、曲线上任一点处的切线斜率等于，且过点，则该曲线方程是_。19、微分方程的通解是 _ 。20、微分方程的通解是 _ 。21、微分方程的通解是 _ 。22、微分方程的通解是 _ 。23、设为定义在上一函数组，(1)如果存在一组_数，使 ，则称在上线性相关。24、若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为，其中为独立的任意常数，则该方程为_ 。25、一质点沿直线运动，已知在时间时加速度为 ，开始时 速度为 ，则速度与时间 的函数关系式是_ 。26、若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为，其中，为独立的任意常数，则该方程为_ 。27、求微分方程的通解是 _ 。28、一质量为m的物体在空气中由静止开始下落。已知空气阻力与下落速度平方成正比（比例系数为），则物体下落的速度与时间应满足的微分方程初值问题是_ 。29、镭的衰变速度与它的现存量成正比（比例系数为 ），已知在时刻镭的存量为 ，则镭的量 与时间 应满足的微分方程初值问题是_ 。30、已知曲线积分在右半平面内与路径无关，其中可微，则应满足的微分方程是_。三、计算题（共 20 小题，30 分）1、若曲边梯形 的面积和弧 的长度成正比例（比例系数为 ），求曲线满足的微分方程。2、求微分方程初值问题的解。3、连接两点的一条光滑曲线，它位于弦的上方，为曲线上的任意点。已知曲线与弦之间的面积为，求曲线所满足的微分方程。4、求函数为任意常数）所满足的一阶微分方程。5、求微分方程的通解。6、已知齐次线性微分方程：（1）的通解为求非齐次线性方程：（2）的通解。7、求方程的通解。8、求微分方程的一条积分曲线，使其过点且在该点有水平切线。9、求微分方程的通解。10、求微分方程的通解。11、求微分方程的一个特解。12、求微分方程的通解。13、解微分方程组：14、设方程有形如： 及 的特解，试确定 的值，并求方程的通解。15、求微分方程的通解。16、求微分方程的通解。17、求微分方程的通解。18、求微分方程的通解。19、设函数二阶连续可微，且使曲线积分与路径无关，求函数。20、求微分方程的一个特解。四、证明题（共 20 小题，30 分）1、验证是初始值问题的解。2、验证：是微分方程的两个线性无关特解，并求此方程的通解。3、验证是初值问题的解。4、设，试证明：在上线性无关。5、验证：在任何区间上线性相关。6、设是方程的两个解，且，试证明：。7、验证是初值问题的解。8、验证：是微分方程的通解。9、验证是方程的通解。10、验证为任意常数）所确定的函数是方程的通解。11、证明函数组：在任何区间上线性相关。12、验证（为任意常数）是方程的通解。13、已知是微分方程的两个解，试证明：为任意常数）也是方程的解。14、试验证是微分方程的一条过点，且在该点处的切线与直线垂直的积分曲线。15、设和是区间上的连续函数，证明如果在区间 上有 常数，则 和 在 上线性无关。16、试导出方程有形式的积分因子的条件，并求解：17、验证：当时，曲线族为方程在上的解；而当时，该曲线族是上述方程在上的解。18、如果上半平面的一条向上凸曲线上任一点处的曲率半径等于该点处法线在曲线与 轴间的长度，试证此曲线是半圆周。19、验证方程的通解是一族曲线为任意常数）。20、设试证明 是初始值问题的解。五、其它题型（共 20 小题，30 分）1、一单摆长为 ，质量为 ，不计空气阻力作微小摆动（为单摆的角位移）。当 时，单摆的角位移为 ，角初速度为 ，试求单摆的运动规律及摆动的周期。2、求微分方程的一条积分曲线，使其与曲线 相切于原点。3、如图所示，两根长为 的弹簧与质点 联接，放在光滑水平面上，弹簧另一端各固定在墙上，两端墙之间距离为 2，两弹簧的弹性系数分别为 与 ，今将质点由两墙中点向右端移动距离 后放手，求质点 的运动微分方程。4、试讨论为何值时，微分方程具有当时趋于0的非零解。5、求圆族的正交轨线族（既与圆族互相正交的曲线的集合）所满足的微分方程。6、由电感和电容，电源串联成的 电路中，当 时，电容的初始电压为，电路的初始电流为 ，求电路的电流强度 。7、求曲线族的正交轨线族（即与该曲线互相正交的曲线族）所满足的微分方程。8、已知一曲线上任一点的斜率为，且过点，求此曲线方程。问当 为何值时切线斜率为？9、求曲线，使其上任一点处的切线同该点的向径及轴一起构成一个以向径为底边的等腰三角形。10、由电阻，电感和电容，电源串联成的 电路中，当时，电容的初始电压为，电路的初始电流为 ，求电路的电流强度。11、求曲线族所满足的微分方程。12、一段凸曲线弧，其上任一点为 。已知弧 与弦 所围成图形的面积为 ，其中 。求曲线弧 的方程。13、求曲线，使其上任一点的切线斜率为该点横坐标与纵坐标两倍之和，且曲线过原点。14、已知上半平面内一曲线过点，曲线上任一点处切线斜率在数值上等于由曲线，轴与直线所围成的面积，求此曲线方程。15、单位质点在力 的作用下离开 点作直线运动， 与运动方向同向，且大小与 点到质点的距离成正比，比例系数为2，介质阻力与质点运动速度成正比，比例系数为1。运动开始时，质点与 的距离为5厘米，速度为零，求质点的运动规律。16、设一物体质量为 ，以初速 从一斜面滑下，若斜面与水平面成 角，斜面摩擦系数为 ，试求物体滑下的距离与时间的关系。17、已知微分方程的三个特解为，问是否是微分方