§1.1分类加法记数原理与分步乘法记数原理(一).ppt

山东省临沂一中学多媒体教学课件 1 1两大基本原理 选修2 3第一章 教学重点 教学目标 教学难点 多媒体 实物投影仪 教学用具 正确理解加法原理和乘法原理 能正确运用它们来解决排列组合问题 加法原理和乘法原理的区别 对复杂事件的分步与分类 课程目标 创设情境 要回答这个问题 就要用到排列 组合的知识 在运用排列 组合方法时 经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理 2010年夏季第19届世界杯足球赛将在南非举行 共有32个队参赛队伍 它们先分成8个小组进行循环赛 决出16强 这16个队按确定的程序进行淘汰赛后 最后决出冠亚军 此外还决出了第三 第四名 问一共安排了多少场比赛 知识建构 引例1 某人要从甲地到乙地去可以乘汽车 火车也可以乘轮船 甲地 乙地 火车有4班 轮船有3班 思考 从甲地到乙地 共有几种方法 汽车有8班 引例 从甲地到乙地 可以乘火车 也可以乘轮船 还可以乘汽车 一天中 火车有4班 轮船有3班 汽车有8班 那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法 分析 从甲地到乙地有3类方法 第一类方法 乘火车 有4种方法 第二类方法 乘轮船 有3种方法 第三类方法 乘汽车 有8种方法 从甲地到乙地共有4 3 8 15种走法 知识建构 一 分类加法计数原理 完成一件事 有n类办法 在第一类办法中有m1种不同的方法 在第二类办法中有m2种不同的方法 在第n类办法中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有 N m1 m2 mn 种不同的方法 例1 在填写高考志愿表时 一名高中毕业生了解到 A B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业 具体情况如下 A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学 如果这名同学只能选择一个专业 那么他共有多少种选择呢 数学运用 想一想 在填写高考志愿表时 一名高中毕业生了解到 A B C三所大学各有一些自己感兴趣的强项专业 具体情况如下 A大学B大学C大学生物学数学环境科学化学会计学地质学医学信息技术学车辆工程物理学法学工程学 如果这名同学只能选择一个专业 那么他共有多少种选择呢 数学运用 例2 书架的上层放有15本不同的计算机书 中层放有16本不同的文艺书 下层放有14本不同的体育书 从书架上任取1本书 有多少种不同的取法 解 从书架上任取1本书 有3类办法 第1类 从上层取1本计算机书 有15种取法 第2类 从中层取1本文艺书 有16种取法 第3类 从下层取1本体育书 有14种方法 其中任何一种取法都能独立完成取一本书这件事 答 从书架上任取1本书 有45种不同的取法 根据分类计数原理 不同取法的种数是 1 我们班有49位男生 22位女生 现要选一位同学参加 迎奥运 讲文明 树新风 演讲比赛 则有多少种不同的选法 练一练 2 一个口袋里有15封信 另一个口袋里有4封信 每封信的内容均不相同 从两个口袋里任取一封信 有多少种不同的取法 引例2 如图 由A村去B村的道路有3条 由B村去C村的道路有2条 从A村经B村去C村 共有多少种不同的走法 分析 从A村经B村去C村有两步 第一步 由A村去B村有3种方法 第二步 由B村去C村有2种方法 共有3 2 6种不同的方法 A村 B村 C村 北 南 中 北 南 知识建构 一 分步乘法计数原理 完成一件事 需要n个步骤 做第一步有m1种不同的方法 做第二步有m2种不同的方法 做第n类有mn种不同的方法 那么完成这件事共有 N m1 m2 mn 种不同的方法 例3 若某人由临沂出差到北京 但途中必须到济南办一件事 而由临沂到济南的理想路线共有12条 包括坐汽车 火车 乘飞机 以及不同的路线 由济南到北京共有18条理想路线 则此人由临沂出差到北京共有多少条理想路线 解 完成 由临沂出差到北京 这件事 分成两步 第一步 从临沂到济南 有12种走法 第二步 从济南到北京 有18种走法 由分步乘法记数原理可知 由临沂出差到北京的走法共有 答 此人由临沂出差到北京共有216种理想走法 3 某中学的一幢4层教学楼共有3处楼梯 问从1楼到4楼共有多少种不同的走法 3 3 3 27 练一练 4 乘积 a b c d e f g 展开后共有 项 4 3 12 数学运用 由乘法原理 3 4 12 解 第一步在前一个因式中取一项 有4种取法 第二步在后一个因式中取一项 有3种取法 5 集合A 1 2 3 4 B 5 6 7 从A到B的映射有多少个 34 81 练一练 数学运用 6 在一个正六棱锥的所有棱所在的直线中 异面直线共有多少对 A B C D E F S 1 把四封信任意投入三个信箱中 不同投法种数是 A 12B 64C 81D 7 C 2 火车上有10名乘客 沿途有5个车站 乘客下车的可能方式有 种A 510B 105C 50D 以上都不对 A 巩固练习 3 