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2012年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料 教练员 凌彬平面几何竞赛基础19 其它定理介绍之二姓名爱因斯坦曾说：如果平面几何不能激起一个人的好奇心，那么这个人在科学上的发展也不会很远诶自学处理方法：先阅读完成例题解答，再独立完成练习并将解答回发邮箱，以便批阅反馈注意要求目的：要求独立完成，可以参阅资料目的是开学后考试选拔100名思维好且钻研能力强的竞赛选手一、定理介绍：（所有这些定理均可直接署名使用）例1（斯坦纳-雷米欧斯定理）有两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形已知：在ABC是，BE，CF是B，C的平分线，且BE=CF；求证：AB=AC证明：例2（九点圆定理，又称欧拉圆或费尔巴哈圆）三角形中三边的三个中点、三条高的垂足、垂心到各顶点线段的中点；凡九点共圆已知：在ABC中，H是垂心，L，M，N分别为BC，CA，AB的中点；D，E，F分别为三高之垂足；P，Q，R分别是AH，BH，CH的中点；求证：L，M，N，D，E，F，P，Q，R九点共圆证明：例3（莫利定理）（本题是最优美而最难证明的命题）将任意三角形的各角三等分，则每两个角的相邻三等分线的交点构成一个正三角形已知：ABC三内角的三等分线两两相交于D、E、F；求证：DEF是正三角形证明：例4、（清宫定理）（本定理为日本数学家清宫俊雄16岁时候发现的）设P，Q为ABC外接圆上异于A，B，C的两点；P关于三边BC，CA，AB的对称点分别为U，V，W；这时QU，QV，QW和边BC，CA，AB或其延长线的交点分别为D，E，F；则D，E，F三点共线（当P，Q重合时就是西姆松定理）证明：二、巩固练习19 （以下两道题的解答要回发到邮箱）1试证：ABC内不存在这样的一点P，使得过P点的任意一条直线把ABC的面积分成相等的两部分2ABC的内心为I，旁心为I1，I2，I3；求证：II1，II2，II3，I1I2，I2I3，I1I3六条线段的中点都在ABC的外接圆上3如图，将任意五边形ABCDE的边延长交成五角星形FGHKL；作三角形ABF，BCG，CDH，DEK，EAL的外接圆；诸圆两两相交的第二个交点记为A1，B1，C1，D1，E1；求证：A1，B1，C1，D1，E1五点共圆（本题为2000年12月20日江泽民
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