4名同学选报跑步 跳高 跳远三个项目 每人报一项 共有多少种报名方法 4 4名同学争夺跑步 跳高 跳远三项冠军 共有多少种可能的结果 练一练 例4 一种号码锁有4个拨号盘 每个拨号盘上有从0到9共10个数字 这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码 解 由于号码锁的每个拨号盘有从0到9这10个数字 每个拨号盘上的数字有10种取法 根据分步计数原理 4个拨号盘上各取1个数字组成的四位数字号码的个数是 N 10 10 10 10 10000 答 可以组成10000个四位数字号码 数学运用 例4 一种号码锁有4个拨号盘 每个拨号盘上有从0到9共10个数字 这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码 解 10 10 10 10 10000 用0 1 2 9可以组成多少个8位码 10 10 10 10 10 10 10 10 108 9 10 10 10 10 10 10 10 9 107 练一练 用0 1 2 9可以组成多少个8位整数 9 10 10 10 9000 9 9 8 7 4536 练一练 用0 1 2 9可以组成多少个无重复数字的4位整数 用0 1 2 9可以组成多少个有重复数字的4位整数 例4 一种号码锁有4个拨号盘 每个拨号盘上有从0到9共10个数字 这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码 例5 某艺术组有9人 每人至少会钢琴和小号中的一种乐器 其中7人会钢琴 3人会小号 从中选出会钢琴与会小号的各1人 则共有多少种不同的选法 解 由题意可知 在艺术组9人中 有且仅有一人既会钢琴又会小号 把该人称为 多面手 只会钢琴的有6人 只会小号的有2人 把会钢琴 小号各1人的选法分为两类 解 第一类 多面手入选 另一人只需从其他8人中任选一个 故这类选法共有8种 第二类 多面手不入选 则会钢琴者只能从6个只会钢琴的人中选出 会小号的1人也只能从只会小号的2人中选出 故这类选法共有6 2 12种 故共有20种不同的选法 例5 某艺术组有9人 每人至少会钢琴和小号中的一种乐器 其中7人会钢琴 3人会小号 从中选出会钢琴与会小号的各1人 则共有多少种不同的选法 2 集合A 1 2 3 B 1 2 3 4 从A B中各取1个元素作为点P x y 的坐标 1 可以得到多少个不同的点 2 这些点中 位于第一象限的有几个 1 3 4 4 3 24 2 2 2 2 2 8 练一练 3 如图 一蚂蚁沿着长方体的棱 从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条 解 如图 从总体上看 如 蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法 从局部上看每类又需两步完成 所以 第一类 m1 1 2 2条第二类 m2 1 2 2条第三类 m3 1 2 2条所以 根据分类记数原理 从顶点A到顶点C1最近路线共有N 2 2 2 6条 3 如图 一蚂蚁沿着长方体的棱 从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条 两个原理的区别与联系 做一件事或完成一项工作的方法数 直接 分类 完成 间接 分步骤 完成 做一件事 完成它可以有n类办法 第一类办法中有m1种不同的方法 第二类办法中有m2种不同的方法 第n类办法中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有N m1 m2 m3 mn种不同的方法 做一件事 完成它可以有n个步骤 做第一步中有m1种不同的方法 做第二步中有m2种不同的方法 第n步中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有N m1 m2 m3 mn种不同的方法 结束语 两大原理妙无穷 茫茫数理此中求 万万千千说不尽 运用解题任驰骋 作业布置 作业纸 课本 P 106A5 A6P 106B1 B3 华罗庚天才在于积累 聪明在于勤奋 完成 学案 P 79 80预习 课本 P 104 105 计数原理 祝同学们学习快乐 直挂云帆济沧海 长风破浪会有时 分类计数原理与分步计数原理有什么不同 1 分类计数原理与 分类 有关 各种方法相互独立 用其中任何一种方法都可以完成这件事 思考 2 分步计数原理与 分步 有关 各个步骤相互依存 只有各个步骤都完成了 这件事才算完成 3 从2 3 5 7四个数字中任取两个用来做分子 分母 能得到几个不同的分数 其中有几个是真分数 几个假分数 解 按地图A B C D四个区域依次分四步完成 第一步 m1 3种 第二步 m2 2种 第三步 m3 1种 第四步 m4 1种 所以根据乘法原理 得到不同的涂色方案种数共有N 3 2 1 1 6种 1 如图 要给地图A B C D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种 例4 求4320的不同的正约数的个数 解析 4320 25 33 5 所以它的正约数 如15 的质因数必在2 3 5中 但该质因数的指数的取法不同 以此作为分步依据即可 解 设4320的正约数为 则n1可取0 1 2 3 4 5 则n2可取0 1 2 3 则n3可取0 1 故所求的正约数的个数为 例2 如图所示的方格中矩形有多少个 解析 如果直接数图中矩形的个数 则有可能重复或遗漏 而以矩形的面积作为分类标准就能达到不重不漏 1 面积为1的矩形有 2 面积为2的矩形有 3 面积为3的矩形有 4 面积为4的矩形有 5 面积为5的矩形有 例2 如图所示的方格中矩形有多少个 6 面积为6的矩形有 7 面积为8的矩形有 8 面积为9的矩形有 9 面积为10的矩形有 10 面积为12的矩形有 11 面积为15的矩形有 所以 共有矩形 三边长均为整数 且最大边长为11的三角形共有多少个 同类变式 解 另两边长用x y表示 且不妨设1 x y 11 要构成三角形 必须x y 12 当y 11时 有11个三角形 当y 10时 有9个三角形 当y 6时 有1个三角形 所以 所求三角形的个数共有 例2 在下面两个图中 使电路接通的不同方法各有多少种 分类计数原理与分步计数原理有什么不同 1 分类计数原理与 分类 有关 各种方法相互独立 用其中任何一种方法都可以完成这件事 思考 2 分步计数原理与 分步 有关 各个步骤相互依存 只有各个步骤都完成了 这件事才算完成 一 分类计数原理 完成一件事 有n类办法 在第1类办法中有m1种不同的方法 在第2类办法中有m2种不同的方法 在第n类办法中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有N m1 m2 mn种不同的方法 二 分步计数原理 完成一件事 需要分成n个步骤 做第1步有m1种不同的方法 做第2步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事共有N m1 m2 mn种不同的方法 三 共同点 把一个原始事件分解成若干个分事件来完成 四 区别 一个和分类有关 一个与分步有关 两个原理的选择 如果完成一件事情有n类办法 这n类办法彼此之间是相互独立的 无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情 求完成这件事情的方法种数 就用分类计数原理 关于分类 首先要根据问题的特点确定一个分类的标准 然后再分类 其次分类时要掌握两个原则 1 完成这件事的任何一种方法都必须属于某一类 2 分别属于不同两类的方法是不同的方法 不重不漏 1 确定分步标准 2 分成的n个步骤要连续完成 3 每步中任何一种方法都可以与下一步中的任何一种方法连接 注 既可分类又需分步时 一般先分类后分步 关于分步 如果完成一件事情需要分成n个步骤 各个步骤都是不可缺少的 需要依次完成所有的步骤 才能完成这件事情 而完成每一个步骤各有若干种不同的方法 求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理 例5同室4人各写1张贺年卡 先集中起来 然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡 则4张贺年卡不同的分配方式有 A 6种B 9种C 11种D 23种 方法一 树图法 甲乙丙丁 2 134 441 313 3 144 221 412 4 133 212 321 四名同学分别为 甲 乙 丙 丁 所写贺卡依次为1 2 3 4 方法二 采用 分步 处理第一步 甲先拿 按规定甲可拿2 3 4当中的一张 有3种方法 第二步 让与甲取走的卡片相对应的人来拿 有3种拿法 例如甲拿的是2 则乙有3种拿法 第三步 让剩余的两个人拿 都均有1种拿法 四名同学分别为 甲 乙 丙 丁 所写贺卡依次为1 2 3 4 总的方法数N 3x3x1x1 9 例6 自然数630有多少个正约数 解 630 2 32 5 7 其正约数的结构式为 其中 可取0 1 可取0 1 2 可取0 1 可取0 1 即在 所形成的取值集合中 各取一个元素填入上式 就得630的一个约数 由乘法原理 得N 2 3 2 2 24 例6 自然数2520有多少个约数 解 2520 23 32 5 7分四步完成 第一步 取20 21 22 23 24有4种 第二步 取30 31 32有3种 第三步 取50 51有2种 第四步 取70 71有2种 由分步计数原理 共有4 3 2 2 48种 练习 5张1元币 4张1角币 1张5分币 2张2分币 可组成多少种不同的币值 1张不取 即0元0分0角不计在内 元 0 1 2 3 4 5角 0 1 2 3 4分 0 2 4 5 7 96 5 6 1 179 晚会节目怎么会这么长学校举行元旦迎新晚会 由高一年级代表队派出三名学生为演员 由高二年级代表队派出四名女教师为演员 由高三年级代表队派出三名男教师为演员 共同演出两个节目 一个是 舌战群儒 由上述10名演员中任选1名与其他演员进行为时5分钟的辩论比赛 另一个是 三国争霸 分别由这三个队中任选一名 进行三人游戏比赛 为时10分钟